Механика композитных материалов 2 1980
..pdfМЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 2, с. 277_280
УДК 539.3:624.074.4
Б. Л. Пелех, Б. М. Дивеев
НЕКОТОРЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
1 . ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Для получения динамических характеристик (спектра собственных частот, критериев устойчивости, передаточных функций) оболочечных элементов конструкций применяются некоторые упрощающие предполо жения, позволяющие свести трехмерные уравнения теории упругости к двухмерным. Одним из этих предположений является известный способ принятия некоторых кинематических гипотез.
В данной работе на основании аппроксимации перемещений опреде ленным образом выбранными функциями достигается точное удовлетво рение граничных условий на лицевых поверхностях тонкостенного эле мента и учет сдвиговых эффектов и обжатия. Разрешающие уравнения записаны для случая установившихся гармонических колебаний и дают возможность получить передаточные функции для рассматриваемых элементов конструкций, хотя возможно записать сведенные к срединной поверхности разрешающие уравнения и в общем случае произвольной динамической нагрузки.
1. Исходные соотношения. Рассмотрим установившиеся колебания слоистого тонкостенного элемента [1]. Как обычно [2], введем ортогональ ную криволинейную систему координат а ь аг, аз, где координатная плоскость аз = 0 совпадает со срединной поверхностью оболочечного эле мента; оч, аг совпадают с направлениями главных кривизн.
Будем считать, что элемент состоит из п слоев, лицевые поверхности которых не обязательно совпадают с координатными поверхностями аз = const, но каждый из этих слоев будем считать достаточно протяжен ным в направлении координат аь аг по сравнению с направлением аз, материал каждого слоя является вязкоупругим и характеризуется об щим законом наследственной теории упругости [3]
|
|
( 1. 1) |
где EijsiW — некоторые операторы; |
— деформации; |
— напря |
жения; все — в k -м слое. Так как рассматриваются установившиеся ко лебания, то величины Eijs№ будут комплексными дробно-рациональ
ными функциями частоты, и соотношение (1.1) запишется |
аналогично |
обобщенному закону Гука линейной теории упругости: |
|
ОцМ = Е т М(<й)ее1«1). |
( 1.2) |
Как известно, режим установившихся колебаний является тем случаем, когда решение вязкоупругой задачи сводится к нахождению решения линейно-упругой задачи с комплексными коэффициентами EijS№- По этому в дальнейшем будем решать задачу линейной теории упругости с
определяющими соотношениями (1.2).
Рассмотрим заданный тонкостенный элемент, на поверхности кото рого заданы гармонические и синфазные возмущения А (5)егш{. В общем
случае А (S ) — это векторная величина, компоненты которой могут быть как перемещения, так и напряжения. Допускаются и смешанные гранич ные условия: например иа,, , о аз или ий1 , т , т,Хз Для всего пакета примем следующие гипотезы [4]:
wa wa °+ ! а з + wa 2аз2-Ь ?аз3; 1=1,2; маз = waj°+ Иа^аз-Н иаз2аз2. (1.3)
Распоряжаясь коэффициентами иаи а 2<г и иаз *-2, точно удовлетворим граничным условиям на лицевых поверхностях элемента. При задании перемещений при a 3=±/i шесть величин иа.2, . .. , иЛл2 получим из шести условий и а ./а з= ± h = A i±. При задании напряжений целесообразно пере
писать (1.3) в следующем виде:
Hi = Мг° + ^г'о£з+ Щ2(аз2 — h2) + и^аз(аз2 — h2) ; М3 = Цз°+ Цз'аз + Цз2аз2. (1.4)
Так как направление главных осей ортотропии в общем случае не совпа дает с направлениями координатных осей, то выражения для поверх ностных напряжений будут:
^33 = С1\В\1"Г С22&22Н~^зз^зз~Г С\2&\ч\ Тг'з= Gil^l3+ ^г'2^23- |
(1-5) |
Поскольку в разложения для <?ц, е2%, е \ъ входят производные только по касательным направлениям, а коэффициенты Wi,22,3 при а 3= ±Я исчезают вследствие (1.4), то (1.5) и условия а 3з ( а 3) / а з = ± к = о± дают систему двух уравнений для нахождения двух величин W31, w32. Величины щ2, и? (i= 1,2) находим из граничных условий Тгз(±^) =Тгз±, что дает систему четырех линейных уравнений для нахождения четырех неизвестных. Вы ражения для перемещений после указанных преобразований будут:
Щ— Li0(u\0 .. Ц30) -ЬД1( ... ) аз + Тг2аз2 + ^г3обз31 ^з— ^з°(- ••) +^з'<^з + Ьз2<хз-.
|
|
|
|
|
|
( 1.6) |
Здесь Ltl — линейные дифференциальные выражения вида: |
|
|||||
|
|
|
Z (А и и пр~ |
|
d2 |
|
Д г = |
|
|
|
P -----------h |
|
|
Y u K ^ V |
l l v l l = |
+ А\2ип daida2 |
|
|||
|
n ,p |
|
n .p |
1 |
|
|
л |
д2 |
n |
д |
d |
+ СипР ) <V- |
(I.?: |
+ A 22n^v — — + B viinP - — + B 2iLn p - — |
||||||
|
(JOL2 “ |
OOL\ |
001*2 |
|
|
|
2. Сведение к двухмерному континууму. |
Для |
вывода уравнений ди |
намического равновесия тонкостенного элемента будем исходить из ва риационного принципа Гамильтона—Остроградского:
б Jt [ |
J ( K - U ) d V - |
J |
FupdV - J PudS ]dt = 0. |
(2.1) |
t0 |
V |
V |
s |
|
Выражения для вариации потенциальной U и кинетической К энергии преобразуем, воспользовавшись символикой тензорного анализа:
j t6UdV= Ja6edl/=—J* div T§\xdV+ J nieudS; |
(2.2) |
||||||
V |
V |
|
V |
|
s |
|
|
J |
bKdV |
dui |
)p d l/ = - |
J - ^ f - 6UidV, |
(2.3) |
||
dt |
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V 0 l ~ |
|
|
так как вариации для перемещений |
удовлетворяют условию бМг(^о) = |
||||||
= 6Ui(ti). В результате из (2.1) — (2.3) |
получим: |
|
|||||
J11[ J |
(div 7 —pF—р |
) |
budV— j |
(nT—p)6udS j dt= 0 . |
(2.4) |
В формуле (2.4), используя (1.6) и (1.7), перейдем от объемного ин теграла к интегралу по срединной поверхности. В результате получим:
^1 |
|
д |
д |
|
|
|
|
ншto So |
|
|
|
|
|||
да\ A J ltltt + |
d a 2A\T2tlet |
A\A2Tзd^t —А[Л2 ~dP~ ) |
X |
||||
X Lti (^u)^t+A lA2{\ + klh) ( \+ k2h) P3l+e.i6u+ + (1 —k\h) (1 - k 2h) |
X |
||||||
X Рз/- е*6и- j dS — J (a2Midai —aiM2ria2+ P')^«46M)et|d/ = 0, (2.5) |
|||||||
e |
|
v |
|
|
|
|
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
TjLi= |
J (1+^jOC3)ct3'Oj^a3; |
7 V = | (.1+/j!a3) (1+/г2аз)1аз1_1аз<^аз; |
|||||
|
-h |
|
|
-h |
|
|
|
|
ll\ |
|
|
|
h |
|
|
Ui = |
| (l+^ia3) (Ц -/ г2а 3) и р а з ^ а 3; |
oi‘= J |
( 1 + 6ia3)Gia3l'da3; |
||||
|
—h |
|
h |
|
—h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о2г = |
J |
(1 +/г2а3) а2а3г^/а3; |
|
|
|
|
|
|
-h |
|
|
|
|
|
|
(1 +k\az)2dcL\2-\- (1 + k2az)2d a22 |
|
||||
|
P = |
-JVh |
|
da\2 + d a22 |
Ра3^ а 3. |
|
В интеграле по боковой поверхности элемента все величины также све дены к срединной линии — линии пересечения боковой поверхности со срединной. Считаем, что боковая поверхность — это линейчатая поверх ность, перпендикулярная срединной поверхности. Если обозначить:
Ri~——•А2Тцг^гР~^~ А{Г211с.1 — А1Л27’3/ге<+Л1Л2[ (1 +k\h) (1 +k2h) P2p h l+
OOil |
OCL2 |
|
|
|
|
+ |
(1 —k\h) (1 — k2h) P3r |
( —h) '] |
д2и,- |
|
|
dP |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Т{ = а2{А^а1 —a^AodoLo—P'dy, |
|
|||
TO (2.5) запишется в виде: |
|
|
|
||
|
j |
( J RiL,‘e,d S o - |
j lU i'e, ) d t= 0, |
(2.6) |
|
|
to |
So |
V |
|
|
где Li‘(6u) выражаются формулами (1.7). Преобразуем поверхностный
интеграл в |
(2.6): |
|
|
|
||
J |
R iL d eldS = J RiKunP{bupn}e,dS = J |
Кц11р {Riei}8up”dS + |
||||
S |
|
|
S |
s |
|
|
+ |
С г |
|
д |
d |
Ь |
|
I |
I |
A\\unpRidot2------- h {A121/71pRidcL2 |
A22U1}}>Ridcc\)- - |
|||
|
^ |
L |
|
ca i |
°&2 |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
dAuu^pR, , |
dA,2il’4‘Ri |
dA22ilnPRi . |
|
|
\ |
|
da\ |
dai |
da2 |
|
|
|
|
■PB\unpR ida2 —B2unpRida\ )]e ,6 « ;A |
(2.7) |
Подставляя (2.6) и (2.7) и приравнивая нулю члены при независимых вариациях, получим уравнения динамического равновесия и естествен ные граничные условия для рассматриваемого элемента:
|
|
Kitn p { R ^ t } = 0; |
|
|
|
( 2.8) |
||
|
|
п п Р |
д2 |
л |
д2 |
о |
д |
|
|
|
12it |
А . + А 22ипР -— |
+ В ш пр-^— + |
|
|||
|
|
|
daida,2 |
|
д а 22 |
|
дах |
|
+ В 2ипР - 4 - + С и пР ) + A nitnPRida2 ^ — + |
{ A l2itnpR id a 2- |
|
||||||
|
д а 2 |
' |
|
дах |
|
|
|
|
—A 22iinpRidoL\)- дао |
|
dAuu^pRi |
, |
dA\2itnPR |
|
|
||
( - |
да\ |
d a 2- - |
да\ |
dax -f- |
|
|||
dA->9iLnpRi |
|
|
|
|
\ 1 |
|
(2, 9) |
|
+ — |
---------dax + B u ^ P R i d a i - B ^ p R i d a x j |
J t Lbupn. |
Соотношения (2.8) и (2.9) при соответствующей специализации выраже ний (1.6) дают возможность определять динамические характеристики (передаточные функции) тонкостенных элементов конструкций при раз личных граничных условиях как на боковых, так и на лицевых поверх ностях.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Болотин В. В. О рассеянии энергии при колебаниях конструкций из армирован
ных полимеров. — Докл. науч.-техи. конф. Московск. энергет. ин-та, 1967, с. 9—25.
2.Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Киев, 1978. 159 с.
3.Работное 10. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 384 с.
4.Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин. Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 3, с. 504—510.
Р*
Институт прикладных проблем механики |
Поступило в редакцию 12.06.79 |
и математики АН Украинской ССР, Л ьвов |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 2, с. 281—285
УДК 539.3:624.074.4
И.Ю. Бабич, Л. В. Дериглазов, И. И. Чернушенко
ОВЛИЯНИИ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
Вопросам устойчивости элементов конструкций, выполненных из композитных материалов, посвящены исследования как в рамках уточ ненных (типа Тимошенко) прикладных теорий, так и в трехмерной по становке. В работах [1—4] и ряде других на основе трехмерной линеари зированной теории рассмотрены некоторые общие вопросы, а также ис следована устойчивость деформирования армированных материалов и элементов конструкций (стержней, пластин и цилиндрических оболочек), выполненных из этих материалов. Последовательное применение трех мерных уравнений дает возможность обоснованно подойти к созданию теории и методов расчета устойчивости деформирования элементов кон струкций из композитных материалов. Кроме того, решения задач на ос нове трехмерных уравнений являются эталонными при построении ин женерных методов расчета и позволяют получить оценки точности, а также определить области применимости классических и уточненных прикладных теорий устойчивости. Применяя указанный подход, удается в точной постановке исследовать влияние механических свойств мате риала на величины критических нагрузок, а также сформулировать ре комендации для инженерных методов расчета. Полученные таким обра зом конкретные результаты можно также использовать для оптимиза ции структуры пространственно армированных композитов в задачах ус тойчивости элементов конструкций [5].
Ниже рассмотрим устойчивость сферической оболочки толщины 2h и радиусом срединной поверхности R, находящейся под действием равно мерного распределенного наружного давления q.
Трехмерные статические линеаризированные уравнения и граничные условия в случае второго варианта теории малых докритических дефор маций (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей, а начальное состояние определяется по геометрически линейной теории) имеют вид:
V i {oim + ooinV niil")=0\ (1) Niio^' + o^VnU ”1) |Я1 = Р т. (2)
Соотношения упругости для ортотропного тела примем в виде:
= |
(a;iMl,l+Я12^2,2+ Я;3^3,з) + (1 — б;,) Gij(Ui'j + Ujti) . |
(3) |
Будем предполагать, что материал оболочки является трансверсально изотропным относительно поверхностей (0, <р). Тогда имеют место ра венства
^22= ^33; a12 = ai3; G\2=G\Z, G2i= 2(a22 —^гз)- |
(^) |
Ограничимся случаем осесимметричных деформаций. Докритическое на пряженное состояние в рассматриваемом случае определяется следую щим образом [6]:
а,т°= а/»»-1-5 + а2г~т - ]’5; а,о° = оп,п= сто,,0 = 0; |
аоо°= оМф°= hnd\rm~Uj+ |
+ X-ma2Г-»—1-5, |
(5) |
(R + h )m+L5 |
a2= —a\ (R — h )2m\ |
|
ai = ~ q (R + h )2m- ( R - h y - m |
||
^22 + ^23 + ^12 {ГП —0,5) |
Q22 + fl23~ ^12 (/72 + 0,5) |
|
2a\2+ an (m—0,5) ’ |
2ai2 + an(m + 0,5) |
|
1/ |
2 (Я22+Я23ai2) 1 |
|
m=. у |
------------------------- h— . |
|
r |
a n |
4 |
Заметим, что аналитически решить уравнения (1), (2) при условии
(5)не представляется возможным. Поэтому ниже основные уравнения
(1)после неполного разделения переменных приводятся к системе обык новенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициен тами. Решения уравнений (1) ищем в виде:
и г = и п ( г ) Р п (cos 0); u Q= vп ( г ) Р ' п (cos 0)sin 0, |
(7) |
где п — число узлов искомой формы равновесия при заданных геометри ческих параметрах оболочки и механических постоянных материала. При таком выборе решений на торцах полусферы в случае нечетных п удов летворяются граничные условия шарнирного опирания.
Подставляя решения (7) с учетом соотношений (3), (4) в уравнения
(1) и используя при этом рекуррентные соотношения для полиномов Ле жандра, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравне
ний с переменными коэффициентами |
|
|
|
(an + grr°)-^ 2n + |
^2а[[ + 2а,т°+ г —j — ) у ^ ~ + [ 2 ( а [2- а 22- |
|
|
— а2Ъ—стеб0) — п (н+ 1) (G12 + QGQ0) ] у г |
+ я (я + 1) (ai2 + GJ2)—— - у |
+ |
|
+ п(п + 1) ( а 12 — а 22 — а 2 3 — |
Gl2—2 а о о ° ) ~ у = 0 ; |
(8) |
|
— ( а !2 + G\2) ~ —у — |
( а 22 + а 2з + 2 ( 7 12 + |
2 о е е ° ) у - + ( G 12 + a , , ° ) y y - |
+ |
+ [(#22 + 000°) (1 —ti — n2) — (а2з + 2(7]2 + a e e °) ] -y + ^ 2 G i2 + 2a,T0 +
d.GrP \ 1 dvn
+ r ~ W I ~ F " * = a
Из соотношений (2) и (3) с учетом решений (7) выводим граничные
условия на сферических поверхностях r = const: |
|
|r=mlls |
|
||
{ (аи + < У п °)~ + ~ |
[2u„ + n(n+\)v„] } |
=0; |
|||
{ (G12 + a„f>)-d^ |
- G iy - ( v ,l+ u,t) |
} |r_c„,Bt=0. |
|||
Переходя в соотношениях (5) — (9) |
к переменной х; |
(r = R( 1 +лг)), реше |
|||
ние системы уравнений (8) можно |
в области |
|x|^/z/7? |
представить в |
||
виде степенных рядов: |
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
/* = 0 |
h=0 |
причем, если R h^Z.r^R + h, то —h/R^Zx^Zh/R. Тогда граничные усло вия (9) с учетом представлений (10) можно привести к виду:
2ai2^ 0(n) + cil2n(n + 1) 5 0(n) + [ (1 + е) (ац — q) + 2ai2e] ЛИП>+
+ a,\2ti{n~\-1) вВ\(п)-Т X J {[^(1 -be) (an - q ) + 2а 12е]гк^А к^ +
/1=2
-\-CL\2ti (м+ 1) ekBk^ } |
=0; |
( H ) |
|
|
|
— G\2{Ao(n) + JB O ( h ) ) + [G\2~ (1 +e)<7]£ i(n) — |
G\2EA I (, i) + |
{[£(1 +e) X |
|
|
h = 2 |
X (GI2 — q) — eG l2\ek~lBk(n) —G12eM,t<n>} =0; |
e=-^-. |
|
|
|
R |
Два других уравнения получаются, если в |
(11) положить <7= 0 и изме |
|
нить знак перед е на противоположный. |
|
|
Таким образом, приходим к системе четырех однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных А0, В0, А\, В\. Из условия нетривиальности решения системы (11), следуя обычной про цедуре, получаем характеристическое уравнение в виде определителя
detflA-ijll = 0; Xij = 'kij{q, е, ars, GX2, п), |
(12) |
из которого в зависимости от числа узлов п искомой формы равновесия при заданных геометрических параметрах и механических характеристи ках материала определяется бифуркационное значение параметра на грузки <7* = <7кР/<7т (<7т — величина критической нагрузки, полученная при использовании двухмерных прикладных теорий). Для определения по стоянных Ак(~п'>и В к<n) (к = 2 ,3,...) обычным образом получаем следую щую систему рекуррентных соотношений:
k (k —l)[a\ \+ q (s2—Si)] Л/4(п) = —2an (k —1 )2+/t- i(,,) + [2(<122+ ^23— ^12) —
—a n (k2— 3k + 2) + n (n + \ )G i2]Ak- 2(n) — n (ti-\ ) (a\2+ G i2) (fc— 1) X
X B k- i ^ — n (n + [) [al2(k —1) + G{2(k —3) - а 22— а2з]Вк- 2{п) —
h
|
- X l |
4 ( k ~ P ) |
(S2Pm-0)5(P )- S i a m+0.5(P))^/t- P (',) + |
|
|
|
p = 1 |
|
|
|
|
|
/{-1 |
|
|
|
|
+ |
q ( k — p — 1) [ ( т |
+ 0 ,5 )5 1 а ш-о,5(;,)+ |
i m — 0 ,5 )s2 P „ l+0l5(p)] ^ / t - p - i(n) + |
||
|
p = 0 |
|
|
|
|
|
|
h-2 |
|
|
|
+ q{n2+ tl + 2 ) |
^(-X m Sia,„-i,5(/,)+>V-mS2Pm+l,5U,))^/t-P-2(,,)+2/l(n+l)<7X |
||||
|
|
p = 0 |
|
|
|
|
|
h-2 |
|
|
|
|
X |
X ( — XmSlOCm—1,5^* "b |
21111; |
(13) |
p = 0
G12/^1=0,25 в случае, когда е= 0,005 (кривая У); 0,015 (2); 0,025 (5). Рис. 3 иллюстрирует зависимость безразмерного параметра q*\ от G\2/E 1 при £/£i = 5,0 для различных значений е. Кривые / —5 — соответствуют значениям параметра е= 0,005, 0,010, 0,015, 0,020, 0,025. На всех рисун ках V12= 0,2; V23= 0,3.
Таким образом, гипотеза Кирхгофа—Лява вносит существенные по грешности при расчете на устойчивость сферических оболочек, выпол ненных из композитных материалов. Для стеклопластиковых оболочек ( G i 2 / £ i ^ 0 , 0 5 ) эти погрешности могут превышать 25% (при е = 0,025). Для оболочек, выполненных из композитных материалов с более жест кими и прочными волокнами (боропластик, углепластик и др.), наиболее часто встречающаяся конструкционная специфическая особенность (сла бое сопротивление сдвигу) еще более усугубляется, а погрешности гипо тезы Кирхгофа—Лява существенно увеличиваются. Погрешности же уточненной Теории [7] для распространенных диапазонов изменений механических характеристик материала и геометрического параметра е не превышают 10%.
|
|
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы |
1. Гузь |
А. Н. |
Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев, 1971. 276 с. |
2. Гузь |
А. Н., |
Бабич И. Ю., Пелех Б. Л., Тетере Г А. О применимости двухмерных |
прикладных теории в задачах устойчивости при осевом сжатии цилиндрических оболо чек, выполненных из материалов с малой сдвиговой жесткостью. — Механика полиме
ров, 1970, № 1, с. 141 — 143.
3. Бабич И. 10., Гузь А. Н. К теории устойчивости сжимаемых и несжимаемых
сред. — Механика полимеров, 1972, № 2, с. 267—275.
4. Бабич И. 10., Гузь А. И., Чернушенко И. И., Ш ульга Я. А. Об оценке точности
теорий устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем давлении. — Прнкл. меха
ника, 1974, т. 10, № 10, с. 16—21.
5. Крегерс А. Ф„ Тетере Г А. Оптимизация структуры пространственного армирова
ния композитов в задачах устойчивости. — Механика композитных материалов, 1979,
№1, с. 79— 85. |
_ |
1ПСА |
6 . Лехницкий С. Г Теория упругости анизотропного тела. М.—Л., |
1950. 296 с. |
|
7. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 447 с. |
||
Институт механики АН Украинской ССР, Киев |
Поступило в редакцию 05.07.79 |
|
Украинская сельскохозяйственная академия, |
|
|
Киев |
|
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, N° 2, с. 286—290
УДК 539.3:624.074.4
В.А. Антипов
ОВЛИЯНИИ ЖЕСТКОСТИ КОМПЕНСАЦИОННОГО СЛОЯ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
При изготовлении композитных оболочек с большой толщиной стенки возникает проблема борьбы с растрескиванием от усадочных напряже ний. Одним из способов избежать растрескивания является введение компенсационного слоя из податливого материала. Наличие этого слоя, естественно, должно сказываться на распределении внутренних усилий в конструкции и на ее напряженном состоянии.
Для оценки этого влияния рассмотрим задачу об изгибе длинной ци линдрической оболочки под нагрузкой, равномерно распределенной по круговому сечению. Принимаем, что стенка оболочки состоит из двух слоев одинаковой толщины (6/2), между которыми расположен компен сационный слой с толщиной 6К, причем 6К«С6. Решение этой задачи, оче видно, сводится к решению задачи об изгибе бесконечно длинной состав ной двухслойной балки единичной ширины b = 1, лежащей на упругом ос новании и загруженной сосредоточенной силой Р. Высота балки равна
£6
толщине оболочки 6. Коэффициент упругого основания k = —z~, где г —
радиус оболочки, Е — модуль нормальной упругости материала. Счи таем, что компенсационный слой работает только при сдвиге.
Дифференциальное уравнение изгиба составной балки имеет вид [1]:
|
EZi |
£ у_ |
- 4 J L |
d m |
|
|
|
dx4 = <7, |
( 1 ) |
||||
|
|
dxA |
EQ |
|||
где i — момент инерции слоя |
момент инерции |
|||||
5! |
|
|
12 |
48’Q |
|
|
G |
— модуль упругости шва (G |
= ~ , где Gh — модуль |
||||
балки, 7= ^ ; |
||||||
12’ |
_ |
|
,..г, -------------- v- |
бк |
|
сдвига материала компенсационного слоя); П — приведенная площадь
(Q=-~hn(n + 1), где /г — толщина слоя, п — число слоев; в рассматривае
мом случае п = 2, h = 0,56, П = 6); М — изгибающий момент в каждом сечении балки. Поскольку q = —ky, дифференциальное уравнение (1) примет вид:
dAy |
4G7 |
d2y |
4G ял |
( 2 ) |
dx4 |
Q |
dx2 |
+ ky = -^zr~M. |
|
EQ |
|
Приняв начало координат в точке приложения силы Р, имеем сле
дующие граничные условия (при х = 0 ): |
|
|
|
||
dy |
d3y |
1 dM |
(3a, |
6) |
|
~dx~ ’ |
dx* + ~E^i~dx |
||||
|
|