Механика композитных материалов 2 1983
..pdf
|
Изменение Прочности эйоксйдно-фенольных композиций |
|
|||||||
|
при воздействии |
30% |
H2S 0 4 и 20% |
HF при 70° С в течение 24 ч |
|
||||
|
|
|
|
Время от |
|
Прочность |
при |
растяжении, |
МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Состав |
композиции |
(мае. ч.) |
|
верждения |
до |
выдержки |
|
После выдержки |
|
|
на воздухе, |
|
|||||||
|
|
|
|
сут |
в |
кислотах |
в |
H2S 0 4 |
в HF |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЭД-20 (50); РСФ-014 (50); |
15 |
|
7,0 |
|
17,4 |
_ |
|||
ПЭПА |
(5); ГМТА (5) |
|
30 |
|
10,4 |
|
1 2 ,6 |
— |
|
ЭД-20 (50); РСФ-014 (50); |
15 |
|
5,5 |
|
18,6 |
17,2 |
|||
ОИККГ (20); |
ПЭПА |
(5); |
30 |
|
9,4 |
|
2 0 , 6 |
19,3 |
|
ГМТА |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
связано |
с протеканием |
релаксационных процессов |
в |
большей |
степени, |
а следовательно, и с эластифицирующим действием модификатора (от носительное удлинение возрастает с 2—3,5% для немодифицированного полимера до 4—5% для модифицированного олигомером изобутилена, рис. 5). Введение в композицию графита приводит к незначительному снижению внутренних напряжений по абсолютной величине, хотя ре лаксационный процесс происходит в большей степени. Подобный ха рактер зависимости внутренних напряжений от времени отверждения наблюдается и для системы (немодифицированной, модифицированной и наполненной), отвержденной смесью ПЭПА + ГМТА, однако абсолют ные значения внутренних напряжений в композиции, отвержденной УП-583+АД, меньше на 15%.
В табл. 2 приведены данные по изменению прочности некоторых эпоксидно-фенольных композиций при воздействии на них агрессивных сред. Из таблицы видно, что после воздействия серной кислоты проис ходит упрочнение композиций, причем оно более значительно для об разцов, отверждавшихся на воздухе в течение 15 сут. Для немодифи цированной композиции после ее выдержки в плавиковой кислоте отме чается образование в образцах продольных трещин. Это, вероятно, связано с концентрацией внутренних напряжений, возникающих при отверждении композиций и при воздействии HF. У образцов, изготов ленных из модифицированной системы, микротрещины не образуются. Упрочнение композиций происходит, очевидно, за счет доотверждения фурановой составляющей с раскрытием фуранового цикла под воздей ствием кислот [7], о чем свидетельствует уменьшение интенсивности полос 890 и 1020 см-1, соответствующих колебанию фуранового кольца [8], в ИК спектре поглощения образцов после кислотной обработки. Следует отметить, что в результате воздействия на отвержденные об разцы серной кислоты в ИК спектре поверхностного слоя (~ 5 0 мкм) появляются характеристические полосы поглощения сульфогрупп, что вызвано, очевидно, взаимодействием кислоты с компонентами компози ции. Методом электронной микроскопии (рис. 6) на глубине 0,5 мм обнаружены включения, также подтверждающие образование особого поверхностного слоя. Этот измененный поверхностный слой является защитным, так как препятствует проникновению кислоты в глубь об разца, что подтверждается идентичностью ИК спектров внутреннего слоя обработанного в кислоте образца и поверхностного слоя исход ного образца.
Таким образом, установлено, что модификация эпоксидно-феноль ной композиции олигомерами изобутилена с концевыми реакционноспособными группами в количестве 5—10 мае. ч. приводит к улучше нию физико-механических свойств. Упрочнение композиции происходит также при воздействии кислот, что можно объяснить доотверждением фурановой составляющей с раскрытием фуранового цикла. Обработка в серной кислоте приводит к образованию поверхностного защитного
слоя, препятствующего проникновению агрессивной среды в глубь об разца.
Проведенные йссЛедоЁанйя позволйлй разработать ряд peuetttyp композитных материалов, которые нашли практическое применение в противокоррозионной технике в качестве покрытий по металлу и гум мировкам, для расшивки швов и как вяжущее.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Емельянов 10. В., Строчкова Е. М., Салтыкова Л. А., Фокин М. Н. Противо коррозионная защита химического оборудования покрытиями на основе эпоксидно- феноло-фурфурольио-формальдегидной композиции. — Лакокрасоч. материалы и их
применение, 1981, № 5, с. 31—33.
2 . Мошинский Л. Я. Отвердители эпоксидных смол. М., 1976. 49 с.
3. Липатов Ю. С., Сергеева Л. М. Взаимопроникающие полимерные сетки. Киев, 1979. 159 с.
4 . Рыбьев И. А., Бланк Н. Б. Определение параметров структуры связующих по
лимерных строительных конгломератов. — Изв. вузов. Стр-во и архитектура, 1979,
№8 , с. 70—73. .
5.Сидякин П. В. ИК-спектроскопическое исследование процесса отверждения
эпоксидов аминами. — Высокомолекуляр. соединения. Сер. А, |
1972, т. |
14, |
№ |
5, |
||
с. 979-988. |
наполненных полимеров. Киев, 1967. |
233 |
с. |
|
||
6 . Липатов Ю. С. Физико-химия |
с. |
|||||
7. Маматов 10. М. Фураиовые смолы. Производство и применение. М., |
1974. |
99 |
||||
8 . Наканиси К. ИК-спектры и |
строение |
органических соединений. |
М., |
1965. |
||
216 с. |
|
|
|
|
|
|
Всесоюзный научно-исследовательский |
институт |
Поступило в |
редакцию 01.06.82 |
|||
по защите металлов от коррозии, |
|
|
|
|
|
|
Москва |
|
|
|
|
|
|
Всесоюзный заочный машиностроительный институт, Москва
УДК 620.4.074:539.3:678.067
В. Л. Благонадежин, А. В. Дмитриев
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УДАЛЯЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКИХ
ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Метод удаляемых элементов [1] является универсальным разрушающим методом экспериментального исследования остаточных напряжений в анизотропных и неоднородных конструкциях сложной формы. В общем виде он предполагает использование расчетного аппарата метода конеч ных элементов, что неизбежно делает его громоздким и осложняет прак тическое использование. Для исследования часто встречающихся в тех нике конструкций в форме тонких оболочек вращения естественно в ка честве расчетного аппарата принять аппарат теории тонких оболочек и теории стержней. Общая схема метода удаляемых элементов в данном случае изображена на рис. 1. Из конструкции последовательно по сече ниям разрезки удаляются элементы в форме замкнутых кольцевых стержней или круговых оболочек. Остаточное напряженное состояние предполагается в общем случае неосесимметричным. Попадающие в оче редное сечение разрезки и освобождающиеся напряжения эквивалентны четырем обобщенным силам Ms, Ns, Q*s, Т*, которые разыскиваются в форме тригонометрических рядов по окружной координате ср
п п
М*=Мй+ ^ (AfAcos6<p+70Asin£<p); NS = N0+ ^ (A^cos/^cp+ A^sinfop);
ft-i |
/1=1 |
|
Q*s= Q*o+ X l |
cos &Ф+Q*k sin &<p); |
(1) |
fc=i |
|
|
П |
|
|
T*= T*0+ 2 , |
(f/t cos kq> + T*h sin kq>), |
|
h = l |
|
|
(8AZ+ 4) коэффициенты которых определяются по (8/г—2) параметрам деформации удаляемого элемента или оставшейся части конструкции и шести уравнениям равновесия.
Рис. 1. Общая схема метода удаляемых элементов.
Соответственно могут быть предложены два варианта метода уда ляемых элементов. Метод удаляемых стержневых элементов {2] (удаляе мый элемент имеет форму кольцевого стержня) заключается в последо вательном удалении из конструкции кольцевых стержней и их после дующей радиальной разрезке. Схема исследования конструкции в этом случае изображена на рис. 2—а. Деформации стержней, вызываемые их удалением, находятся по показаниям четырех групп тензодатчиков (рис. 3—а), из которых группы 7, 2, 3 фиксируют окружную, а группа 4 — сдвиговую деформации (группа 4 состоит из пар датчиков, ориенти рованных под углом ±45° к оси стержневого элемента (2]). Напряжения и эквивалентные им обобщенные силы Ms, NSi Q* , Т*, освобождающиеся
при удалении стержня, определяются по этим деформациям из решения задачи о напряженно-деформированном состоянии замкнутого ортотропного кольцевого стержня, загруженного произвольной нагрузкой. Для уточнения окружных остаточных напряжений производится радиальная разрезка стержневых элементов. Освобождающиеся в разрезаемом сече нии в общем случае шесть силовых факторов определяются по шести параметрам деформации элемента. Найденные таким образом осевые и окружные напряжения не будут равны остаточным, поскольку удаление каждого элемента вызывает дополнительные напряжения в оставшейся части конструкции. Эти напряжения находятся численным интегриро ванием соответствующих краевых задач теории тонких оболочек.
Выражения для осевых о8 и окружных оФостаточных напряжений в m-м сечении конструкции в методе удаляемых стержневых элементов имеют вид
7П—1 |
|
m—1 |
О з = |
A(Jsj AO s m y О'ф— |
ДОф; АОфтАОфт^» (2) |
j=l |
|
j=l |
где A(TSj, АсГфj — дополнительные напряжения в m-м сечении конструкции от удаления /-го стержневого элемента; Acrsm, Дсгфт, Лафтр — дополни тельные напряжения в том же сечении соответственно от удаления и раз резки m-го стержневого элемента. Аналогично в случае необходимости могут быть определены и касательные напряжения в конструкции. Ради альные остаточные напряжения находятся из третьего уравнения равно весия теории тонких оболочек после определения as и сгФ.
Рис. 2. |
Схема исследования конструкции методом удаляемых стержневых элементов (а) |
|
и методом удаляемых оболочечных элементов (б). |
Рис. 3. |
Схема тензометрирования удаляемого стержневого элемента (ft) и конструк |
|
ции (б). |
Наряду с методом удаляемых стержневых элементов для тонких обо лочек можно предположить и другой вариант метода удаляемых элемен тов, который назовем методом удаляемых оболочечных элементов. Здесь при определении остаточных напряжений от конструкции могут отде ляться произвольные (не обязательно стержневые) элементы. При уда лении каждого элемента регистрируются показания четырех групп тензо датчиков на оставшейся части конструкции вблизи сечения разрезки (рис. 3—б). Тензодатчики групп /, 2, фиксируют окружную, группы 3 — осевую, группы 4 — сдвиговую деформации. По разности показаний этих датчиков, снятых на целой конструкции и после ее разрезки по дан ному сечению, определяются деформации, вызванные освобождением не посредственно осевых остаточных напряжений. Показания тензодатчи ков каждой группы аппроксимируются тригонометрическими рядами
п
fi (ф) = *о+ |
£ |
(<7л cos kq> +qh sin £cp); |
|
||
|
/l=l |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
Ы ф )= 5о+ Х | |
(s/i cos k(f+shsin &cp); |
|
|||
|
k = l |
|
|
|
|
/з(ф) —*0 + |
L |
(r/j cos &ep +?k sin &cp); |
|
||
|
n |
|
|
|
|
M ф) =to+ |
|
(ihcos ky + th sin 6ф). |
|
||
|
/1=1 |
|
|
|
|
Для каждого фиксированного 6 ^ 2 |
обозначим |
|
|
||
X i = M k; x2 = N h\ xz = QY, |
x4 = T*u; x{ = M U\ |
x2= R h\ |
|
||
хг = QY, |
xA= T*h\ |
|
|
||
Ai = Як\ A2 = sk; A3 = rh\ |
A4 = Y, |
Ai = qti] A2= sk\ |
A3 = Y |
= h |
и из решения ряда вспомогательных краевых задач построим матрицы
влияния единичной торцевой нагрузки бг;-, 6t-j, элементы которых есть де формации в сечениях, где расположены тензодатчики группы i (по типу соответствующие измеряемой тензодатчиками данной группы), от торце
вой нагрузки Xj= 1, Xj = 1. Для них справедливы соотношения 6 i j = — S ijl если один из индексов (но не оба одновременно) принимает значение 4;
8ij = 8ij при всех других значениях индексов. Линейности теории тонких оболочек и метод разделения переменных [3] позволяют определить неиз вестные Xjy xj из решения двух систем линейных алгебраических урав нений
бijXj Af, 6ijXj —Aif |
if j 1, 2, 3, 4. |
В случаях 6= 0,1 коэффициенты рядов (1) находятся из решения сис тем уравнений второго порядка.
Для уточнения окружных остаточных напряжений в методе удаляе мых оболочечных элементов рекомендуется рассекать конструкцию па рами близких сечений и производить разрезку получившихся кольцевых стержней. Схема исследования конструкции в этом случае изображена на рис. 2—б. Осевые остаточные напряжения определяются изложенным выше способом, а окружные в сечениях 2/л, (2m—1) — по формУле
Оф= АсГф2т Ао’ф2т—1 Acupm^,
где ДсГф2т, ЛаФ2т -1 — дополнительные напряжения в сечениях 2т, (2т — —1) конструкции от освобождения в этих сечениях осевых остаточных
напряжений; Д сгфгпр — дополнительные напряжения |
в тех же сечениях |
от разрезки m-го кольцевого стержня. Аналогично |
в случае необходи |
мости могут быть определены и касательные напряжения. Определение радиальных остаточных напряжений ог ничем не отличается от соответ ствующей процедуры в методе удаляемых стержневых элементов.
Сравнение методов удаляемых стержневых и оболочечных элементов и анализ их расчетных формул позволяют сделать вывод о том, что пер вый из них следует применять для исследования конструкций, в которых характерный масштаб изменения остаточных напряжений X имеет поря док ширины кольцевого стержня Ь. В случаях Х ^ Ь и надо ис пользовать метод удаляемых оболочек элементов. Этот вывод следует в частности из того обстоятельства, что при Х^>Ь метод удаляемых стерж невых элементов становится излишне трудоемким, а при Х<^Ь приме нять его либо невозможно, либо он будет давать большую погрешность вследствие операции суммирования в формуле (2).
Рассмотрим вопрос оптимизации расположения тензодатчиков на удаляемом элементе и конструкции. Принимая в качестве параметра оптимизации в методе удаляемых стержневых элементов степень обус ловленности преобразования параметров деформации удаляемого эле мента в коэффициенты рядов (1), можно показать, что она прямо про порциональна площади треугольника из тензодатчиков групп У, 2, 3 (см. рис. 3—а) и величине деформации сдвига, регистрируемой тензодатчи ками группы 4. Таким образом, тензодатчики групп У, 2 должны разме щаться на внешней поверхности стержневого элемента как можно ближе к его краям; тензодатчики группы 3 — практически в любом месте внут ренней поверхности, а группы 4 — вдоль средней линии внешней поверх ности элемента.
В методе удаляемых оболочечных элементов наиболее простым и удобным приемом оптимизации тензометрирования поверхности обо лочки является размещение тензодатчиков в тех сечениях конструкции, где ее деформации ев, еф, узф от отдельно взятых единичных торцевых усилий достигают экспериментальных значений. Этот прием приводит к тому, что при разрезке конструкции следует регистрировать деформации бф>es, ySq>соответственно тензодатчиками групп У, <?, 4 (рис. 3—б) вблизи сечения разрезки и деформацию ефтензодатчиками группы 2 на расстоя нии Х/2 от сечения разрезки, где X — длина краевого эффекта в оболочке при данной торцевой нагрузке.
Изложенное выше в основном определяет расположение тензодатчи ков на конструкции и удаляемом элементе. Однако при исследовании конструкций из композитов следует также иметь в виду следующие три обстоятельства. Во-первых, при механической разрезке конструкции мо жет произойти отрыв крайних слоев вблизи сечения разрезки; во-вторых, можно повредить тензодатчики, расположенные слишком близко; в-третьих, в таких конструкциях, как правило, имеет место концентрация напряжения вблизи кромок (кромочные эффекты). Приведенные обстоя тельства требуют расположения тензодатчиков на определенном рас стоянии от сечения разрезки и должны учитываться при планировании эксперимента.
Изложенные выше варианты метода удаляемого элемента были при менены к исследованию остаточных напряжений в шести оболочках вра щения из органопластика, состоящих из цилиндрических частей с дни щами. Оболочки были изготовлены спирально-кольцевой намоткой с последующей термообработкой по идентичной технологии. Все они при надлежали разным партиям и имели конструктивные особенности. В про цессе термообработки оси оболочек имели горизонтальное положение, что вследствие миграции связующего в окружном направлении привело к неосесимметричности полей остаточных напряжений и упругих харак теристик материала оболочек. Последняя оценивалась экспериментально
в трех оболочках из шести путем предварительных испытаний их на внутреннее давление и осевое сжатие. Было установлено, что неосесимметричность упругих характеристик материала оболочек незначительна. Коэффициенты при первых гармониках имели порядок, как правило, на одну-две единицы меньше порядка нулевой гармоники. В дальнейшем при анализе остаточных напряжений распределение упругих характерис тик считалось осесимметричным.
В первых трех оболочках методом удаляемых стержневых элементов исследовалась осесимметричная составляющая остаточных напряжений. Для измерения деформаций использовались проволочные тензодатчики с базой 15 мм, показания которых регистрировались на тензометрической установке ИСД-2. Ширина элементов составляла 30—45 мм в первой конструкции, 18—24 мм — во второй и 20—30 мм — в третьей. В ка честве примера на рис. 4—а приведены результаты исследования обо лочки 3.
В оболочках 4—6 методом удаляемых оболочечных элементов иссле довали неосесимметричные поля остаточных напряжений. Для измере ния деформаций использовали проволочные тензодатчики с базой 5 и 10 мм, показания которых регистрировались с помощью цифрового тен зометрического моста ЦТМ-5. Удерживался один член ряда при исследо вании оболочек 4, 6 и два члена ряда при исследовании оболочки 5. Ко эффициенты при вторых гармониках в оболочке 5 получились на поря док меньше остальных коэффициентов. Это говорит о том, что для описания распределения остаточных напряжений в оболочках доста точно одного члена ряда.
На рис. 4—б приведены результаты определения остаточных напря жений в оболочке 6. Кривая 1 соответствует осесимметричной состав ляющей, кривая 2 — составляющей при cos ф, кривая 3 — составляющей при sin ф остаточных напряжений на внешней поверхности оболочки. Из рисунка видно, что распределение остаточных напряжений в оболочках существенно неосесимметрично. Осесимметричная составляющая имеет тот же порядок, что и составляющие при первых гармониках.
На рис. 5 показано распределение остаточных напряжений от термо упругой усадки оболочек, полученное расчетным путем. Сопоставляя приведенные кривые с соответствующими экспериментальными резуль татами, видим, что термоупругие напряжения лишь качественно описы вают распределение остаточных напряжений в оболочках.
Как следует из рис. 4, наибольшей величины остаточные напряжения в исследованных оболочках достигают в днищах. Чаще всего это проис ходило вблизи сечения перехода днищ в цилиндрическую часть. В экс-
Рис 4. Осесимметричное |
поле остаточных напряжений |
Рис. 5. Остаточные напря- |
в оболочке 3 (я) и неосесимметричное поле остаточных |
жения от термоупругой |
|
напряжении в |
оболочке 6 (б). |
усадки оболочек. |
периментах осевые напряжения достигали 17%, а окружные — 7% от предела прочности однонаправленного органопластика в направлении армирования (ав+~1000 МПа). Из-за отсутствия на днищах кольцевых слоев наибольшую опасность в данных оболочках могут представлять окружные остаточные напряжения. Радиальные напряжения будут ме нее опасны, так как в силу тонкости оболочек их величина составляет 1—2% от величины окружных напряжений, а соответствующие пределы прочности материала различаются примерно в 10 раз.
Выводы. 1. Распределение остаточных напряжений в исследованных оболочках существенно неосесимметрично при незначительной неосесимметричности упругих характеристик материала оболочек.
2.Наиболее значительных величин остаточные напряжения дости гают в днищах конструкций, причем наиболее опасными являются ок ружные остаточные напряжения.
3.Остаточные напряжения от термоупругой усадки оболочек, опре деленные расчетным путем, лишь качественно описывают распределение остаточных напряжений в оболочках.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Благонадежин, В. Л., Воронцов А. И., Баранов А. В. Метод удаляемых элементов
для экспериментального исследования остаточных напряжений в оболочках вращения из композиционных материалов. — Механика композит, материалов, 1978, № 6,
с.1112—1115.
2.Благонадежин В. Л., Дмитриев А. В. Метод удаляемого кольцевого элемента для
экспериментального исследования остаточных напряжений в тонкостенных оболочках вращения из композитных материалов. — Механика композит, материалов, 1980, № 4,
с.722—729.
3.Чернина В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения. М., 1968. 456 с.
Московский энергетический институт |
Поступило в редакцию 07.01.82 |
УДК 624.073.001:678.067
С. Б. Бушманов, Ю. В. Немировский
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЛАСТИН, АРМИРОВАННЫХ РАВНОНАПРЯЖЕННЫМИ ВОЛОКНАМИ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Задачи выбора оптимального способа укладки арматуры в пластин ках, нагруженных в своей плоскости, исследовались в работах [1—4]. Ис пользуемые обычно критерии оптимальности типа минимума суммарного объема арматуры приводят, как правило, к проектам, в которых пло щадь поперечного сечения каждого волокна арматуры существенно пе ременна по его длине. При реализации подобных проектов будут неиз бежно возникать серьезные технологические затруднения. Поэтому пред ставляется естественным при проектировании армированных пластин исходить из требования постоянства площадей поперечных сечений во локон. При этом следует добиваться равнонапряженности волокон, так как возможности арматуры используются в этом случае наиболее пол ным образом.
1. В настоящей работе рассматриваются пластинки, состоящие из изотропной матрицы и внедренных в нее волокон постоянного попереч ного сечения, уложенных в плоскости пластинки. Предполагается, что пластинки имеют постоянную (единичную) толщину и находятся в усло виях обобщенного плоского напряженного состояния. Обе фазы компо зита считаются линейно-упругими. Ставится задача определения такой схемы укладки арматуры в пластинке, при которой волокна арматуры будут равнонапряженными.
В качестве механической модели армированного материала исполь зуются следующие соотношения, связывающие усредненные напряжения с деформациями и структурными параметрами композита [5]:
аЕт
<т*=-1 -v 2(e*+ vej,) +
(OftCTft cos2 ал;
k = i
N
а У |
]aEmО (ey+ve*) + |
соли/, sin-* oc/t; |
( 1. 1) |
||
|
1 —V2 |
|
ft-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aEm |
N |
|
|
|
|
соhCtusin ал cos ал; |
|
|||
ixy=~. - |
■exy+ |
|
|||
|
+ |
v |
Л = 1 |
|
|
Oh=Eaek= const; |
ел= е* cos2 ал+Ву sin2 ал+е*у sin 2ал; |
&=1,2 , ... ,N . |
|||
|
|
|
|
|
( 1.2) |
Здесь Gx,oy, тXy, Ex, Ey, EXy — компоненты усредненных напряжений и де формаций; 0л, е/, — напряжение и деформация k-ro семейства волокон арматуры; сои удельная интенсивность армирования k-ro семейства волокон; a,k — угол между направлением волокон k-ro семейства и осью х\ Еа, Ет модули Юнга материалов арматуры и матрицы; v — коэф фициент Пуассона матрицы; а — удельная интенсивность прослоек свя зующего между армирующими слоями, которая считается в настоящем исследовании постоянной; N — число семейств армирующих волокон.
В силу предположения о постоянстве площади поперечного сечения волокон параметры армирования аи и со/* не могут быть независимыми.
Для установления связи, существующей между ними, вводятся в рас
смотрение векторные поля |
с компонентами |
co/ti = co/i cos ай] |
co/t2 = o)/t sin a/*; k = 1, 2 ,..., N. |
Пусть 5 — произвольная односвязная область с гладкой границей L, ап — вектор внешней нормали к L. Тогда абсолютная величина скаляр ного произведения co/tn имеет смысл суммарной площади поперечных се чений волокон £-го семейства, проходящих через единицу длины дуги контура L, причем co/tn отрицательно, если волокна входят в область S, и положительно, если волокна выходят из области 5. Но так как волокна имеют постоянное поперечное сечение и не могут обрываться внутри об ласти S, то суммарная площадь поперечных сечений волокон, входящих в S, равна суммарной площади поперечных сечений волокон, выходящих из 5, т. е.
J (одпd l= |
JJ* div co/tds = 0; £= 1, 2, ... , N. |
(1.3) |
L |
S |
|
Здесь при переходе от интегрирования по контуру L к интегрированию по области 5 использована формула Гаусса—Остроградского. В силу произвольности области 5 из (1.3) следует
div G/t= 0; ft= l |
, |
2 |
(1.4) |
В декартовой системе координат уравнения |
(1.4) в развернутой |
форме |
|
имеют следующий вид: |
|
|
|
—-(co/t cos a/t)+-^-(o)/i sin а*) = 0; |
£=1,2, |
.,N . |
(1.5) |
Для замыкания системы уравнений рассматриваемой задачи к урав нениям (1.1), (1.2) и (1.5) необходимо присоединить уравнения равно весия
д о х |
д х х у _ |
|
д х Ху |
д в у |
( 1.6) |
|
дх |
ду |
’ |
дх |
ду |
||
|
и уравнения совместности деформаций, которые удобно представить в форме
д & х _ |
д&ху |
^£2 |
д в у __ |
д&ху |
(5£2 |
( 17 ) |
ду |
дх |
дх |
дх |
ду |
ду |
|
где Q — компонент вращения.
2. Рассмотрим сначала задачу проектирования пластинки, армиро ванной двумя семействами равнонапряженных волокон постоянного по
перечного сечения (7V = 2). Введем в рассмотрение величины |
|
|
Ук=(еу— ех) sin 2a/t+ 2exi/cos 2a/t; |
£=1,2. |
(2.1) |
Вычитая соотношения (2.1) друг из друга, получаем |
|
|
(еу —Ех) (sin 2oci —sin 2a2) +2%x(cos 2ai —cos 2a2) = 2y, |
(2.2) |
где величина y=(y\ —y2)/2 имеет геометрический смысл изменения угла между волокнами первого и второго семейств. Разрешая систему урав нений (1.2) и (2.2) относительно е*, еу и гху, получаем
2es = ei + e2 —6o |
sin (ai + a2) |
|
sin а\ sin a2 |
|
;--------- — + 2y |
sin (ai —0&2) |
|
||
|
sin (aj —a2) |
|
|
|
2ey= ei + e2 + eo |
sin (0C1+ 0C2) |
+ 2y |
cos ai cos a2 |
(2.3) |
sin (ai —a2) |
sin (ai —аг) |
|||
cos |
(ai + a2) |
sin |
(ai + 062 |
|
---- ------------- |
у .---------------- |
|
||
2exy= eo sin |
(ai —a 2) |
sin |
(ai —0C2) |
|
где 60 = 61 —62-