Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий
..pdfпроизведение имеет один столбец и пять строк, что соответствует размерности матрицы Y. И тогда матрица-произведение имеет вид
Г1 Ь0+ |
М - 2 П |
1 й0+ |
М - 1 ) |
1&0“b ^i(0)
i^ о + М - И ) _1 &0+ М4"2)_
Сопоставление матрицы-произведения с системой уравнений убеждает нас в тождественности матричной и нематричной форм записей. Вектор Y, оказывается, и есть матрица произведений в данном случае. Элементы матрицы-произведения называются Скалярными произведениями вектор-строки матрицы, стоящей слева, и соответствующего вектор-столбца матрицы, стоящей справа.
В правилах перемножения |
матриц существуют |
особенности, |
не имеющие аналога в числах. |
Так, небезразлично, |
в каком по |
рядке записаны матрицы в произведении. Вы, наверное, заметили, что левая и .правая матрицы неравноправны. Если вы захотите умножить матрицу В на матрицу X (ВХ), то убедитесь, что этого сделать невозможно, ибо длины векторов, входящих в скалярное произведение, должны быть согласованы.
Таким образом, длй двух произвольных матриц произведение су ществует, если число столбцов матрицы, стоящей слева, равно числу строк матрицы, стоящей справа. Ясно, что для двух'квадратных мат риц одинакового размера существуют оба произведения (справа и слева),однако они могут быть различными. Матрицы, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, называются комму тирующими. В общем же случае для произведения матриц комму
тативный |
закон не |
выполняется. |
||
Перейдем теперь к системе нормальных уравнений МНК, |
||||
которая |
в нашем |
случае |
выглядит следующим образом (см. |
|
стр. |
144): |
|
|
|
5 |
Ъ0+ |
0&! = 10; |
060 + |
10Ьг = 10. |
Можно показать, что в матричном виде она запишется следующим образом: XTX B = X TY. Здесь Хг обозначает матрицу, транспо нированную по отношению к матрице X. Протранспонировать матрицу — это значит столбцы исходной матрицы сделать строками транспонированной матрицы, сохранив их последовательность. Так, в нашем случае транспонированная матрица
Х, _ Г + 1 + 1 |
+ 1 + 1 + 1" |
L— 2 — 1 |
0 + 1 + 2 J- |
Для получения системы нормальных уравнений нам пришлось умножить обе части исходной системы уравнений слева на Хт. Давайте выполним эти операции
160
XrY = |
+ 1 + 1 |
+ 1 + 1 |
+ 1 |
|
|
|
|
— 2 — 1 |
0 + 1 |
+ 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
'0 |
- f 1 + 2 + 3 + 4 |
' 10 ' |
|
|
||
|
. 0 - Н - 1) + 0 + 3 + 8 . |
10. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ 1 |
—2' |
|
хт = |
|
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
+ 1 |
- 1 |
|
||
|
+1 |
о |
|
||||
|
|
— 2 — 1 0 + 1 + 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
+ 1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
L+ 1 |
+ 2 |
'5 0' |
|
|
1 + 1 + 1 + 1 + 1 — 2 — 1 0 + 1 + 2 ' |
|||||
|
— 2 — 1 0 + 1 + 2 + 4 + 1 0 + 1 + + |
.0 10. |
Теперь можно записать систему уравнений:
'5 ---1О
1 ■О
10
IA1 |
|
__ |
|
о* |
1 |
1 |
'ю '
10.
Читателю представляется возможность убедиться в том, что полученная матричная запись в точности соответствует исходной системе нормальных уравнений.
Матрица ХТХ называется матрицей системы нормальных уравнений. Она обладает рядом важных для нас свойств. Прежде всего заметим, что в этой матрице два элемента, расположенных симметрично относительно диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний (так называемой главной диагонали),. равны между собой. В нашем случае это нули. Такое свойство характерно для матриц систем нормальных уравнений МНК, так как векторы, входящие в скалярные произведения, комму тативны.
Матрица, элементы которой симметричны относительно глав ной диагонали, называется симметричной. Если все элементы вне главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется диагональной. В дальнейшем нам понадобится еще одна разновид ность диагональных матриц. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой являются единицами, называется еди ничной матрицей. Единичная матрица играет в алгебре матриц такую же роль, какую единица — в алгебре чисел.
Решить систему нормальных уравнений это значит записать в явном виде элементы вектора В (Ь0 и Ъг). Если бы мы имели дело с числами, то для этого нужно было бы поделить обе части на коэф фициент при неизвестном и получить ответ. Но для матриц вместо деления (которое не определено) используется специальная опе-
11 Заказ М 588 |
161 |
рация умножения на обратную матрицу. Задача состойт в том, чтобы превратить матрицу, стоящую перед матрицей неизвестных коэффициентов, в единичную. Тогда умножение вектора В на еди ничную матрицу его не изменит, а чтобы равенство не наруши лось, и правую часть придется домножить на соответствующую матрицу. Если условиться обозначать обратную матрицу степенью
—1 , то предыдущие рассуждения приведут к следующей записи: (Х7^ ) -1 (X7’X )B = (X TX)_1X7'Y. Здесь система нормальных уравнений МНК умножена слева на матрицу, обратную к матрице системы .нормальных уравнений.
Произведение обратной матрицы на прямую справа равно
единичной |
матрице, |
которую условимся |
обозначать |
Е: |
||
Е = (Х гХ )-1 |
(Х^Х). В этом равенстве участвуют |
три |
матрицы. |
|||
Матрица системы нормальных уравнений Х^Х, |
которую |
назы |
||||
вают |
прямой матрицей, |
( Х ^ ) -1,— обратная матрица. |
Перепи |
|||
шем |
это равенство для |
нашей задачи |
|
|
|
'1
0
о I
1
а1\ а12
_ ®21 ^22 _
'5 |
О |
---1 |
0 |
10. |
Неизвестные |
элементы |
обратной матрицы обозначены a{j., где |
|||
i = 1, 2 |
соответствует |
строке, |
а / = 1, 2 — столбцу. Найдем эти |
||
элементы |
|
|
|
|
|
1 |
• 5 —f—a-уg *0, |
0 |
&21 * ^ “Ь" ^22 ’ |
||
0 = |
ап • 0 -J- а12 * 10; |
1 = |
а2Х• 0 -j- а22 • 10. |
||
Отсюда |
следует, |
что ап = 1/5, |
ai2= 0 , я2i= 0 . а22= 1 /10. |
||
Запишем |
обратную |
матрицу |
|||
(Х ^ Х )- ^ |
V, |
о |
|
|
|
|
|
о |
V |
|
|
Лишь благодаря простоте примера можно было воспользоваться столь элементарной процедурой. В общем случае приходится при бегать к более сложным алгоритмам и вычислительной технике [5, 6].
Отметим некоторые существенные свойства обратной матрицы. Произведение прямой и обратной матрицы коммутативно. Если прямую матрицу обозначить А, то АА_1= А_1А = Е .
Матрица, обратная к симметричной, тоже будет симметрична. На главной диагонали матрицы, обратной к диагональной, будут стоять числа, обратные соответствующим числам, стоящим на диагонали прямой матрицы. Зная это свойство, мы могли не про делывать предыдущие вычисления, а сразу записать обратную матрицу для нашего примера.
Продолжим вычисление для примера. Подставим известные матрицы в уравнение для вектора коэффициентов B = (X TX)-1X TY.
162
Имеем
' к
IA J
1 м СП |
О 1 |
Lo |
v10j |
1 |
------ Г 0 |
. 1 |
0 . |
Осталось перемножить матрицы и получить
V
IA J
1 |
|
|
м |
сл |
о |
— |
||
1___ |
|
о |
о |
|
о + |
1— |
-----1 |
|
Т |
|
|
О |
|
“Р/м *Ю
2
1 *
Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы, поэтому Ъ0= 2 , Ъх= 1. Таким образом, мы получили результат, совпадающий с полученным ранее без использования матриц.
Введем еще одно важное понятие: каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем этой матрицы. Определитель представляет собой алгебраическую сумму всех возможных произведений, в каждое из которых входит по одному элементу от каждой строки и от каждого столбца. Причем знак произведения ( + или —) зависит от положения элементов данного произведения матрицы.
Посчитаем определитель для матрицы системы нормальных уравнений. Здесь возможны два произведения, каждое из кото рых содержит два сомножителя 5-10=50 и 0-0=0.
Определитель принято обозначать
5 |
0 |
= 50 — 0 = 50 |
0 |
10 |
|
или
det 05 100 = 50
(det — определитель от латинского determinant). Вычислим определитель обратной матрицы
V5 |
о |
—Л__ о = — |
|
о |
Vio |
50 |
50 |
Можно заметить, что между определителями прямой и обратной матрицы существует в данном случае простое соотношение: они являются взаимнообратными числами. Такое соотношение выполняется и в общем случае.
Определитель может быть любым действительным числом, как положительным, так и отрицательным. Он может оказаться и равным нулю. С последним случаем связаны некоторые особен ности свойств матрицы. Матрица, определитель которой равен нулю, не имеет обратной. Такую матрицу называют особенной, вырожденной или сингулярной. Если же определитель матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной, невырожден ной или несингулярной.
11* 163
Например, у |
следующей матрицы определитель равен нулю |
||
и она |
является |
вырожденной |
|
det |
— 1 |
+ 2 |
= (—1 ) - (—2) — ( + 1 ) • ( + 2) = 0. |
_+1 |
—2 |
Значит, решение системы нормальных уравнений возможно только тогда, когда матрица невырождена, т. е. det (ХгХ)т^0. Это предполагалось и имело место в нашем примере.
10.3.Обобщение метода наименьших квадратов на многофакторный линейный случай
Пусть имеется к факторов и известно, что отклик и факторы
связаны линейно: у = Ъ 0х 0 ^ - Ъ 1х 1-\-Ъ 2х 2 - {- . -\-Ъ к х к . Выпишем для
этого случая матрицы X, Y и В
|
Х 0Х |
ГГц . . |
|
х к Г |
|
~УГ |
|
|
Г Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
Х02 |
х 1 2 . . |
|
Х к2 |
Y = |
У2 |
в |
= |
К |
= |
|
|
9 |
1 |
|
||||
( NX к) |
|
|
|
(JVX |
_УN _ |
[(/с+1)Х1] |
|
||
|
_ Х 0N |
*1* |
|
X k N _ |
|
|
|
Л _ |
|
Запишем исходную систему линейных уравнений: |
|
|
|||||||
Y |
= : ^ в , |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ У х ~ |
х ох |
Х 11 |
Х к1 |
г ч |
|
|
|
|
|
|
Уг |
Х 02 |
Х 12 |
Х к2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
• |
|
|
|
|
J N _ |
_ Х 0N Х 1N * * X k N _ |
л . |
|
|
|
|
После преобразований, аналогичных рассмотренным в пре дыдущем параграфе, придем к следующей формуле:
В = |
(Х^Х)-1 XrY; |
|
|
Ьо |
/ Х 0Х |
* 0 2 ‘ |
• X QN |
|
|||
1h |
*11 |
Х Х2 • |
|
.
=
гНн____1 °
* 0 2
* п .
Х 12
“ Г гН
• • Х к2
Л . |
V - Х кХ Х к2 |
‘ |
• х к Х _ |
_ х о х Х иу • • • Х к Х _ |
|
|
|
||||
|
*01 |
Н |
|
|
Ух |
|
О ю |
|
|
||
|
*11 |
Х 12 |
. X 1N |
У2 |
|
|
X |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
- Х к1 |
Х к2 • |
. Xjctf _ |
- У N - |
Скалярные произведения удобно представлять в виде сумм, т. е. матрицу системы нормальных уравнений можно ваписать в сле дующем виде;
104
|
2 * о |
2 * 0 * 1 |
2 * 0 * 2 •• |
• 2 * о * * |
|
||
Х ТХ = |
2 |
« |
л |
2 * ? |
2 *1*2 • |
• 2 * i * * |
|
|
- 2 % |
2 *1 ** 2 * 2 * * • • • 2 * 1 |
|
||||
Так как суммирование ведется от 1 до N по всему множеству |
|||||||
опытов, индекс |
суммирования мы |
опустили. |
\ |
||||
Аналогично |
X rY |
есть |
вектор сумм произведений: |
|
|||
|
2 |
z/*0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
*/*i |
|
|
|
|
|
XTY = |
2 ух2 • |
|
|
|
|
_ 2 г/**
Чтобы получить ответ, т. е. вектор В, остается обратить ма трицу Х^Х и умножить обратную матрицу на XrY.
Проведем обработку данных табл. 7.9 матричным способом
~ + 1 |
+ i + 1 |
+ 1 |
|
+ 1 |
|
+ 1 |
|
+ 1 |
|
- f i " |
|||
+ i |
_i_i _ 1 |
|
_ i _ i |
|
— |
1 |
4 - 1 |
|
■ fi |
||||
+ 1 |
— 1 — |
1 + i + 1 |
|
— 1 — |
1 |
4-1 |
|||||||
|
— 1 + 1 |
— |
1 — |
1 |
4 - 1 |
— |
1 |
+ 1 |
. |
||||
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— |
1 |
+ i |
4 - 1 |
4 - 1 |
— 1 |
|||||
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
— |
1 |
— |
1 4 - 1 |
— 1 |
||||
+ 1 |
4 - 1 |
4 - 1 |
— |
1 |
4 - 1 |
— 1 |
— |
1 |
— 1 |
||||
- - Н + 1 |
— |
1 |
4 - 1 |
— |
1 |
4 - 1 |
— |
1 |
— 1 _ |
||||
г - н 4-1 + 1 + 1 + 1 4-1 4-1 + П |
|||||||||||||
+ 1 |
+ 1 |
— 1 — 1 — 1 — 1 4 - 1 |
+ |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ 1 |
— |
1 — 1 4 - 1 |
— |
1 4-1 4-1 — 1 |
|||||||||
+ 1 |
— |
1 4 - 1 |
— |
1 — |
1 4 - 1 |
— 1 4-1 |
|||||||
+ 1 |
— |
1 4 |
- 1 |
— |
1 |
4 - |
1 |
— 1,4 -1 |
— 1 |
||||
+ 1 |
_ i _ i _j_i 4_1 — 1 — |
1 4-1 |
|||||||||||
+ 1 |
+ 1 |
— |
1 — |
1 |
-[-I + 1 |
— 1 |
— 1 |
||||||
L + i + 1 |
4 - 1 |
4 - 1 |
— 1 |
— |
|
1 — 1 |
— 1 _ |
8 0 0 0 0 0 0 0 "
0 8 0 0 0 0 0 0
0 0 8 0 0 0 0 0
Х*Х =
0 0 0 8 0 0 0 0
0 0 0 0 8 0 0 0 ;
0 0 0 0 0 8 0 0
0 0 0 0 0 0 8 0 L0 0 0 0 0 0 0 8^,
«66
‘Ve |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0~ |
0 |
V8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ve 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Ve 0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Ve 0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ve 0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ve 0 |
|
.0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ve- |
|
|
|
6 |
2|i£oi = |
i8817_ = 23,5875; |
||||
|
|
|
и |
|
о |
|
О |
|
|
|
’2 |
Vixbi |
^ |
|
|
= |
= |
1,0625; |
|
|
ъ = |
2 ^ |
2£= |
= ^ 5 = —5>8125; |
|||||
|
2 |
у<хи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
Vix2i |
6з = |
2 |
| ^ |
= |
1 А = |
о,1875; |
|
XrY = |
2 * № ,• |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
Vi4i ' |
= |
|
|
= |
2 ^ = 3 ,3 1 2 5 ; |
|||
|
|
|
|||||||
|
2 У iX bi |
&5 |
= |
2 |if 5 i= 0^_= 0 )0 6 25; |
|||||
|
2 |
у>хо< |
|||||||
|
2 |
у>хп_ |
Ьв = |
S | £^ i = |
z ^ 5 |
==_ i )3i25; |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
67 |
2 |
у&1\ |
—14,3 |
1,7875. |
||
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили те же результаты, что и в седьмой главе. Детально рассмотренная процедура МНК в матричной форме показывает, как получаются формулы для коэффициентов регрессии, которые использовались в предыдущих главах.
Аналогичным путем можно оценить эффекты взаимодействия, входящие в модель. Для этого надо расширить матрицу X, вклю чив в нее столбцы взаимодействий. Все остальные операции про изводятся совершенно аналогично. В векторе В появляются при этом элементы, соответствующие эффектам взаимодействий. Рас ширение матрицы X подобным образом называют линеаризацией. Это эквивалентно замене эффектов взаимодействия новыми ли нейными членами. Подобная процедура возможна только тогда, когда все коэффициенты входят в уравнение линейно. Такие урав нения называются линейными по параметрам и только они рас сматриваются в нашей книге. В некоторых случаях приходится использовать уравнения, нелинейные по параметрам. Примером
может |
служить уравнение Аррениуса y = b 0ebiXi, которое исполь |
зуется |
в химической кинетике [7, 8]. |
166
10.4. Статистический анализ
Впредыдущей главе вначале была продемонстрирована про цедура МНК, а затем рассмотрены статистические аспекты. Так же построена и эта глава.
Перейдем к статистическому анализу в матричной форме. Будем предполагать, что постулаты регрессионного анализа вы полняются. Что значит провести статистический анализ? Это значит проверить ряд статистических гипотез: гипотезу об аде кватности заданной модели, гипотезы о значимости отдельных ко эффициентов регрессии и др. Дальнейшее изложение направлено на прояснение некоторых обстоятельств, определивших вид фор мул статистического анализа регрессионной модели. Знакомство
сэлементами алгебры матриц поможет сделать это. Фундаментальную роль в анализе уравнения регрессии играет
матрица
M'i = (X T X sl})-\
которая называется матрицей дисперсий-ковариаций. Прямая матрица М называется информационной матрицей Фишера.
В структуре матрицы дисперсий-ковариаций содержится вся информация о статистических свойствах модели. Провести стати
стический анализ |
значит извлечь |
эту информацию. |
Для этого |
|
прежде всего |
перейдем от матрицы, обратной к матрице системы |
|||
нормальных |
уравнений, к матрице |
М-1. Оценка дисперсии вос |
||
производимости |
— скаляр; |
Х^Х — квадратная |
матрица. |
Умножить матрицу на скаляр слева или справа — значит умно жить на этот скаляр каждый элемент матрицы.
Полученные таким образом произведения имеют определенный статистический смысл. Так, на главной диагонали матрицы-про изведения стоят оценки дисперсий коэффициентов регрессии, вне главной диагонали расположены оценки, ковариаций.
Чтобы познакомиться с понятием ковариация, рассмотрим два произвольных вектор-столбца матрицы X. Во многих случаях важно знать, сколь сильна линейная связь между этими векторами. Ковариация является одной из мер такой связи. Чтобы найти ко вариацию, сначала центрируют оба вектора, а затем вычисляют их скалярное произведение. Центрирование используется для устранения неопределенности, связанной с выбором начала коор динат. Пусть, например, изучается ковариация между темпера турой и каким-нибудь другим фактором. Если значения темпера туры записываются в шкале Цельсия, то без центрирования зна чение ковариации получится иное, чем для шкалы Кельвина. При центрировании же это не произойдет.
Ковариация |
определяется по формул; |
|
|
N |
^ |
cov {Xхх2) = |
2 |
(хи — Sj) (x2i - х2). |
1=1
Заметим, что это выражение совпадает с числителем коэффициента парной корреляции, с которым мы уже сталкивались (§ 2.3).
Давайте построим матрицу М-1 для однофакторной линейной модели. Информационная матрица М равна:
М = (ХТХ • |
= |
N |
2 * » |
* 5{у}- |
||
2 *ъ- 2 *ь- |
||||||
|
|
|
|
|||
Матрица дисперсий-ковариаций М-1 |
равна: |
|||||
|
Л- 2 |
* ? f - ( 2 * 1()3 /{s,> |
sh} |
|||
M 1 = |
N 2 * i f - ( 2 * 1()a |
|||||
|
|
|
■> |
|
||
|
|
|
|
xlf)a sh } |
||
|
_ TV |
xf,- — (^ j x 1(-)a |
||||
|
/ Ь |
0> |
cov ib0’ 6i ) " |
|
||
|
cov{b0, b j |
|
s2{M J* |
|
Ортогональные планы, рассматриваемые в этой книге, обла дают тем свойством, что ковариации между всеми парами коэф фициентов регрессии равны нулю. Это можно проиллюстрировать примером из предыдущего параграфа:
~s\y}/8 |
|
|
s\y)l8 |
О |
|
Sli/}18 |
||
М 1 = |
s\y}l8 |
|
s2{3/)/8 |
||
О |
||
Ay)l8 |
||
|
sb }l8 |
|
|
sw l8 |
(так принято сокращенно записывать квадратные матрицы, когд^4 все внедиагональные элементы равны нулю). В этом примере
sa{y} = 1 и поэтому дисперсии |
6-коэффпциентов |
= 0,125. Таким |
|
образом, мы пришли к формуле |
|
||
s\bj} = |
s b/}IN, |
|
|
которая |
уже фигурировала |
раньше. Она справедлива для орто |
гональных планов.
Рассмотрим теперь проверку адекватности линейного урав нения регрессии. Дисперсия адекватности равна
N
2 (у,
о2 -- ___________
°*д — iv — (A -h 1) •
168
Числитель этого |
выражения — остаточная сумма квадратов — |
в матричной форме имеет вид |
|
N |
|
2 (у. — у{)2= |
(Y - Y)T (Y — Y) = Y TY — B ^ Y . |
i=i |
|
Приведем конкретный пример (§ 6.4, пример № 4) расчета остаточной суммы квадратов разными способами (см. табл. 10.3).
Таблица 10.3 Расчет остаточной суммы квадратов
Номер |
*0 |
Ж| |
|
|
|
у — у |
(у — уУ |
опыта |
|
V |
У |
||||
1 |
+ |
|
|
95,0 |
94,5 |
+ 0 ,5 |
0,25 |
2 |
+ |
+ |
— |
90,0 |
90,5 |
— 0,5 |
0,25 |
3 |
+ |
— |
+ , |
85,0 |
85,5 |
— 0,5 |
0,25 |
4 |
+ |
+ |
+ |
82,0 |
81,5 |
+ 0 ,5 |
0,25 |
Линейное уравнение регрессии имеет вид #=88,0 —2,0 ^ —4,5а:2. Обычный способ вычисления остаточной суммы дает
2 (у, — y ,f = (0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25) = 1,00.
1=1
Воспользуемся теперь матричной записью. Для этого придется ввести еще одну матричную операцию — операцию вычитания. Разностью двух матриц одинакового размера называется матрица, элементы которой являются разностями соответствующих эле ментов матриц уменьшаемого и вычитаемого, взятых в том же порядке:
|
"95,0“ |
"94,5” |
|
Г+0,5-1 |
|
||
|
90,0 |
— |
90,5 |
— |
—0,5 |
|
|
|
85,0. |
85,5 |
—0,5 |
|
|||
|
82,0 |
|
81,5 |
|
+ 0 ,5 |
|
|
Транспонирование |
и перемножение дают |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
"+ 0 ,5 " |
|
( Y - Y ) t (Y — ? ) = |
[+ 0 ,5 |
—0,5 —0,5 + 0,5] |
—0,5 |
||||
—0,5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ 0 ,5 |
|
= |
0,25 + 0,25 + |
0,25 + 0,25 = |
1,00. |
|
|||
Если воспользоваться другим выражением для остаточной |
|||||||
суммы |
квадратов, то |
|
|
|
|
169