Поведение конструкций из композитных материалов

V0( x , у ) = 52 И ^mnCOS ^ntX S^n modd Wodd

Ф« ж ( * )

Фй т ( * )

Ь п , ( х )

И

	= cos i i m		1	\	+ Vm cosh ц j		l	x
		~	2	)			(	: ■
	( г
	X				~ V m sinh f t m |			X
	— sin	4	)
	jf X		l	\		cosh ix m	(	x
	= COS n m \	"	2 )		+ Vm
	й						u	-

= sin(М т/2) / 8»пЬ(Мт/2)

и

1 \ )

"2 )

>(6-37)

■ i)

" 1 \) J

2

(6.38)

tan(fim/2 ) + tanh(/x m/2) = 0

(6.39)

Заменив аи(3, подставив у вместо х, п вместо т и Ь вместо а в (637), получим аналогичные представления для направления у . Решение транс­ цендентного уравнения (639) дает искомые величины, дш ид„ в (638)

и(637). Решения имеют вид

=1.505627г

/12 = 2.49975тг, /** = (&+ 2)^ for к > 3

(6.40)

Для граничных условий С2 значения м0 и v0 определяются равенствами (630) и (631). Когда два края шарнирно оперты, а два противополож­ ных защемлены, т.е. если края х = 0 и а —защемлены, а края у = 0 и Z? — шарнирно оперты, используются следующие разложения:

00 ОО

*’(*• >')= Е	Е « ' « ж* s	i	n	(6. 4i)
Wodd w«*dd
ОО	ОО

“ (*• J>>) = Е Е	cos \ пу	(6.42)
^odd ^odd

Д(*> у)=Е ЕЛ тпфлт sin хл^

wodd Я«чК1

где \ п - т/Ь .

Функции и0 (х , .у) и у0 (*, У) определяются равенствами (628) и (629) или (630) и (631) в зависимости от вида граничных условий.

Определение прогибов, углов поворота и напряжений

Значения	коэффициентов Wmn, Гт „, А ^ ,	Umn и	получаются
в результате	подстановки записанных выше	равенств в	(6.15) путем

последующего варьирования, интегрирования и решения системы уравне­ ний. Эти коэффициенты подставляются в (6.25) —(6.43) и в результате находятся углы поворота. Затем с помощью равенств (2.42) определяют­ ся деформации и напряжения в каждом слое, которые вычисляются с использованием (238) , при этом могут быть учтены воздействия темпе­ ратуры и влажности.

Численные примеры

Приведенные примеры подчеркивают важность учета гидротермичес­

ких воздействий на	полимерную матрицу композитных материалов.
С целью повышения	эффективности вычислений разработана и описана

в работе [2] программа расчета. Программа предназначена для расчета прямоугольных слоистых пластин как симметричных, так и несиммет­ ричных относительно срединной плоскости, с защемленными и шарнир­ но опертыми краями. Нагрузки заданы в виде градиентов температуры и влажности по толщине изделия, а также постоянного поперечного давле­ ния. В итоге в пластине определяются прогибы, смещения, усилия, мо­ менты, деформации и напряжения. Для расчета могут быть использованы линейная теория пластин (LPT), теория пластин с учетом поперечной деформации сдвига (TSD) и теория пластин, учитывающая как попереч­ ную деформацию сдвига, так и поперечную нормальную деформацию (TSD + TNS).

В приведенных здесь численных примерах использованы нечетные члены до m = л = 7. При этом точность решения при определении прогибов находится в пределах 0,1 % для шарнирно опертой пластины и 0,7 % для защемленной.

Использовался углепластик Т300/5208. Задавались его свойства при 21 и 177 °С, а для определения их при промежуточных температурах применялась линейная интерполяция. Эти свойства приведены в работе [2].

На рис. 6.2 показаны значения максимального прогиба для четырех­ слойной с симметричной и несимметричной укладкой слоев шарнирно опертой пластины с использованием разных теорий и при различных

Рис. 6.2. Четырехслойная пластина из углепластика Т300/5208 (a/h = 100, h =0,56 мм, M{Z) = 1,0 + 18,182Z, % (по массе), Р = 0)

Рис. 6.3. Распределение влажности при одной абсорбирующей поверхности шести­ слойной пластины, Н0 = 14 мм:

1 —Dt =0,0065 мм2; 2 — 0,0645 мм2; 3 — 0,3226 мм2; 4 —6,4516 мм2

отношениях а/Ь. Видно, что для a/h = 100 при различных отношениях а/Ъ влияние поперечных нормальной и сдвиговой деформаций на прогиб оказывается малым. Каждый слой имеет толщину 0,14 мм. Необходимо отметить, что максимальный прогиб несимметричной слоистой пластины больше, чем симметричной, что и следовало ожидать.

На рис. 63 приведено распределение влажности для одной абсорбирую­ щей поверхности шестислойной пластины в течение интервала времени t (D —коэффициент диффузии) .

Рассмотрим симметричную пластину сукладкой слоев [0°, 45°, —45°] 2$ с защемленными, но свободными в плоскости пластины краями. Пластина нагружена поперечным давлением 0,014 МПа по верхней поверхности, находится при постоянной температуре 66 °С и в условиях мгновенного нарастания влажности до М0 = 1,0 % (по верхней поверхности при t = 0). На рис. 6.4 показаны напряжения в разные моменты времени. Видно, что напряжения Sx и Sy в верхнем слое (в =0) являются, как и ожидалось, сжимающими.

Максимальное сжимающее напряжение Sx , равное'~ 62 МПа, возникает при полном насыщении, в то время как максимальное значение Sy , равное 69 МПа, достигается раньше.

Представляет интерес также изменение сжимающих напряжений в нижнем слое (0°) в условиях насыщения. Максимальные растягивающие напряжения (~34,5 МПа) возникают в нижнем слое, а в слое, с в = ±45° позже. Напряжение сдвига Sxy нарастает с повышением концентрации влаги. Максимальное напряжение сдвига составляет ~86 МПа и характе­ ризуется большими градиентами между слоями ±45°. Эти градиенты

Рис. 6.4. Напряжения Sx (a)y Sy (6) и SXy (в), возникающие в защемленной по пери­ метру пластине из углепластика Т300/5208 [0°, 45°, - 4 деформации в плос­ кости пластаны не ограничены (a/h = 100, Н0 =0,14 мм,М0 = 1,0 %,Р = -0,14 МПа, Т= 66 °С):

1 - Dt =0,006 мм2; 2 - 0,065 мм2; 3 - 6,452 мм2

напряжений приводят к появлению высоких значений межслойных напря­ жений сдвига [4].

Для иллюстрации гидротермического воздействия на рис. 6.5 представ­ лено распределение напряжений Sx, Sy и Sxy для такой же пластины и при тех же нагрузках (см. рис. 6.4), но без учета влажности. Видно, что гидротермическое воздействие приводит к увеличению iS^ в 0° слоях и значительному увеличению напряжений сдвига Sxy.

На рис. 6.6 приведены напряжения Sxy для пластины, показанной (см. рис. 6.4) при ограничениях на свободное расширение в плоскости. Показано, что напряжения сдвига заметно уменьшаются, в средних слоях их максимальное значение составляет только 34,5 МПа, т.е. они вдвое меньше, чем в случае свободной деформации пластины в своей плоскости. Необходимо отметить это явление как важное преимущество — при гидростатическом воздействии ограничение свободной плоской деформа-

Рис. 6.5. Распределение напряжений при гидротермическом воздействии на пластину

Рис. 6.6. Распределение сдвиговых напряжений в пластине: 1 - Dt =0,006 мм2; 2 - 0,065 мм2; 3 - 6,452 мм2

ции пластины приводит к снижению напряжений сдвига без значительного увеличения напряжений Sx и Sy . При этом также снижается возможность расслоения от межслойных напряжений сдвига.

В работе [12] подчеркивается важность учета поперечной деформации сдвига наряду с гидротермическими воздействиями, причем поперечные нормальные деформации не имеют существенного значения.

6.5.УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ ПАНЕЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

СУЧЕТОМ ГИДРОТЕРМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ

Необходимо быть уверенными не только в том, что не произойдет превышения допускаемых напряжений в панели при действии поперечных и мембранных зон, но также и в том, что она не потеряет устойчивость при действии сжимающих нагрузок. Заметим, что если тонкостенная конструкция подвергнута тепловому и влажностному воздействиям с одной стороны, то ее стенка, будучи изначально симметричной, стано­ вится несимметричной. В этом разделе формулируются положения общей теории устойчивости с учетом гидротермического воздействия, попереч­ ной деформации сдвига и всех смешанных жесткостей, обсуждавшихся в предыдущих разделах [6].

Вновь воспользуемся теоремой минимума потенциальной энергии. При этом для записи энергии деформации пластины используем полученное ранее выражение (6.15). Однако при отсутствии поперечной на­ грузки р(х, у) последний член уравнения (6.15) исчезает, но вместо него появляются члены, содержащие усилия Л^, Nxy и Nyy которые могут вызвать потерю устойчивости. Эта задача была решена в работе [6]. Таким образом, уравнение (6.15) примет вид

V= f Wdfl(SeeEq.				Ц	l / 3 w \ 2
				Эх	2 \ 9JC /
JR
Эил	9ti0	9w 8w	+ N„	9t)p	W 3w V	d A	(6.44)
+ Nxy 1 7	+ - э Г +	э 7 э 7		3 у	2 \ 3у J

Последние члены этого уравнения детально рассмотрены в работах [1,2] и здесь подробно описываться не будут. Кроме того, они традиционны как для изотропной, так и для композитной слоистой пластины. Критические нагрузки Nx, Ny и N^y соответствуют состоянию бифурка­ ции, при котором возможно существование как плоской (w = 0) , так и

искривленной	(w Ф 0) формы равновесия. Это состояние определяется
в результате	приравнивания нулю вариации V [см. уравнение (6.44)].

В соответствии с условием (6.2). Эта операция приводит к задаче на собственные значения, в результате решения которой могут быть полу­ чены дискретные значения приложенных нагрузок. Нижнее собственное значение нагрузки определяет величину критической нагрузки. В отличие от задачи на собственные колебания, в которой каждая частота имеет физический смысл, в задаче устойчивости такой смысл имеет только кри­ тическая нагрузка.

В предыдущем разделе и0, v0, w, а и 0 рассматривались как неизвест­ ные величины, определяемые в результате решения. В данном случае, просто для иллюстрации другого подхода, углы поворота а и jj выражают­

	ся через поперечный		прогиб. Для			этого	рассмотрим слоистую балку
	и сохраним в (6.15)		зависимость искомых функций только от перемен­
	ной х. В результате получим три уравнения:
	Ау d2u0 + В „ ^ - 0						(6.45)
	d x 2	d x J
	. da	d2w		d2w	0		(6.46)
	^ 55dx	- N .		=
		As5 d x 2		d x 2
		dw		d2и	^	(\za	(6.47)
	A>*a	^ 55dx + 5 ,1 d x 2 + D "				i ? -
							0

Эти уравнения могут быть решены относительно а , а полученная зави­ симость распространена на случай, когда а зависит и от у , т.е.

\	9w / DU A U - B 2t )( A5S - N x ) a3w
	(6.48)

Аналогично, рассматривая балку по направлению у , найдем

Эw	Р ц А 22	В22 \ I ^44	\ Э3 W
Р (у * х ) =	^	А л „2	h у з
9 у
Теперь выражения	(6.48) и	(6.49) можно	подставить в (6.44) так,

что потенциальная энергия будет содержать в качестве неизвестных только мо, v0 и w. * В качестве примеров для изучения методов исследования разны^ видов нагружения из условий (6.24) выбраны случаи шарнирного закреп­ ления (51) и защемления (С1). Формы записи перемещений для’выбран­ ных вариантов определяются равенствами (625), (628) и (629) для случая 51 и (635), (636) для случая СТ. Однако для прогиба в работе [6] было выбрано представление, отличающееся от (632). Необходимо помнить, что возможное.перемещение должно удовлетворять, по крайней мере, геометрическим граничным условиям и являться не единственным.

Конкретно, в данном случае используется следующее выражение:
	( т —1)тгх	( т ~ г \ ) 7тх	(650)
*(х.у)= Е Е К, cos-----------------cos---------------
т = \ п=1
( л - lW y	(л + lW y
COS”-----, -■--■■■- COS------ТГ—
b	b

Эти перемещения могут быть теперь подставлены в уравнение (6.15). Далее, варьируя по неизвестным амплитудам Wmn, Гтп и Атп, получим задачу на собственные значения:

*21

Ги> 01

ГМ	Е »		' 0	0	Е й	(6-51)
		( г -	\	0
е 22 Е 22		А-	>= NX 0		Е гз
Е 32 ^ 3 3 .			^ 3 ,	Е 32	F 33
			0	0	0
			0	0	0
			0	0	Сзз

Здесь принято, что Ny = XNx , а величины Еу, Fy и Gy обозначают коэф­ фициенты, которые определяются в процессе варьирования. С помощью первых двух уравнений (651) значения Гтп и Атп можно выразить через Wmn. После подстановки в третье уравнение получим

[E]{Wmn} = Nx[F]{Wmn) + ( N x)2\G]{Wmn)		(6.52)
Численное решение выражения (6.52)	для	критической нагрузки
Nx и программа расчета приведены в работе	[6] из приложения 2.

На основе разработанной выше общей теории устойчивости может быть осуществлено параметрическое исследование устойчивости слоистой композитной пластины общего вида с учетом гидротермического воздей­ ствия. С помощью программы, используемой для численного анализа можно найти критические нагрузки для тонкой слоистой пластины (о2 = = ez = 0) без учета поперечной деформации сдвига (LPT) , с учетом попе­ речной деформации сдвига (TSD) и для общего случая, когда учитывает­ ся поперечный сдвиг и нормальная деформация (3 = D) . Критическая нагрузка для симметричной и несимметричной слоистых пластин из углепластика Т300/5208 при одноосном нагружении вычислена с исполь-

зованием теории слоистых пластин при условии шарнирно опертых краев. Свойства пластины даны в работе [6].

Для симметрично уложенной [0°, 45°, -45°, 90°]4s композитной пластины из углепластика Т300/5208 с шарнирно опертыми или защем­ ленными краями критические нагрузки определены согласно общей теории слоистых пластин (3 = D) как для постоянных, так и для изме­ няющихся гидротермических условий. Предполагается, что в интервале температур от 30,8 до 154 °С свойства слоистой пластины линейно зави­ сят от температуры.

На рис. 6.7 приведено влияние на критическую нагрузку шарнирно опертых и защемленных пластин стационарного гидротермического воздействия. Влияние диффузии влаги от одной поверхности слоистой пластины с защемленными краями при повышенных температурах пока­ зано на рис. 6.8.

Для инженерных целей необходимо знать пределы применимости разных теорий, в которых они дают действительную информацию. Ниже приведены критические нагрузки Nx , полученные по разным теориям, кН/м:

	Источник	LPT	TSD	3 =D
[0°, 45°, -45°, 90°] s	[19]	2,95	2,95	2,95
	2,95
[45°, -45°, 45°, -45°]	0,406	0,426	0,426	0,427

Для иллюстрации рассмотрим критические нагрузки двух разных

слоистых пластин [032]	и [0°, 45°, -45°, 90°]4* при постоянных гид­
ротермических условиях:	70,4 °С и М = 0,4 %, которые определены с

использованием теории тонких пластин без учета поперечной деформации сдвига и с помощью общей теории слоистых пластин с учетом как попе­ речного сдвига, так и нормальной деформации. Края пластины защем­ лены, варьируются отношения a/h и а/Ъ. В качестве материала взят уг­ лепластик GY 70/339, свойства ко­ торого при 70,4°С можно найти в

работе [ 6].

Влияние отношения а/Ъ на кристаллическую нагрузку слоис­ той пластины представлено на рис.

6.9,	а. Для		отношений a/h, равных
68,2,	34,1		и 17,05,		влияние ajb в
пределах		от	0,25	до	2 показано
на	рис.	6.9,		б-г.	Для слоис-

Рис. 6.8. Влияние диффузии влаги от одной поверхности слоистой пластины

*N ‘ OiLi и/Н»

/H»OSil'*N H

H/HHOSLl

Z\______ I		I______ I_____
0	Ofi	1P	Ifi a/b

Рис. 6.9. Влияние отношения a/h на

критическую нагрузку			защемленной
слоистой	пластины из		углепластика
GY 70/339:
а ~ 1^321*		h = 22,25 мм, а = Ь;		б -
[Оз j )» а =		304,8 мм, И = 22,25		мм,
a/h = 68,2;		в — [0 32 1, а = 152,4 мм.
h = 22,25	мм, a/h = 34,1; г - [0 32 1,

а = 16/2	мм, h =22,25 мм, a/h = 17,05;
а —[0°,	45°, -4 5 °, 90°]5S, Л =

= 22,25 мм, а - Ъ