Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfа определитель D ab получается из определителя Da заменой первого столбца на столбец, составленный из коэффициентов полинома mv(co), т. е. на bQ, blt ..., bv~
bo |
«0 |
0 |
0 .. .0 |
bi |
a2 |
«1 |
«0- ..0 |
Dab== b2 |
ai |
|
fl2 •..0 |
bv- 1 |
0 |
0 |
0 ... CL\ |
Определитель Da совпадает с известным определителем Гурвица, ко торый используется для формулировки условия устойчивости дискрет ных стационарных систем. Кстати, так как система устойчива, то всег да Da >• 0. Развернем формулу (105) для случая, когда v = 1, 2, 3:
г _nibb
Ji — 7 > во ai
/2= — ( - ь 0+ — ) ; |
(106) |
|||
«0 |
а1\ |
а2 I |
|
|
|
I |
и I A |
OoOlJM |
|
|
\ —a^bo-f-aobi |
д |
J |
h =
do (а0а3—а 1
Проиллюстрируем применение формул (106) на примере интеграла
оо
_____ d<a
- J 212
'COQ-J-2«8С0 — (О
входящего в формулу (90) при S J со) = const. Перепишем его в виде (103). При этом
/2 (со) = — со2 + 2ie(o 4- cool Щ (со) = 1.
Коэффициенты полиномов (104), очевидно, будут а0 = —1; ах = 2г'е; а2 = ©о; Ь0 = 0; bx = 1. Подставляя значения этих коэффициентов во вторую из формул (106), найдем, что
22 — 2 •
2гщ
В результате приходим к формуле (100).
Рассмотрим теперь многомерное стационарное случайное воздей ствие qx(t), q2(t), ..., qn(t) на линейную систему. Спектральные пред
ставления возьмем в виде стохастических интегралов Фурье со спект рами Qj(cо):
<7,(О = «7/ (9 >+ |
j Q, N е,ш Л |
(107) |
|
|
|
— оо |
|
( /= 1 |
,2 , |
п). |
|
Нетрудно показать, что если |
все составляющие qj(t) |
стационарны |
и стационарно связаны, то представление (107) является стохастически ортогональным. В самом деле, вычисляя с учетом (107) взаимные кор реляционные функции
9 ) = j ‘ I <Qy (®) Qn (“ ')> е ‘ (<й' 1г~ е>‘ 1) dcodco',
— оо — оо
замечаем, что правые части будут зависеть только от т = t2 — tly если выполнено условие стохастической ортогональности (92). Отсюда, кста ти, вытекает формула, связывающая взаимные корреляционные функ
ции со взаимными спектральными |
плотностями |
|
|
|
оо |
|
|
Kqj ч (т) - |
j Sq. ч (о) е*" Ло, |
(108) |
|
а также обратное соотношение |
|
|
|
S4j як М = ^ |
j |
K-q. gk (т) е~Шх dx. |
|
|
— оо |
|
|
Решение системы уравнений (71) с правыми частями, представлен ными в форме (107), ищем в виде
uj (t) = (uj (7)>+ |
J Uj (со) еш |
d<s) |
|
|
— оо |
|
|
(/= 1, 2 ,..., m). |
|
||
Спектры выходного процесса |
Uj(w) |
удовлетворяют системе линейных |
|
алгебраических уравнений |
|
|
|
т |
|
|
|
S L]h(to>)Uk (e>) = Qj(a) |
(109) |
||
k=1 |
|
|
|
(/ = |
1, 2 ,..., л), |
|
где Ljh{m) — образы |
операторов Ljh в пространстве Фурье. Пусть |
|
т — «.Обозначим через Я ,л(ссо) элементы матрицы Грина |
||
|
Яи(ко) |
Я12 (to)... Я1п (t'co) |
Н (ш) = |
Hn (io3) |
Я22(/со)...Н2п(/со) |
^ т ( ‘®) Яп2(г'со)...Япп(10))
обратной по отношению к матрице с элементами Ljh(i<a). Будем назы вать Я;Ь (/со) передаточными функциями системы. При помощи пере даточных функций решение системы (109) записывается в виде
Uj (со) = S ЯЛ (to) Qh ((о) ( / = 1 , 2 , . . . , п).
*=i
Отсюда с учетом соотношения
<Я* (со) (со')> = S„. ,,k (со) б (со—со'),
где S Ujuk(со) — взаимные спектральные плотности выходного процесса, получим окончательную формулу
SUJ (©) = 2 ^2 Hja ( /со) ЯАр (/со) 5?а др(со). |
(НО) |
Эта формула связывает спектральные плотности входного и выходного процессов.
Рассмотрим пример на применение формулы (ПО). Пусть линейная система с п степенями свободы совершает стационарные случайные колебания под действием внешних сил. Предположим, что допускает ся полное разделение обобщенных координат, т. е. что уравнения ко лебаний системы могут быть представлены в виде
d2U; |
dlli |
о |
(111) |
~dt* |
+ |
tlj = q }(t) |
(/ = 1, 2 ,..., n).
Здесь СО; — парциальные собственные частоты системы; — пар циальные коэффициенты демпфирования. Передаточные функции си стемы Hjh(со) образуют диагональную матрицу
Hjh(®) = L](i<a) ’ |
|
|
где обозначено |
|
|
Lj (/со) = со у + 2izj со —со2. |
|
|
Используя формулу (110), находим |
|
|
^qi qk^ |
/1ю\ |
|
•Su^uft(co) ((02—2iej(o—a>2) (C0J + 2*8Aсо — со2) |
^ |
^ |
По Известным спектральным плотностям далее вычисляются диспер сии, корреляционные моменты, корреляционные функции и другие вероятностные характеристики второго порядка для выходного про цесса и его производных. Например, элементы матрицы корреляцион ных моментов определяются по формуле
°°‘ |
ч (со) dm |
Lj(—ia)Lk (ia>)
Произведем вычисления по формуле (113) в предположении, что внешние воздействия являются дельта-коррелированными, т. е. что все S q.qk{<o) = const. Интеграл
/= Г—^— ,
J (/•( —
—ОО
где |
— полином второго порядка |
/у(С0) = Ш;+2t8;(0 — О)2,
найдем по теореме вычетов:
I = 2ш У |
------------------- . |
|
lk (<*ka) |
Здесь (Oka — корни уравнения /й(со) = 0, лежащие в верхней по луплоскости. После элементарных вычислений получаем
^ |
,т __________ е» > У » |
|
(114) |
Л“У“^ и)- ( о ,;? -со 1 )Ч 4 (е,+ еЛ) |
‘ |
При / = k получаем дисперсии выходных процессов:
nSij <ij
Если демпфирование достаточно мало и если парциальные частоты це слишком близки друг к другу, то побочные элементы корреляционно матрицы (/ Ф k) малы по сравнению с главными элементами. Нанри. мер, при ~ гк ~ е условие малости побочных элементов по срав_ нению с главными имеет вид
в* |
--% )*• |
(115) |
§ 1.8. Элементы статистической динамики нелинейных систем
Анализ поведения нелинейных систем при случайных воздейст виях представляет серьезные трудности по сравнению с соответствую щим анализом линейных систем. Эти трудности встречаются уже на этапе составления уравнений относительно моментных функций вы ходного процесса.
Рассмотрим вначале особенности метода стохастических дифферен циальных уравнений в применении к нелинейным системам. Пусть стохастическое уравнение системы задано в виде (54), где L — нелинейный оператор. Для нелинейного оператора, вообще говоря, несправедлив принцип суперпозиции. Кроме того, сам оператор непереставим с операцией осреднения, т. е. <Lu> Ф L{и). Поэтому уравнения относительно моментных функций выходного процесса в общем случае образуют неразделяющуюся систему, каждое уравнение которой содержит старшие моментные функции. Таким образом, в от личие от уравнений относительно моментных функций на выходе ли нейной системы уравнения для нелинейной системы неоднородны относительно функций одного порядка.
Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть стохастическое уравнение системы имеет вид
(н е)
где \i — некоторая неслучайная постоянная. Уравнение (116) описы вает вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с ку бической нелинейностью под действием случайной силы и является, таким образом, вероятностным аналогом уравнения Дуффинга.
Перепишем уравнение в более компактной форме:
Ц и + \хи3 = q(t). |
(117) |
Через L0 обозначена линейная часть оператора L, совпадающая с опе ратором линейной системы (44). Желая получить уравнение относи тельно математического ожидания выходного процесса, осредняем уравнение (117) по множеству реализаций. В результате приходим к уравнению
£o<w> + 1- <ы3> = <</>>
которое наряду с математическим ожиданием < и > содержит также сред ний куб выходного процесса. Уравнение относительно среднего куба будет содержать, в свою очередь, моменты пятого порядка выходного процесса, а также смешанные моменты третьего порядка относительно входных и выходных процессов. Таким образом, попытка замкнуть систему уравнений приводит к бесконечной системе неразделяющихся уравнений.
Аналогичные трудности возникают при определении моментных функций второго порядка. Перемножая уравнение (117) для двух различных моментов времени и осредняя, придем к следующему урав нению:
LQL0( U (tj) и (t<i)) p<LQ( и (/*) и3 (^2)) +
/1 t2 |
tx |
|
+ pZ,0 <ы3 (t\) и (/2)> + |
H-2<"3 (*i) u3(/2)> =- (q (h) q (/2)>. |
(118) |
<2 |
|
|
Здесь индексы под символом оператора указывают, на функции како го аргумента оператор действует. Мы видим, что в это уравнение вхо дят также моментные функции четвертого и шестого порядков.
Выход из положения состоит в переходе к усеченной системе урав нений. Вместо того чтобы рассматривать бесконечную систему, даю щую точное решение задачи, ограничиваются рассмотрением прибли женной конечной системы. При этом старшие моментные функции ис ключают при помощи какой-либо подходящей гипотезы. Один из воз можных способов состоит в том, что все старшие моментные функции полагаются равными нулю. Другой способ основан на использовании приближенных соотношений, выражающих старшие моментные функ ции через младшие. Например, можно принять, что старшие момент ные функции связаны с младшими функциями соотношениями, спра ведливыми для нормальных процессов.
Напомним эти соотношения. Пусть Ulf U2, ...» Un — /i-мерный цен трированный нормальный случайный вектор. Известно [97], что все моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного поряд ка выражаются через корреляционные (бинарные) моменты. Для мо ментов порядка k = 2s имеем формулу
<U\'1ul*... и'пп> = 2 <£/„, иа,> <иа,иа,>... <Ua2s_, Ua2s>, (119)
где kx + /г2 + ...-\-kn =2s. Сумма, стоящая в правой части, содержит все возможные разбиения 2 s индексов аи а 2, ..., a 2s (включая повто ряющиеся индексы) на s пар a xa 2, a 3a 4, ..., a 2s- i a 2s. Общее число слагаемых в правой части формулы (119) равно (2s— 1)!!. При k — 4 в правой части стоит 3 слагаемых, при k = 6 стоит 15 слагаемых и т. д.
Воспользовавшись формулой (119), выразим моментные функции, входящие в уравнение (118), через корреляционную функцию
*,(*1. '*) = <« & )«& )>
(входной и выходной процессы считаем центрированными). Легко най дем, что:
<«&) «•&)> = |
3/С„(^, |
tt)K a(t2, t2), |
||
<ц3 (^) и (/2)> = |
3KU(tlt |
t J K J t , , |
t2), |
|
<п3 (/,) и3(f2)> - 9к и(/lf tt) к и (tt, |
t2) Ku (t2, |
t2) + |
6Я3 (tlt Q. |
Подставим найденные выражения в уравнение (118). В результате по лучим замкнутое уравнение относительно корреляционной функции
Ки |
/2): |
|
|
LQL0 Ки(^1» ^2)+ 3|1/Св (*2. |
ti)L0K u{tlt t2) + |
||
U it |
|
и |
|
|
+ 9 № Л*1, tJ K A tu |
Ц К и Ц ъ Ц + ф к Ж , U = |
h)- |
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производ ных. Если процессы u(t) и q(t) — стационарные, то относительно кор реляционной функции Ки(т) получаем обыкновенное нелинейное диф ференциальное уравнение:
L i Lo Ки(Т) + Зр к и(0) (Lo"+ Lo) Ка(Т) +
+ 9ц*К2и(0) Ка(т) + 9р2/(ц (т) = Кч(т).
При этом для краткости использовано обозначение
= J -J ± 2е |
dx |
+ ©о- |
dx2 |
|
Выше для приближенного замыкания системы уравнений исполь зовалась гйпотеза о существовании некоторой связи между старшими и младшими моментными функциями. Еще один способ для получения замкнутых соотношений дает метод малого параметра. Рассмотрим не линейную систему:
L0u + \if(u) = q(t), |
(120) |
где L0 — линейный оператор; f(u) — однозначная аналитическая де терминированная функция; |х — малый неслучайный параметр. По пробуем заменить систему (120) рекуррентной последовательностью линейных систем. Для этого будем искать решение в виде ряда по сте пеням малого параметра:
и = и0 (t) + pux (t) + р2«2 (0 + • • • |
(121) |
Разложим в ряд по степеням р также и нелинейную функцию /(и):
/ (ы) = /(«(,) + Р / 'Ы « 1 + -
При этом «о — некоторое порождающее решение. Подставляя ряды в уравнение (120) и приравнивая члены, содержащие одинаковые степени малого параметра, получим последовательность уравнений относительно функций, входящих в разложение (121):
L0 и0= q\
Lo“i = —/ М ;
L0u2= — f'(u 0)u1,
Кстати, из первого уравнения видно, что порождающее решение сов падает с решением соответствующей линейной системы. Существенно,
что каждое из уравнений этой системы линейно и что правые Части урав нений зависят лишь от функций, найденных на предшествующем этапе вычислений.
Пусть обратному оператору L~Q= H0 соответствует оператор Водьтерра с функцией Грина (импульсной переходной функцией) h(t, т). Тогда решение системы представляется в виде:
|
/ |
ио(0 ~ |
j /г {(, т) q (т) dx\ |
|
— ОО |
|
t |
«1 (0 = |
— j hit, т ) / [и0(г)]dx\ |
|
—оо |
|
/ |
«г (0 = |
— j л (г, т) / ' [«„ (т)] (т) dT, |
Моментные функции выходного процесса определяются осредне нием ряда (121). Так, для математического ожидания выходного про цесса
(0> = <^о (0>+ ^ <^1 (0>+ М'2 <^2 (0> + •
имеем формулу
/
<ы(0> = <“о(0> — И- j h(t, т)<П«о(т)]> dx+ ...
— оо
Моментные функции второго порядка определяются как
<« (*i) и (/2)> = <ы0 (/х) и0(/2)> + р. <w0 (*l) «1 (**) + “о (As) «1 (*i)> +
+ p,2 <«X (/x) Ых (/2) + U0 (ti) u2(t2)-\-u0 (t2) u2(/x)> + ...
После подстановки сюда выражений для функций ux{t), а 2(0 и т. Д- По лучаем
<и (tx) a (t2)> = <и0 (tt) и0 (t2)> — t2
—р, j h(t2, т2)<м0(^)П и оЮ ]> Л 2—
—оо
и |
|
— ц $ А(*1, T1)<ao(f2)/M 'ti)]>dT1+ ... |
(122) |
— оо |
|
Применим формулу (122) для вычисления корреляционной функ ции на выходе системы Дуффинга (116). Пусть q(t) — центрированный стационарный случайный процесс. Тогда u(t) также будет центрир0_ ванным стационарным процессом. Замечая, что для стационарной Сц_
стемы h(t, т) = |
h(t — т) и вводя обозначения tt — t x = 0Х, |
/2 — т2 = |
= 02. h — h = |
т, перепишем формулу (122) в виде |
|
|
оо |
|
^ Л 'г) = ^«.(т) —V- \ /г(62) <и0(0) ио(т 0о)> d02— |
|
|
|
о |
|
|
оо |
|
|
A(0i)<«o(x)US ( - 0 1)> d0i+ ... |
(123) |
|
о |
|
Здесь Ku,(i) — корреляционная функция нулевого приближения, т. е.
оооо
(*)= $ $ h (0Х) h (02) к п(т + 01— 02) dQx d02.
оо
Вправую часть формулы (123) входит моментная функция четвер того порядка от нулевого приближения u0(t). Чтобы найти эту функ цию, нужно иметь информацию о распределении процесса u0{t). Если внешнее воздействие является нормальным, то будет нормальным так же и процесс u0(t). Тогда для определения моментной функции четверо того порядка можно воспользоваться соотношением (119):
<«„ (0) u l (т— е2)>= ъКщ (0) Ки, ( т - 0 2),
<«о (t) ul ( - 0Х)> = 3Ки, (0) Ки, (Т + 0Х).
Подставляя найденное значение в формулу (123), получим оконча тельно
к и (Т) = Ки, (Т) - 3ц К О0 (0) 5h (0) [Ки0(Т- 0) + к и. (Г + 0)1 de + . . . (124)
о
Заметим, что для случая нормального входного процесса все вы писанные члены найдены точно. Члены, содержащие квадраты и более высокие степени малого параметра, будут зависеть от моментных функ ций процессов цх(/), u2(t) и т. д. При нормальном внешнем воздействии процессы u^t), u2{t) и т. д. свойством нормальности, вообще говоря, обладать не будут. Поэтому вычисление следующих членов разложе ния вызывает затруднения, сходные с теми, которые встречались в методе стохастических дифференциальных уравнений. Чтобы обойти эти затруднения, придется, как и ранее, ввести дополнительные гипо тезы о моментных функциях.
Нетрудно_видеть аналогию между применением метода малого па раметра в статистической динамике и теории нелинейных колебаний. Вообще, между методами^статистической динамики дискретных нелинейных систем и методами теории нелинейных колебаний много общего. Некоторые приемы по существу являются распространением методов теории колебаний на стохастические системы. Наряду с мето дом малого параметра в статистической динамике применяются ана-
логи методов Ван-дер-Поля, Крылова—Боголюбова и т. п. В следую щем параграфе мы остановимся несколько подробнее на методе статис тической линеаризации, идея которого берет свое начало от методов гармонической и эквивалентной линеаризаций, широко применяемых для расчета нелинейных колебательных систем.
§ 1.9. Метод статистической линеаризации
Метод статистической! линеаризации оснрван наидее о замене не линейных функций в уравнениях системы подходящими линейными функциями. При этом используется некоторый критерий наилучшего приближения этих функций. Для реализации критерия необходимо иметь сведения о распределении выходного процесса. Поскольку до решения задачи эти сведения отсутствуют, то приходится вводить не которые вероятностные гипотезы (такой гипотезой может служить, например, гипотеза о нормальности выходного процесса). Заменив нелинейные функции соответствующим образом выбранными линей ными функциями, мы получим для выходного процесса линейное урав нение. Однако коэффициенты этого уравнения будут зависеть от не известных параметров распределения. После того как линеаризиро ванная задача решена, можно получить уравнения для определения указанных параметров [96].
Метод статистической линеаризации аналогичен методу гармони ческой линеаризации в теории нелинейных колебаний. В основе метода гармонической линеаризации тоже лежит идея о замене нелинейной системы подходящей линеаризированной системой. Параметры линеа ризированной системы определяются из некоторого критерия эквива лентности, осуществляемого на множестве гармонических решений. При этом коэффициенты линеаризированной системы оказываются функциями неизвестной амплитуды (иногда фазы и частоты) колебаний. Уравнение для нахождения амплитуды составляется после решения линеаризированных уравнений. Это уравнение оказывается нелиней ным.
Поясним идею метода статистической линеаризации на простом примере. Пусть уравнение нелинейной системы имеет вид (120), где f(u) — детерминированная функция и. Для некоторого упрощения выкладок будем считать, что входной процесс q(t) является центриро ванным и имеет симметричное распределение, а функция f(u) являет
ся нечетной, т. е. f{u) = |
—/(—и). Тогда выходной процесс |
u(t) так |
же будет центрированным. |
|
|
Попробуем заменить |
функцию /(«) некоторой линейной функцией |
|
|
f( u ) m k u , |
(125) |
где k — неслучайная постоянная. Эту постоянную следует выбрать так, чтобы приближение (125) было в некотором смысле наилучшим. Критерий для выбора не является единственным. Например, естест венно потребовать, чтобы дисперсии обеих частей соотношения (125) были равны:
</2 (ы)> = k2(u 2}.
во