Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн
.pdfс
Q, = - j = 2я(1 - cos 0).
Тогда из (1) находим
в ^ /2*(1-с<” е ) д М . 2Tirsin0-2jr 2nr
3.1.11. Поле вращающегося шарика. Заряженный по поверхности шарик радиусом R с поверхностной плотно стью заряда а равномерно вращается вокруг своего диамет ра с угловой скоростью со. Пренебрегая влиянием вещества, найти индукцию магнитного поля внутри и вне шарика.
Довольно часто в сложных задачах, которые не уклады ваются в рамки простого применения какого-либо закона, или, если его применение сопряжено со значительными тех ническими трудностями, поступают следующим образом. На основании физических соображений (или аналогий) угадыва ется какое-либо решение, а затем оно проверяется на соот ветствие условиям задачи. Так и поступим.
При вращении шарика его движущиеся заряды эквива лентны поверхностным токам, которые и создают магнитное поле. Понятно, что для выбора вида предполагаемого реше ния нам необходимо, прежде всего, знать характер распреде
ления токов. |
Выделим |
на |
по |
||
верхности |
шарика |
бесконечно |
|||
узкий поясок, |
заключенный ме |
||||
жду углами |
0 |
и |
0 + </0 |
||
(рис. 3.20). |
Направим |
ось |
Z |
вдоль угловой скорости враще ния шарика со (начало координат располагается в центре ша
рика - точка О ). Вращаясь с угловой скоростью со, такой поясок с зарядом dq в соответствии с определением силы
тока эквивалентен круговому току dl =dq(S)/2n, где
dq = odS - G2%R2sin QdB. Тогда для силы тока dl получаем
dl = act)/?2 sin QdQ.
Отношение этого тока к длине RdQ есть линейная плот ность тока
i = сио/?sin 0 = J0 sin 0,
где /0 = сто)R.
Таким образом, вращающийся щарик эквивалентен кру говым токам, линейная плотность которых изменяется с по лярным углом 0 по закону синуса. В электростатике нами уже решалась задача 1.2.9 об электрическом поле заряженно го по поверхности шарика, поверхностная плотность заряда которого также изменялась по закону синуса. Там было пока зано, что вне шарика электрическое поле является полем то чечного электрического диполя, находящегося в центре ша рика, а внутри формируется однородное поле. Опираясь на эту аналогию, предположим, что и магнитное поле в нашей задаче вне шарика является полем точечного магнитного ди поля, а внутри шарика поле однородно. Это совершенно ра зумное предположение, основанное на полной аналогии электрических и магнитных полей, в чем мы уже не раз убе ждались.
Рассмотрим вначале магнитное поле вне шарика. Оно определяется полным магнитным моментом, который скла дывается из магнитных моментов отдельных элементарных поясков:
dpm= dl ■n(R sin 0)2 = C(oR2sin BdOnR2sin2 0 =
= com/?4 sin3 BdQ.
Интегрируя no 0 от нуля до я , получаем магнитный момент всего шарика
4naR*&
Pm
3 Воспользовавшись теперь полученным в задаче 3.1.1
выражением (5) для вектора В магнитного диполя, находим
В = |
3 |
( 1) |
|
|
где вектор г проведен из центра шарика. Модуль вектора В равен
Зг3
(угол 0 отсчитывается от направления вектора со). Обратимся теперь к расчету поля внутри шарика. Выше
уже говорилось, что это поле возможно однородное. Для
проверки этого предположения найдем хотя бы значение В на оси Z (с учетом симметрии поле на оси Z направлено вдоль этой оси). В соответствии с законом Био-Савара ин дукция магнитного поля, созданного в произвольной точке А на оси Z бесконечно малым кольцевым элементом площа дью dS (см. рис. 3.20), находится как
-AsinQ
4пг3
Здесь I - линейная плотность тока на кольцевом пояске площадью dS = InR1sin0d6, край которого располагается под углом 0 к оси Z ; г - расстояние от края пояска до точ
ки А , заданной координатой z ■Значение г |
нетрудно найти |
|
из рис. 3.20, воспользовавшись теоремой |
косинусов: |
|
r = (tf2 + z2'2/?zcos0)'/2 И с учетом того, |
что |
i = i$sin0, |
для dB имеем |
|
|
dB = b !o ^ . |
sin3 0^0 |
2 ( R 2 + Z 2 - 2 R Z C O S B ) |
|
Введем для удобства |
безразмерную координату |
^ = z//? (0<£ < 1). Тогда полное поле в произвольной точке
на оси Z можно представить в виде интеграла
o/ts _ МоЦ |
sin3 0^/0 |
2 OJ(I + ^ |
- 24COS0)3/2‘ |
С помощью замены переменных и = cos0 данный инте грал сводится к двум табличным интегралам, значение кото рых в сумме равно 4/3. Таким образом, величина В на оси Z не зависит от положения точки и составляет
д _
3
Это выражение с учетом связи i0 = owR можно записать в векторном виде
Я = | ц 0стШ. |
(2) |
Используя данный результат и теорему о циркуляции вектора В , нетрудно показать, что магнитное поле в любой точке внутри шарика однородно (именно это мы и предпола гали ранее) и определяется формулой (2).
И в заключение осталось только проверить обоснован ность нашего начального предположения о том, что поле вне шарика является полем точечного магнитного диполя (значе ние однородного поля внутри шарика мы получили «честно» прямым расчетом). Для этого нужно проверить выполнение условий «сшивания» решений на поверхности шарика. Одно из этих условий заключается в равенстве нормальных со
ставляющих полей (это следствие теоремы Гаусса для векто ра В). Из (1) находим
Впвне |г_д = | й о ^ С О 5 0
(мы учли, что направление нормали к поверхности шарика п совпадает с направлением вектора г ). В свою очередь из формулы (2) получаем
= з ^ ю с о в О .
Значения Впвне|г=/?и 5лвну1ри|г=л совпали. Применим те
перь теорему о циркуляции вектора В к любому малому контуру, плотно прилегающему к поверхности шарика, при чем, часть контура находится вне шарика, другая часть - внутри (контур отражен на рис. 3.20 пунктирной линией). Из этой теоремы следует, что касательные составляющие векто ра В внутри и вне шарика должны быть связаны соотноше нием
внутри = )V (3)
(направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта). Из (1) и (2) находим
|Х0СТ/?(0sin 0, |
з |
3 |
Если учесть, что i = CTCO/?sin0, то соотношение (3) также выполняется. Таким образом, предположение о том, что маг нитное поле вне шарика является полем точечного магнитно го диполя, а внутри шарика - однородно, можно считать до казанным.
3.2. Силы в магнитном поле
На находящийся в магнитном поле проводник с током
действует сила Ампера |
|
dF = l[dlB~], |
(1) |
где dl - вектор, совпадающий по направлению с током и ха рактеризующий элемент длины тонкого проводника. Если же
токи распределены в пространстве с плотностью j |
, то |
dF =[j,B ]d V |
(2) |
Интегрируя выражения (1) и (2) по элементам тока (ли нейным или объемным), можно найти магнитную силу, дей ствующую на тот или иной объем проводника или его линей ный участок. В частности, сила, действующая на контур с то
ком в магнитном поле, определяется как |
|
F = I<Sj[dl,B\, |
(3) |
где интегрирование проводится по данному контуру с то ком / При малых размерах контура выражение (3) удобно представлять в виде
F
где рт - модуль магнитного момента контура; дВ/дп - про
изводная вектора В по направлению нормали Я. Направле ние вектора силы совпадает с направлением элементарного приращения вектора В, взятого в направлении вектора рт
в месте расположения контура. Если рассматривать только проекцию силы на некоторое направление X , то
Рх = Рт дп
Момент амперовых сил М для произвольного контура с током рассчитывается по формуле
й = [? .* ]•
Работу амперовых сил можно рассчитывать обычным образом, но иногда удобной оказывается формула
бА= Ш>,
где ЬА - работа амперовых сил при элементарном переме щении контура; (1Ф - приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении. Если при перемещении поддерживать ток постоянным, то полная работа
Л = /(Ф 2 -Ф ,), где Ф, и Ф2 - магнитные потоки сквозь контур в начальном
и конечном положениях Ф = j BdS . s
3.2.1. Взаимодействие параллельных проводов. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одного конца на сопротивление R, а с другого конца подключены к источнику постоянного тока. Радиус се чения каждого провода в г| раз меньше расстояния между осями проводов. При каком значении сопротивления R про вода отталкиваются?
Поставленный в задаче вопрос кажется несколько странным. Еще из школьного курса физики известно, что раз нонаправленные параллельные токи всегда отталкиваются, в этом проявляется магнитное взаимодействие. Откуда же здесь может появиться притяжение? Дело в том, что незави симо от наличия тока, на каждом проводнике имеются избы точные поверхностные заряды, причиной которых являются полюса источника тока (рис. 3.21). Эти заряды имеют разные знаки, что и приводит к кулоновскому притяжению про
|
водов. |
Магнитная |
и электрическая |
|||
|
силы направлены в разные стороны, |
|||||
|
и при определенных условиях резуль |
|||||
|
тирующая |
сила |
может |
обратиться |
||
|
в нуль. |
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем |
вначале |
электриче- |
|||
FM |
скую силу |
F3. Пусть линейная плот- |
||||
Рис. 3.21 |
ность |
избыточных |
зарядов проводов |
|||
|
(заряд единицы длины) равна Я . Так |
как провода имеют пренебрежимо малое собственное сопро тивление, то величину Я можно считать постоянной по дли не проводов и разной по знаку для разных проводов. В этом случае электрическая сила, действующая на единицу длины провода,
F,= XE,
где Е - напряженность электрического поля, созданного
другим проводом. Ее значение нетрудно найти из теоремы Гаусса
Е=—— , 2П£0/
где I - расстояние между проводами. Тогда 12
2яе0/
Значение магнитной силы, приходящейся на единицу длины провода, найдем как
FM=IB,
где В - индукция магнитного поля, созданного длинным проводником с током I (см. задачу 3.1.2)
В = М .
2п1
В итоге
Тогда
или с учетом закона Ома
2
_ ЕрЦ)
F3 R2 U
где U - напряжение между проводами. Расчет напряжения в двухпроводной линии проводился нами в задаче 1.3.2, и для него было получено значение
Таким образом,
Fu р0 1п2л
F, е0 я2/?2
Для определения сопротивления /?„, при котором ре зультирующая сила взаимодействия проводов обратится в нуль, необходимо положить FM/ F3= l. Откуда
Если R < RQ, то провода отталкиваются, если же R > RQ - притягиваются. Таким образом, наблюдаемое обычно на опыте отталкивание разнонаправленных параллельных токов, про исходит только при достаточно малом сопротивлении, когда можно пренебречь электрической силой притяжения.
3.2.2.Прецессия кольца. Равномерно заряженное тон
кое непроводящее кольцо массой т и зарядом q вращается
с большой угловой скоростью со вокруг своей оси во внеш
нем однородном магнитном поле с индукций В . Найти угло вую скорость прецессии кольца Q , если его ось составляет
некоторый угол с вектором В .
Явление прецессии возникает, если к быстро вращаю щемуся симметричному телу приложить постоянный по ве личине момент внешних сил. В этом случае вектор момента импульса тела описывает конус вокруг фиксированного на правления с некоторой угловой скоростью, называемой ско ростью прецессии. Одно из самых наглядных проявлений
прецессии - вращение оси наклоненно
Вго волчка по образующей конуса во круг вертикальной оси.
Внашем случае постоянный по ве личине момент внешних сил обуслов лен магнитным взаимодействием кру гового тока, образованного вращением заряженного кольца, с внешним маг нитным полем. Обратимся к рис. 3.22. Вращающееся заряженное кольцо экви валентно контуру с током l - q (о/2п.
На этот контур со стороны внешнего магнитного поля дейст
вует вращательный момент сил М = >стремящийся ус
тановить магнитный момент рт по направлению поля В . Под действием момента М вектор рт и соответственно вектор
момента импульса L совершают в силу инерционности вра
щающегося кольца прецессию вокруг направления вектора В со скоростью Q . Будем полагать эту скорость много меньше угловой скорости вращения кольца (О.