Строительная механика стержневых систем Часть 2

Поперечная сила в сечении балки 3-С на расстоянии 0,5l3 , считая его на бесконечно малую величину вправо от силы Р,

равна

5 q l q

0,5l

11 P 1 q l

11 P

(см.

эп.

Qa

8

3 3

3

3

16

8

3 3

16

3-С

и эп.

Qб

на рис. 10.22).

3-С

y 0

Реактивную

силу

R3Р

найдем

из

уравнения

(см. рис. 10.26)

R

q 0,5l

2

0,5l

P

1 q l

2

1 q l

11 P

.

3Р

3

3

8

3

8

3 3

16

После преобразований получим то же самое значение реак-

ции

R

в третьей

дополнительной

связи,

т.е.

R

3 q l

3Р

3Р

8

3 2

83 q3l3 165 P.

Вединичных состояниях эпюры изгибающих моментов прямолинейные, поперечные силы для каждой изгибаемой балки постоянные, и, следовательно, не играет роли, в каком месте рассечем балки основной системы.

10.9. Построение окончательной эпюры моментов и ее проверка

Из системы канонических уравнений найдем неизвестные

перемещения Z1, Z2 ,... Zn (если nкин n ). По принципу суперпозиций окончательную эпюру моментов М строим по формуле

M M1Z1 M2 Z2 ... Mn Zn M Р

или

M M1 M2 ... Mn MР ,

(10.8)

где M1 M1Z1, M2 M2 Z2 ,..., Mn Mn Zn – исправленные эпюры изгибающих моментов, построенные относительно основной системы.

Окончательная эпюра М строится относительно заданной системы. В промежуточных сечениях стержней значения моментов находятся по формуле (10.8) или по формуле (10.5).

61

Проверку окончательной эпюры моментов, как и для любой статически неопределимой системы, можно выполнить с использованием метода сил, предварительно рассмотрев равновесие узлов.

Для деформационной проверки эпюры моментов определить nстат , выбрать основную систему метода сил и относительно нее

построить суммарную эпюру моментов Ms от одновременного

действия неизвестных X1 X 2 ... Xk 1 (если nстат k ). Отрицая возможность перемещения точек по направлению

l	MEJs M dx 0 с использованием правила
связей, проверить 0

Верещагина или готовых формул, полученных на основании правила (см. гл. 7).

10.10. Построение эпюры поперечных сил, эпюры продольных сил и их проверка

Подробно этот вопрос рассмотрен в гл. 7 первой части учебного пособия. Эпюра поперечных сил строится по эпюре

моментов с использованием формулы	Q	Q0		Mправ Млев	,
	k	k		l

где Qk0 – поперечная сила в сечении k простой балки пролетом l, соответствующей стержню системы (или его части), находящейся под той же нагрузкой; Mправ , Млев – концевые моменты,

соответственно правого и левого концов стержня (или участка), взятые со своими знаками с окончательной эпюры моментов.

На участке, где эпюра моментов прямолинейная, поперечная сила постоянная, и ее можно определить по формуле Q tg , где α – угол наклона эпюры моментов к оси стержня.

Поперечная сила положительная, если ось стержня поворачивается (по наименьшему углу) до совмещения с эпюрой моментов по часовой стрелке. В противном случае она отрицательная.

62

Продольные усилия в стержнях заданной системы находят из равновесия узлов. Неизвестные продольные усилия принимают положительными, т.е. растягивающими (от узла), поперечные силы в сечениях стержней берут с эпюры поперечных сил с учетом их знаков.

Первоначально рассматривают равновесие двухстержневых узлов. Если в узле приложена сосредоточенная сила, ее необходимо учитывать. Окончательные эпюры Q и N строят относительно заданной системы.

Проверка эпюр поперечных (Q) и продольных (N) сил статическая. Вырезают часть системы (рамы), показывают внешнюю нагрузку, в сечениях изгибающие моменты, поперечные и продольные силы, взятые с соответствующих эпюр с учетом их знаков. Статическая проверка заключается в выполнении всех условий равновесия системы сил:

x 0; у 0; Мk 0.

10.11.Особенности расчета рам с наклонными стойками

Рассмотримстатическинеопределимуюраму нарис. 10.27, а. Жесткость EJ const.

Рис. 10.27

nкин 1 1 2 (см. п. 10.2)

Основная система метода перемещений на рис. 10.27, б.

63

Определим погонные жесткости: i1 ESJ ,

где S – длина наклонной стойки;

i2 EhJ , i3 ElJ .

Примем EJ = 1, тогда i1 S1 , i2 1h , i3 1l . Система канонических уравнений:

r Z	r Z		R	0,	(10.9)
11 1	12	2	1P
r21Z1 r22 Z2 R2P 0.

Рассмотрим первое единичное состояние основной системы и построим первую единичную эпюру моментов (M1 ) от единичного угла поворота первой дополнительной связи на угол

Z1 1 (рис. 10.28) (см. прил. 1 и 2).

Рис. 10.28

Определение коэффициентов при Z1 системы канониче-

ских уравнений (10.9). Реактивный момент r11 , возникающий

в первой дополнительной связи (фиктивной заделке), находим по эпюре моментов (см. рис. 10.28) из равновесия узла 1:

64

r11 4i2 3i3.

Определим реактивную силу r21 , возникающую во второй

дополнительной связи (опорном стержне). Вырежем часть рамы первого единичного состояния основной системы, рассекая

стойки, и рассмотрим ее равновесие (рис. 10.29), как x 0.

Рис. 10.29

Поперечная сила в балке В-1 постоянная, а в балке А-2 нулевая. В сечении наклонной балки нужно учесть продольную

силу (NA-2 ) , которую найдем из равновесия узла 2 (рис. 10.30).

Рис. 10.30

y 0, отсюда NA-2 l cos3i3

Тогда из уравнения x 0 системы сил (см. рис. 10.29) получим

r21 6hi2 NA-2 sin 0

65

и

r	3i3 sin	6i2
21	l cos	h

или

r21 3li3 tg 6hi2 .

ОпределениекоэффициентовприZ2 системыуравнений(10.9).

Рассмотрим второе единичное состояние основной системы, принимая линейное смещение второй дополнительной связи

по горизонтали на Z2 1 (рис. 10.31, а) и построим вторую единичную эпюру моментов по прил. 1 и 2 (рис. 10.31, б)

Рис. 10.31

От смещения узла 2 по горизонтали верхний конец балки А-2 смещается по направлению, перпендикулярному оси балки, на ве-

личину 1, тогда этот же узел (узел 2) ригеля смещается по вертикали на величину 2 (см. рис. 10.31, а). Ригель (балка 2-1) деформируется от смещения левого конца на величину 2 . Перемещения 1 и 2 найдем из

прямоугольного треугольника с катетом, равнымединице, иострымугломα.

1 cos1 и 2 tg .

66

Соответственно и концевые моменты на эпюрах балок А-2 и 2-1 по принципу суперпозиций умножаются на 1 и 2 .

По эпюре моментов (см. рис. 10.31, б) из равновесия узла 1 находим реактивный момент r12 :

r12 3li3 tg 6hi2 .

Выполняется равенство r12 r21 .

Реактивную силу r22 определим из равновесия части рамы

основной системы второго единичного состояния, рассекая стойки (рис. 10.32, а).

Рис. 10.32

Поперечные силы в балках А-2 и В-1 постоянные (эпюры моментов прямолинейные). Их можно найти, например, по формуле (10.7). При этом ось балки А-2 и балки В-1 поворачиваются до совмещения с эпюрой моментов по часовой стрелке, следовательно, поперечные силы положительные (стремятся повернуть вырезанную часть рамы, как диск, по часовой стрелке).

Продольную силу (NA-2 ) в балке А-2 найдем из равновесия узла 2 (рис. 10.32, б). Поперечная сила в балке 2-1 (ригеле) по-

стоянная и равна 3li23 tg (см. рис. 10.32, б).

Из уравнения y 0 всех сил узла 2 (см. рис. 10.32, б) получим

67

N		3i1 sin		3i3 sin .
A-2		S2 cos2		l2 cos2

Тогда из уравнения x 0 системы сил (см. рис. 10.32, а) найдем r22 :

r22 3Si21 12h2i2 NA-2 sin ,

т.е.

r22 3Si21 1 tg2 12h2i2 3li23 tg2 .

Рассмотрим грузовое состояние основной системы и построим грузовую (MР) эпюру моментов (рис. 10.33).

Рис. 10.33

По эпюре моментов найдем реактивный момент R1Р , рассматривая равновесия узла 1.

R1Р 163 Рl.

Реактивную силу R2Р , возникающую во второй дополни-

тельной связи, найдем из равновесия части рамы грузового состояния основной системы. Поперечные и продольные силы в балке А-2 величины переменные, поэтому важно, где будем рассекать стойки. Рационально рассечь стойки максимально близко к ригелю (рис. 10.34, а).

68

Рис. 10.34

Определение поперечной силы в сечении максимально близко к эпюре 2 балки А-2:

Реакции опор взяты из прил. 2. Пользуясь определением поперечной силы в сечении (подразд.10.7, п. 2), найдем

Q2P-A 83 qhcos .

Иначе можно найти Q2P-A по формуле поперечной силы для наклонного элемента (гл. 6, п. 1):

Q	Q0			Mправ Млев	cos ,
k		k		h

где Qk0 – поперечная сила простой балки пролета h и находящейся под нагрузкой интенсивности q, ей перпендикулярной; Mправ и Млев – концевые моменты наклонной балки на эпюре

MР (см. рис. 10.33).

69

Для наклонной балки

								qh2
						0		8
QP		qh								cos ,
							h
	2-A			2
т.е.
QP		qh		qh cos 3 qhcos .
2-A			2		8				8

Получим точно такое же значение поперечной силы в сечении наклонной балки 2-А, бесконечно близком к опоре 2.

Определим продольную силу в сечении максимально близко к верхней опоре балки А-2 из уравнения равновесия сил узла

2 (см. рис. 10.34, б):

				y 0,
	N2P-A		3 qhsin		5P	,
					16cos
	т.е.		8
	P		3		5P
	N2-A		8	qhsin			.
					16cos

70