Гидравлика и гидропривод
..pdfРис. 2.7. Схемы для определения силы давления жидкости на плоскую стенку аналитическим (а) и графоаналитическим (б) методами
а сила давления на всю рассматриваемую площадь F
Р±= j dP = j* pgy sin adF = pg sin a [ ydF.
F F F
Выражение / ydF представляет собой статический момент
F
рассматриваемой площади относительно оси х, равный произ ведению площади этой фигуры F на расстояние от ее центра тяжести до оси х, т. е. ycF. Таким образом, P = pgs\naycF или, учитывая, что ycs m a —hc,
P=pghcF=pcF. |
(2.15) |
Из уравнения (2.15) видно, что сила давления жидкости на плоскую стенку Р равна произведению площади стенки F, смо ченной жидкостью, на гидростатическое давление в ее центре тяжести pc = pghc.
В том случае, если, на поверхность жидкости действует дав ление, отличающееся от атмосферного, то силу давления жидко
сти на стенку можно найти по формулам |
|
Р — (pfi^c+Рм)F— (pc-\-pu)F |
(2.16) |
или |
|
P = (p g h c -p t)F = (p c - p B)F, |
(2.17) |
‘где рм и рв — соответственно манометрическое давление и ва куум на поверхности жидкости.
В ряде случаев кроме значения силы давления жидкости на стенку необходимо знать координаты точки ее приложения —
центра давления.
• Предположим, что сила давления Р приложена в точке D, находящейся на расстоянии уа от рсн х. В соответствии с тео
ремой Варийьойа о MOMeHfe равнодействующей (момент равно действующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси)
Мх = Jj (Шх, или Pyd= J dРу.
Заменив в последнем выражении Р и dP их значениями, по лучим:
pgsina‘y cFyd = j* pgysina-dF-y.
Вынесем постоянные за знак интеграла и сократим подоб ные члены в левой и правой частях уравнения;
y f y d ^ j i yi(iF.
Выражение $y2dF предстайляет собой момент инерции /*
F
площади фигуры относительно оси х, который может быть выра жен через момент инерции / с относительно центральной оси, па раллельной оси х:
Jx = Jc+yc2F. |
|
Тогда |
|
ycFyd=yc2F+Jc, |
|
откуда |
|
У л ~ » с + - ^ - |
(2.18) |
У/f |
|
Глубина погружения центра давления от свободной поверх ности
Из уравнений (2.18) и (2.19) видно, что центр давления рас положен ниже центра тяжести* стенки.
По горизонтали центр давления расположен на оси симмет? рии площади фигуры.
Силу давления жидкости на плоскую стенку р и глубину по гружения центра давления ha можно определить также графо аналитическим методом. Для этого необходимо построить эпюру
* При давлении на поверхности жидкости, находящейся в резервуаре, от личающемся от атмосферного, точка приложения силы, создаваемой внешним давлением, будет совладать с центром тяжести стенки, а результирующая обе их сил может быть приложена как ниже точки С (при рм), так и ниже HJJJI
выше точки С (при рв).
сил давления жидкости на стенку, определить объем эпюры V3Il и найти центр тяжести этого объема.
Например, определим Р и для плоской стенки прямоуголь
ной |
формы |
(рис. 2.7, |
в). Для |
такой стенки |
эпюра силы давле |
|||
ния |
будет |
иметь |
вид |
трехгранной |
призмы* |
с ребрами |
MN = |
|
= M'N' = H/sin ос, |
N'K' —pgH |
и |
ММ' = NN' = КК' = В. |
Объ |
ем эпюры, а следовательно, и силу давления можно определить по формуле
90 |
И |
pgH B~ рg B H t |
|
sin а |
2 sin а ' |
Центр тяжести эпюры (точка О) определяется графически в соответствии с правилами геометрии (см. рис. 2.7,6, штрихо
вые линии). Спроектировав точку |
О на стенку, получим точ |
||
ку D — центр давления, в котором |
приложена сила |
Р. Расстоя |
|
ние его от свободной поверхности |
жидкости, считая |
вдоль стен |
|
ки, i/d—2tf/(3sina), глубина |
погружения Л^= 2Я/3. |
|
|
В частном случае, когда |
а = 0 |
(горизонтальное дно сосуда), |
расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площа ди Лс будет равно высоте жидкости в сосуде Я, поэтому сила давления жидкости на дно сосуда P = pgHF Из этого уравнения видно, что различные по форме сосуды, имеющие одинаковые по площади донья и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем Жидкости (гидростатический парадокс). Что касается центра давления, то для дна сосуда он совпадает с центром тя жести его площади.
|
П р и м е р . |
Определим |
минимальную |
массу т груза, |
способного удер |
|||||||
жать прямоугольный |
щит |
размерами |
h= 3 |
м, 6 = 2 |
м в закрытом |
положе |
||||||
нии, |
при |
уровне воды |
в канале Я = 5 |
м. Длина рычага, на котором укреп |
||||||||
лен |
груз, |
/ = з |
м. Щит |
(рис. 2.8) может поворачиваться в |
подшипниках во |
|||||||
круг |
осц |
о . Выше |
оси |
расположены |
неподвижные |
балки, |
концы |
которых |
||||
заделаны в боковые стенки канала. |
G может быть найдена из уравнения |
|||||||||||
|
Сила |
тяжести |
минимального груза |
|||||||||
моментор, |
составленного |
относительно |
оси О: 2М0= 0 |
или Gl—P-DO=0, Тог- |
||||||||
Аа ь |
|
|
ГАе |
P—oghcF — сила давления воды |
на щит; DO= /id—КО= |
|||||||
|
Ч/ь-чД) — плечо силы Р. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Площадь щита |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 - 3 = 6 |
м2, |
|
|
|
|
|
|
% |
|
расстояние центра тяжести щита от свободной поверхности
5 — — =* 3,5 м,
22
*Для большей наглядности дальнейших построений эпюры силы давления построена на наружной стороне стенки.
Рис. 2.8. Схема к расчету массы груза, удер
живающего щит в закрытом положении
момент инерции щита относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести,
bh* |
2 3 » |
м4, |
12 |
= 4,5 |
|
12 |
|
|
расстояние центра давления |
от свободной поверхности |
Л<*=Л с+‘Й Г= 3 ,5 + 3T^6= 1 3,71 |
м- |
||
Подставляя |
полученные значения |
в вышеприведенные формулы, по |
|
лучим: |
|
|
|
£>0=3,71 — ( 5 - 3 ) = 1,71 м, |
|
||
Р = 1000-9,81 -3 ,5 -6 = 2 0 6 .103Н. |
|
||
Тогда |
|
|
|
G = 206-10»- |
1,71 |
128-10» H, |
|
3 |
|
||
G_ |
128-103 |
|
|
т = |
9,81 |
= 12 000 кг. |
|
g |
|
|
2 .6. Сила давления жидкости на криволинейную стенку. Тело давления
При криволинейной стенке сосуда определить значение, направ ление и точку приложения силы давления жидкости сложнее, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадь стенки, имеют разные на правления. В этом случае, чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности, обычно вначале определяют со ставляющие силы давления по заданным направлениям, напри мер, по осям координат х, у, г, а затем находят результирую щую силу давления
P - V P V F P V F P 1,. |
(2. 20) |
Рис. 2.9. Схема для определения силы
давления жидкости на криволинейную стенку
В технике используются в основном сосуды с криволиней ными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус и т. д.), и осями симметрии, лежащими в плоскостях нормальных к стенкам, что существенно упроща ет задачу определения силы давления жидкости.
Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы (рис. 2.9), след которой — ли ния MN.
Аналогично расчету силы давления жидкости на плоскую стенку выделим на криволинейной стенке элементарную пло щадку dF (след которой —линия тп), находящуюся на расстоя нии 2 от свободной поверхности. Сила давления жидкости на эту элементарную площадку dP=pdF = pgzdF.
Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляю
щие: горизонтальную dP* = dPcosa и вертикальную |
dPz= |
= dPsina. Просуммируем отдельно все горизонтальные |
и вер |
тикальные составляющие. Так как размеры элементарной пло щадки несоизмеримо малы, предположим, что она — плоская. Тогда проекции ее на горизонтальную и вертикальную плоско сти: dP* = dFsina; dP2= dPcosa.
Найдем горизонтальную составляющую силы давления жид кости на криволинейную стенку Рх, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих dP*.
Так как dPx= dP cosa = pgzdF cosa=pgzdFz,
Рх = § |
= J |
Рёг dPj = pg j zdFz, |
Fz |
Fz |
Fz |
где S zdFz= Sz = hcFz— статический момент площади вертикаль-
F*
ной проекции криволинейной стенки относительно оси х, прохо дящей по свободной поверхности жидкости; Fz — площадь вер тикальной проекции криволинейной стенки, смоченной жид
костью; hc— расстояние центра |
тяжести Fz от свободной по |
верхности жидкости. |
|
Тогда |
( 2.21) |
Px=pghcFz. |
Таким образом, горизонтальная составляющая силы давле ния жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.21) и (2.15)].
Найдем теперь вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Рг, которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляю щих dРг:
dP* = dPsin a^pgzdFsin a=pgzdFx= pgdV,
где dV = zdFx— элементарный объем жидкости, основанием ко торого является площадка dFx, а высотой — расстояние z от этой площадки до свободной поверхности жидкости. Интегри руя dPz по всему объему V, получим
P J = |d P / = jpgdV ' = pgj‘dK,
или |
|
P*=pgV. |
(2.22) |
Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидко сти в объеме V, называемом телом давления.
Результирующая сила давления жидкости на криволиней ную стенку равна геометрической сумме ее составляющих —
P = V Р \ + Р \ |
(2.23) |
|
и направлена под углом к горизонту |
|
|
a = arctg(P2/P*) = arcsin (Рг/Р). |
(2.24) |
|
Тело давления — это объем жидкости, ограниченный стенкой |
||
сосуда, |
смоченной жидкостью, а также вертикальной |
поверх |
ностью, |
проведенной через контур рассматриваемой |
стенки, |
а если необходимо (если объем окажется незамкнутым), то и горизонтальной проекцией этой стенки на свободную поверх
ность жидкости. |
^ |
Тело давления |
(рис. 2 .10 ) условно считается реальным (или |
положительным), если его объем, прилегающий к стенке, запол нен жидкостью (Рг при этом направлена вниз), и фиктивным (или отрицательным), если его объем, прилегающий к стенке,
не заполнен жидкостью |
(Рг при этом направлена вверх). |
||||
П р и м е р |
1. |
Определим |
|
силу давления нефти Р на цилиндрическую |
|
стенку резервуара |
(рис. 2.11, а) |
и угол наклона а линии действия этой си |
|||
лы к горизонту, если радиус |
стенки # = 8 0 0 мм, |
ширина стенки В = 3 м, вы |
|||
сота нефти в |
резервуаре Н= 2 |
м, относительная |
плотность нефти бк=0,9. |
Рис. 2.10. Тела давления:
а , в— р е а л ь н ы е ; б —ф и к ти вн о е
Рис. 2.11. Расчетные схемы для определения:
а — си л ы д а в л е н и я н еф ти |
на ц и ли н дри ческую |
стен ку |
р е зе р в у а р а ; |
6— м и н и м альн ой |
тол* |
|||||||
щ н н ы стен о к тр у б ы ; |
в — силы д а в л е н и я ж и д к о сти , |
восп ри н и м аем ой |
коленом |
трубопро* |
||||||||
во д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результирующую силу давления нефти Р на рассматриваемую криволи |
|||||||||||
нейную стенку и |
ее |
горизонтальную составляющую Рх можно определить |
||||||||||
по |
формулам (2.23) и |
(2.21): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = УР*х + Р*г; |
Px = pghcFz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Fz — площадь |
проекции стенки |
на |
вертикальную |
плоскость, |
равная |
в |
|||||
данном случае площади прямоугольника шириной В |
и |
высотой |
R, |
т. |
в. |
|||||||
FZ=BR\ hc— расстояние от свободной |
поверхности |
до |
центра тяжести |
Fz, |
||||||||
т. е. hc—H—R/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рх= р £ (Я -Л /2 )В Я = 9 0 0 -9 ,8 1 (2 - |
0,8/2)3-0,8=33,8- Ю3Н =33,8 |
кН. |
|
|
|||||||
|
Рх приложена в точке D, находящейся от свободной поверхности на |
|||||||||||
глубине |
|
|
ВДУ12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/t<j t= hc |
|
■ H -R ! 2 + |
=2 |
- |
0 ,8/24 - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ЛЛ |
|
(H - R /2 )B R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 0 ,8»/12 |
1,621 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 — 0 , 8 / 2 ) 3 - 0 , 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H от края стенки no горизонтали на расстоянии
j f d = B / 2 = 3 / 2 » l , 5 м .
|
В соответствии |
с |
(2.20) |
|
вертикальная |
составляющая |
силы |
|
Pz^pgV, |
||||||||||||||
где |
V — объем тела давления, |
представляющего в |
данном |
случае |
разность |
||||||||||||||||||
объемов |
параллелепипеда Va = HBR и |
четверти |
цилиндра |
Уц= я Л 2В/4. Тогда |
|||||||||||||||||||
|
Р2= pg (HBR — nR2BI4) = 900 • 9,81 (2 • 3 • 0,8 — я • 0,82 • 3/4) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= 2 9 -103 H = 29 |
KH. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Точка приложения Pz находится в центре |
тяжести |
объема |
тела |
дав |
||||||||||||||||||
ления — в точке N. |
результирующая |
сила |
давления |
|
на |
|
криволинейную |
||||||||||||||||
|
Таким |
образом, |
|
|
|||||||||||||||||||
стенку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р= ур х2+ рг2 = у,33,82+ 292 = 44,5 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и направлена под углом к горизонту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
сс=arctg (Pz/Px) =arctg (29/33,8) = arctg 0,0858 = 40°38' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Точку приложения силы Р можно найти |
следующим |
образом. |
Прове |
|||||||||||||||||||
дем линии действия составляющих Рх и Рг до |
пересечения их в общей точ |
||||||||||||||||||||||
ке /С, а через нее |
проведем |
прямую |
под |
углом а к горизонту. Эта пря |
|||||||||||||||||||
мая — линия действия |
силы |
Р, |
а точка ее пересечения |
с криволинейной по |
|||||||||||||||||||
верхностью |
на |
расстоянии |
по |
горизонтали |
от |
края |
|
стенки |
jtd=£ /2 = 3 /2 = |
||||||||||||||
= 1,5 м — точка |
приложения |
силы Р (точка |
М). |
|
|
|
стенки |
трубы |
б |
(рис. |
|||||||||||||
|
П р и м е р |
2. |
Определим |
|
минимальную |
толщину |
|||||||||||||||||
2.11,6) при допустимом напряжении материала |
трубы на разрыв [о], внут |
||||||||||||||||||||||
реннем диаметре трубы d и |
манометрическом |
давлении |
жидкости |
|
в |
тру |
|||||||||||||||||
бе |
р„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опасным сечением для трубы является любое |
|
ее |
диаметральное |
сече |
||||||||||||||||||
ние. Пренебрегая силой тяжести жидкости |
в трубе, определим силу давле |
||||||||||||||||||||||
ния жидкости на цилиндрическую поверхность |
a b c c 'b 'a Р = Рх=рмРz = puld, |
||||||||||||||||||||||
где / — длина трубы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Поскольку сила Р стремится разорвать |
трубу |
в |
двух |
местах |
(по |
лини |
||||||||||||||||
ям аа' и сс'), т. е. воспринимается двумя |
сечениями |
стенки трубы |
/6, |
то |
|||||||||||||||||||
pM/d= 2/6 [о ]. Отсюда 6min= Pvidf(2 [о ] ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
При выборе толщины стенки трубы б |
полученное |
значение |
бт |П увели |
|||||||||||||||||||
чивают на величину e=3-j-7 мм [11], |
чтобы |
иметь |
запас |
на |
коррозию, |
не |
|||||||||||||||||
точность отливки и другие дефекты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
П р и м е р |
3. |
Определим |
силу |
давления |
жидкости, |
воспринимаемую |
||||||||||||||||
коленом |
трубопровода |
(рис. |
|
2.11, в). |
Примем, |
что |
жидкость |
находится |
в |
||||||||||||||
покое, а манометрическое давление в ней равно рм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
||||||||||||
|
Рассмотрим |
объем |
жидкости в колене, |
ограниченный |
сечениями |
и |
//. |
Пренебрегая силой тяжести в этом объеме, можно считать, что объем на
ходится |
под |
действием сил давления жидкости Р в поперечных сечениях / |
и //, результирующая которых, стремящаяся оторвать колено, |
||
R |
Р + |
Р = Р sin (ср/2) + Р sin (ф /2) 2ры ( тиР/4) sin (ф /2 ). |
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте и объясните свойства давления в точке покоящейся жидкости.
2.Запишите уравнение равновесия жидкости (уравнение Л. Эйлера)
вдвух формах и объясните входящие в него величины.
3.Что такое поверхность равного давления и свободная поверхность жидкости? Какую форму они имеют в случае, когда жидкость находится в равновесии в поле действия силы тяжести?
4. Запишите основное уравнение гидростатики и объясните входящие в него величины.
Рис. 2.12. Расчетные схемы для определения:
а — р а зн о сти уровн ей вод ы н |
керосин а в тр у б к а х ; |
б — силы д а в л е н и я вод ы |
на |
кры ш ку |
5. Дайте определение |
манометрического |
давления и вакуума |
и |
укажи |
те, в каких пределах они могут изменяться. Поясните это графически.
6. Определите разность уровней ЛЯ воды и керосина в трубках (рис. 2.12,а), если вакуум в воздушном резервуаре рв=37,5 мм рт. ст., относи тельная плотность керосина бк = 0,8.
(Ответ: 128 мм.) 7. Сформулируйте закон Паскаля и приведите примеры его применения
вгорной практике.
8.Определите силу давления воды на прямоугольную крышку размера
ми а= 200 мм, Ь = 300 мм, расположенную на вертикальной боковой стенке (рис. 2.12,6), если расстояние нижней кромки крышки до дна резервуара /i=400 мм, а показание манометра рм= 10 кПа. Вычислите вертикальную координату центра давления.
(Ответ: 294 Н; 515 мм.) 9. Как определить силу давления жидкости и ее составляющие на кри волинейную стенку? Какие величины входят в расчетные формулы для оп
ределения этих сил?3
3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ жидкости
Кинематика жидкости, являясь частью гидравлики, описывает движение жидкости вне зависимости от того, какие динамиче ские условия вызывают или поддерживают данное движение.
3.1. Методы описания движения
Движущаяся жидкость представляет собой сплошную среду, состоящую из частиц, которые перемещаются с различными па раметрами, изменяющимися в зависимости от координат и времени.
Частица сплошной среды — это весьма малый элемент объ ема (элементарный объем), который можно считать точечным.
В кинематике жидкости возможны два метода описания дви жения— Лагранжа и Эйлера.
Метод Лагранжа заключается в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости изменения координат оп ределенной (намеченной) частицы жидкости от времени. Дви*
в
Рис. 3.1. Методы описания движения жидкости:
а — Лагранжа; б — Эйлера
жущаяся частица жидкости описывает в пространстве траекто рию, вдоль которой изменяется скорость и (рис. 3.1,а). В не подвижной системе координат частица А перемещалась: с Хо, г0 на х\, Zi за время tt; с х\, Z\ на jt2, z2 за время / 2 и т. д.Та ким образом, при описании движения частицы переменными яв ляются ее скорость, ускорение и координаты.
Для большинства инженерных задач нет необходимости знать параметры движения отдельных частиц, поэтому метод Лагранжа чаще применяется в теории для решения задач и
реже — на практике, например, |
для |
описания переноса жид |
костью мельчайших твердых частиц (ила). |
||
Метод Эйлера (рис. 3.1,6) |
заключается в том, что в про |
|
странстве намечаются точки (1, |
2, 3 |
) или сечения, через ко |
торые проходят частицы жидкости с различными скоростями,
зависящими от |
времени |
/ь /2...: ui(/i), «i(/2), u2(ti), |
u2(/2), |
“з(М , «3(^2) |
При этом |
координаты точек (сечений) |
остают |
ся неизменными. Использование этого метода значительно об легчает проведение теоретических и экспериментальных иссле дований, так как координаты частиц, зафиксированных в про странстве, известны и постоянны.
При решении большинства инженерных задач необходимо знать скорости прохождения различных частиц жидкости через определенные элементы конструкций и инженерных сооружений или скорости приближения к ним, поэтому данный метод опи сания движения является основным.
По методу Эйлера скорости элементарных объемов жидко сти в каждый момент времени в намеченных точках простран ства в прямоугольной декартовой системе координат описыва
ются зависимостями — переменными Эйлера: |
|
U x= f(x,y,zl t)\ u«= f{x,y,z,t)', uz= f(xf y ,z,t). |
(3.1) |