Курсовое проектирование по теории механизмов и механике систем машин

Первые производные от проекций:
U X 1 = −UY ω; UY 1=U X ω.	(4.60)
Вторые производные:
UX 2 = − UY 1ω−UY ε;	(4.61)
UY 2 = UX 1ω+UX ε.

4.5.ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ, ПРОЕКЦИЙ СКОРОСТЕЙ

ИУСКОРЕНИЙ ЦЕНТРОВ МАСС ЗВЕНЬЕВ

Положения центров масс звеньев группы задаем отрезками аi,аk и

углами αi , αk (рис. 4.4).

Пусть требуется определить перечисленные параметры для звена i группы 21 или группы 22. Проекции отрезка аi на оси X0 Y0:

	aiX = ai (sin ϕi	cosαi		−sin ϕi sin αi ),	(4.62)
	aiY = ai (sin ϕi	cosαi		+ cosϕi sin αi ).
	Координаты точки Si:
	XSi	= X B		+ aiX ,	(4.63)
			0
	YSi	= YB	+ aiY .
		0
	Проекции скорости точки Si:
	XSi1 = X B		1+ aiX 1,		(4.64)
		0
	YSi1 = YB 1+ aiY 1,
		0
где	aiX 1= −aiY ωi ,		aiY 1= aiX ωi .		(4.65)
	Проекции ускорения точки Si:
	X Si 2 = X B		2 + aiX 2 ,		(4.66)
		0
	YSi 2 = YB 2 + aiY 2 ,
		0
где	aiX 2 = −aiY 1 ωi −aiY εi ;		aiY 2 = −aiX 1 ωi + aiX εi .		(4.67)
					71

Стр. 71

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Пусть требуется определить проекции ускорения точки Sk (рис. 4.4).

Найдем координаты точки Sk:

	XSk = X D		+SD UDx + aKõ ,					(4.68)
		0
	Y	=YD	+ SD U	DY	+ a	KY	,
	Sk	0
где	aKõ = aK (UDX cosαk −UDY sin αk );
aKY = aK (UDY cosαk −UDX sin αk ).								(4.69)
Проекции скорости точки Sk:
XSk1= X D 1+SD 1 UDx + SD UDx1 + aKõ1,								(4.70)
	0
YSk	1=YD 1+ SD 1 UDY + SD UDY 1 + aKY 1,
	0
где	aKX 1= −aKY ωK ; aKY 1= aKX ωK .							(4.71)

Угловая скорость оси внешней поступательной кинематической пары D (см. рис. 4.4, второй тип):

ωÊ =UDX UDY 1 −UDY UDX 1.

(4.72)

Эта скорость должна быть задана или предварительно вычислена. Проекции ускорения точки Sk:

XSk 2 = X D		2 +SD 2 UDx +2 SD 1 UDx1 + SD UDx 2 + aKõ 2 ,	(4.73)
	0
YSk	2 =YD 2 + SD 2 UDY +2 SD 1 UDY 1+ SD UDY 2 + aKY 2 ,
	0
где		aKX 2 = −aKY 1 ωK − aKY εÊ ,	(4.74)
		aKY 2 = −aKX 1 ωK + aKX εK .
Угловое ускорение εK находится дифференцированием (4.72):
		εK =UDK UDY 2 −UDY UDX 2 ,	(4.75)

и должно быть задано или предварительно вычислено.

72

Стр. 72

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

4.6. ФУНКЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Рассмотрим рис. 4.5, на котором изображен механизм шарнирного четырехзвенника, состоящий из начального звена 1, структурной группы второго класса первого вида BCD и стойки 4. Обобщенной координатой механизма является угол ϕi . Различают функцию положения звена

и функцию положения точки. Функцией положения звена называется за-

висимость вида ϕ3 = ϕ3 (ϕ1 ), заданная аналитически, графически или

в табличной форме. Функцию положения точки представим в проекциях на оси координат:

X Ì = X M (ϕ1 ); YM =YM (ϕ1 ).

(4.76)

Дважды продифференцируем функцию положения звена по времени. Поскольку сама обобщенная координата является функцией времени,

то получим:

ω =	dϕ	ω	;	ε		=	d 2ϕ		ω	2	+	dϕ		ε .	(4.77)
	3							3					3
3	dϕ	1			3		dϕ2		1			dϕ		1
	1						1						1

Производная от функции положения звена по обобщенной коорди-

нате называется первой передаточной функцией, или аналогом угловой

скорости (безразмерная величина). Вторая производная от функций положений по обобщенной координате называется второй передаточной функцией, или аналогом углового ускорения (безразмерная величина). В (4.74) ωi и εi – обобщенные угловая скорость и угловое ускорение.

Продифференцируем функцию положения точки:

X

dX

X

d 2 X

M

2

dX

M

M

1 =

M

ω ;

M

=

ω +

ε

;

(4.78)

dϕ

1

dϕ2

1

d

ϕ

1

1

1

1

Y

1

=

dYM

ω

;

Y

= d 2YM

ω2

+

dYM

ε .

dϕ

M

1

M

dϕ2

1

dϕ

1

1

1

1

В (4.78) первые и вторые производные от координат точки по обоб-

щенной координате называются проекциями аналогов скоростей и ус-

корений точки (в системе СИ размерность в метрах). Если принять обобщенную ω1 =1 (безразмерная величина) и ε1 = 0 , то из выражений

(4.77) и (4.78) видно, что истинные скорости и ускорения будут совпадать с их аналогами.

73

Стр. 73

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Рис. 4.5. К определению понятия функции положения точки и звена

Рис. 4.6. Механизм строгального станка

74

Стр. 74

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

4.6.1. Пример кинематического расчета механизма строгального станка

Проведем кинематический расчет механизма строгального станка (рис. 4.6). Механизм состоит из начального звена, структурной группы 23

и группы 25.

Угловую скорость начального звена примем равной единице (без-

размерная величина), угловое ускорение примем равным нулю.
Исходные данные: lAD			; lD B ;			lAS	; lD S	3	; lC	S	; lAB ; h .
	1		1	2		1	1		2		5
Центр масс второго звена S2 совпадает с точкой B1, центр масс чет-
вертого звена S4 – с точкой B2.
1. Расчет начального звена.
													Таблица 4 . 9
	Исходные данные (рис. 4.7)
Тип звена	1		2			3			4			5	6	7
1	l		a			α			XA			YA	ω	ε
Расчетные формулы:
X H = l cosϕ; YH = l sin ϕ.
X H 1 = −l sin ϕ; YH 1 = l cosϕ.														(4.79)
X H 2 = −lcosϕ; YH 2 = −l sin ϕ.

Изменяя обобщенную координату от 0 до 360° с шагом, равным 30°,

сведем выходные параметры начального звена в таблицу.

Таблица 4 . 1 0

Выходные параметры начального звена

№ п/п	1	2	3	4	5	6
ϕ°	XH	YH	XH1	YH1	XH2	YH2

2. Кинематика группы 23.

Решение задачи о положениях. Из схемы группы (рис. 4.8) видно,

что кинематическая пара В получает вход от начального звена, то есть

X B = X H ;	YB =YH (первый и второй столбцы табл. 4.10). Кинематиче-
0	0
ская пара D получает вход от стойки, то есть X B		=...; YB =….
	0	0

75

Стр. 75

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Рис. 4.7. К расчету начального звена

Рис. 4.8. К расчету группы 23

Рис. 4.9. К расчету группы 25

76

Стр. 76

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Расчётные формулы:
S = − (X D0		− X B0 )2 + (YD0 −YB0 )2 ,
cos ϕk =	(X D0	− X B0	)	,	sin ϕk =	(YD0 −YB0	)	.
		S				S

3. Кинематика групп 23.

Решение задачи о скоростях. Входы в группу при решении задачи о скоростях:

X B0 1 = X H 1;

YB0 1 =YH 1 (третий и четвертый столбцы таблицы 4.10);

X D0 1 = 0 ; YD0 1 = 0 .

Расчетные формулы:

a11 = cosϕk ;			a12 = −S sin ϕk ;			a21 = sin ϕk ; a22 = S cosϕk ;
b1 = X D 1− X B				1; b2 =YD 1−YB 1; ∆ = a			11 a22 − à21à12 ;
0			0		0	0
∆S1 = b1a22 −b2a12 ; ∆ωk = a11b2 − a21b1 ;
S1 =	∆S1	; ωk		=	∆ωk .
	∆				∆

4. Кинематика группы 23.

Решение задач об ускорениях. Входы в группу при решении задачи об ускорениях:

X B0 2 = X H 2 ;

YB0 2 =YH 2 (пятый и шестой столбцы таблицы 4.10);

X D0 2 = 0; YD0 2 = 0.

Расчетные формулы для свободных членов системы уравнений с двумя неизвестными S 2 и εê :

b1 = X D0 2 − X B0 2 + 2S1sin ϕk ωk + S cosϕk ω2k ; b2 =YD0 2 −YB0 2 − 2S1cosϕk ωk + S sin ϕk ω2k .

77

Стр. 77

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Коэффициенты при неизвестных a11 , a12 , a 21 , a 22 останутся те же,

что и в задаче о скоростях (табл. 4.9, 4.10), Определитель ∆ тоже сохранит своё значение. Тогда неизвестные найдём из выражений:

∆S 2 = b1a22 −b2a12 ; ∆εk = a11b2 − a21b1 ;

S 2 = ∆∆S 2 ; εk = ∆ε∆k .

5. Кинематика группы 25.

Выберем координаты точки D0 (рис. 4.9):

X D0 =...; YD0 =....

Направим вектор UD вправо, его проекции на оси X0 Y0:

UDX =1; UDY = 0 .

Угол δ между векторами UD ,UC и будет равен 270°.

Поэтому проекции вектора UC /UCX = 0 ; UCY = −1.

Уравнение замкнутости контура D0DB в проекциях на оси примет вид:

SD = X B0 ;

(4.80)

SC =YD0 −YB0 .

Дифференцируем (7.80) первый раз:

SD1 = X B0 1;

(4.81)

SC1 = −YB0 1.

Повторное дифференцирование дает:

SD 2 = X B0 2 ;

(4.82)

SC 2 = −YB0 2.

Таким образом, решение задач кинематики группы 25 свелось к нахождению координаты точки B0 и первых и вторых производных. Эти параметры найдем, применяя вспомогательную задачу первого типа к звену К рассчитанной группы 23 при следующих данных:

78

Стр. 78

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

a =... ; α = 0 ; X A = XD0 ; YA =YD0 ; ϕ = ϕk ;

ω = ωk ; ε = εk .

Расчетные формулы:

aX = a cosϕk ; aY = asin ϕk ;

X H = X D0 + aX ; YH =YD0 + aY .

Проекции скоростей точки Н:

X H 1 = aX 1; YH 1 = aY 1;

где aX 1= −a sin ϕk ωk ; aY 1= a cos ϕk ωk .

Проекции ускорений точки Н:

X H 2 = aX 2 ; YH 2 = aY 2 ;

где aX 2 = −aY 1ωk −aY εk ; aY 2 = aX 1ωk + aX εk .

Координаты XH, YH их первые и вторые производные будут являться входами в группу 25, то есть:

X H = X B0 ; YH =YB0 ; X H 1 = X B0 1;

YH 1 =YB0 1; X H 2 = X B0 2 ; YH 2 =YB0 2 .

4.7. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯТОРА

Прямая задача о положении манипуляторов позволяет определить координаты схвата или его траекторию движения, а также ориентацию схвата вдоль всей траектории. Прямая задача о скоростях состоит в определении абсолютных линейных скоростей точек звеньев манипулятора и угловых скоростей звеньев при заданных законах изменения обобщенных координат. Для кинематического исследования пространственных кинематических цепей существуют различные методы. При исследовании кинематики роботов рациональнее использовать матричный метод.

Рассмотрим манипулятор с тремя степенями свободы. Функцией положенияточки D схвата (рис. 4.10) будет зависимость ее радиуса-вектора ρ(0)D

79

Стр. 79

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)

Рис. 4.10. Кинематический анализ манипулятора

от обобщенных координат и постоянных длин звеньев lВС и lDC. Данный механизм с незамкнутой кинематической цепью является статически определимым, без избыточных связей (q = 0), поскольку он собирается без натягов. В механизме три одноподвижные пары: две из них вращательные (А, С) и одна поступательная (В). Обобщенных координат три: ϕ10 – угол поворота звена 1 относительно стойки 4; z21 – линейное перемещение звена 2 относительно звена 1; ϕ32 – угол поворота звена 3 относительно звена 2. Число степеней свободы W = 3 подтверждается и по формуле Малышева:

5		= 6 3 −5 3 = 3.
W = 6n − ∑(6	−i) pi − q
i=1

Система координат O1x(1) y(1) z(1) связана со звеном 1, вращающимся вокруг оси z(1), система O2x(2) y(2) z(2) – со звеном 2, движущимся прямоли-

нейно относительно звена 1, а система О3х(3) у(3) z3 – со звеном 3, вращающимся вокруг оси z (3). Оси x(1), x(2), x(3) параллельны.

80

Стр. 80

ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru)