Метод конечных элементов. Основы
.pdfВ методе конечных элементов рассматриваются условия равно весия не только во внутренних точках конструкции или на ее внеш них поверхностях, но и в точках соприкосновения элементов. На границе каждого из соприкасающихся элементов в середине имеется некоторое напряженное состояние, поэтому уравнения должны вы полняться в каждой точке соприкасающихся граней. На рис. 4.4(a)
|
______________ у х у |
О ) |
(Ь) |
Р и с . 4 . 4 .
изображены два соседних элемента А и В, поверхность соприкосно вения которых проходит по оси у глобальной системы координат. На поверхности раздела не действуют внешние нагрузки. Для вы яснения условий равновесия на границе элементов разделим эле менты, как показано на рис. 4.4(b). В соответствии с ориентацией поверхности раздела имеем 1У= 0, /*=1, и уравнения (4.5) сводятся
к уравнениям Тх= о х, Т у=%ху.
Следовательно, если граница раздела между элементами про ходит вдоль оси у , то для выполнения условий равновесия требу ется лишь, чтобы нормальная компонента напряжения ох и каса тельная компонента %ху на этой границе были непрерывны. Разре шается, чтобы нормальная компонента напряжения оу, если она существует, была разрывной при переходе этой границы в направле нии х . Если поверхность раздела наклонена под некоторым углом к осям х и у, то нормальные и тангенциальные компоненты усилий
на ненагруженной поверхности (Тп и Т&) должны быть непрерывны на границе, разделяющей элементы. С каждой стороны от поверх ности раздела два усилия выражаются через три компоненты на пряжения. Поэтому, несмотря на то что компоненты напряжения в направлении координат могут изменяться при переходе от одного элемента к другому, условия равновесия при переходе через по верхность соприкосновения элементов все же сохраняются.
Перед нами снова возникла необходимость ввести символ, кото рый обозначал бы совокупность компонент некоторой переменной. Причем этот символ должен отличаться от символа, соответствую щего вектору, который задает значения этих компонент в той или иной точке. Вводимый таким образом символ есть тензор напряже ний а, который включает в себя компоненты ох . . х1Х\ этот символ будем записывать жирным шрифтом без скобок. Если нужно перечи-
слить компоненты тензора а, то будем записывать их в виде векторстроки или вектор-столбца в следующем порядке: [mox ay azxxyx z х2ХJ . Аналогично поле заданных поверхностных усилий будем
обозначать через Т и считать, что этот символ относится к совокуп
ности [_Т*ТУТ2_|, |
а объемные силы |
объединим |
символом Х= |
||
L X Y Z J . Символом же, соответствующим вектору, |
обозначаются |
||||
привычные |
понятия |
матрицы-строки |_ |
J |
или матрицы-столбца |
|
{ }. Если, |
например, напряжения для плоского напряженного со |
||||
стояния определить в двух точках, скажем 1 |
и 2, то запись примет |
||||
вид |
М |
Т= L ах,°У*ХУ1Ох,Оу,1ху, J • |
|
||
|
|
4.3.Соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и условия совместности
При формулировке метода конечных элементов на основе метода перемещений очень важны кинематические дифференциальные соот ношения, связывающие деформации с перемещениями. Наоборот, дифференциальные уравнения равновесия (условия статики) , при веденные в разд. 4.1, не играют столь существенной роли при этом подходе.
Для вывода соотношений между деформациями и перемещениями рассмотрим малое смещение из недеформированного состояния ABCD в деформированное состояние A'B'C'D' для бесконечно ма лого элемента, изображенного на рис. 4.5. В результате деформа ции имеем для малых (линейных) деформаций
По определению, относительная деформация (отношение при ращения длины к начальной длине) ех равна (А 'В '—АВ)/АВ или при A B —dx
А 'В '= (1+ гх)йх. |
(4.6b) |
Возводя (4.6b) в квадрат, приравнявполученное выражение к (4.6а) и поделив на (dx)2, получим
* • + * - * В + ( * ) * + ( £ ) *
Пренебрегая теперь членами, имеющими более высокий порядок малости, что соответствует предположению о малости деформаций, имеем
ьх—ди!дх. |
(4.7а) |
Аналогично для деформации вдоль оси у |
|
Ъ у — d v l d y . |
(4.7Ь) |
Деформация сдвига уху определяется как изменение значения угла, бывшего прямым до деформации. Указанный вид деформации также изображен на рис. 4.5, откуда становится ясным, что изме нение угла, вызванное перемещением отрезка АВ в направлении оси х в положение А ’В' равно
(1/dx) (dv/dx) dx—dv/dx. |
|
Аналогично получим изменение угла при перемещении |
отрезка |
AD в направлении оси у. Следовательно, |
|
Ухy=du/dyA-dv/dx. |
(4.7с) |
Уравнения (4.7а, Ь, с) являются соотношениями, связывающими деформации и перемещения в плоском случае. В трехмерных зада чах остается лишь добавить следующие соотношения, обозначив через w компоненту перемещения в направлении оси г:
|
dw |
dw |
. д и |
|
dw , |
dv |
(/| 7 , |
fч |
&г |
дг ’ ^ хг |
дх |
дг 9 |
^ у 2 |
ди |
д г |
‘ |
’е» ) |
При решении задач методом конечных элементов надо иметь в виду одно обстоятельство, касающееся связи между деформациями и перемещениями: выделение движения тела как твердого целого. Выражения для деформаций не содержат такого движения, однако оно фигурирует в перемещениях. Следовательно, при определении деформаций путем дифференцирования перемещений из искомых соотношений исключается движение тела как твердого целого. На пример, для линейного элемента горизонтальное смещение точки может быть задано выражением (рис. 4.6) и= а1+ а 2х) из которого следует, что ex=du/dx=a2.
Следовательно, член аи который был исключен в результате дифференцирования, и соответствует движению элемента как твер дого тела. Указанный факт говорит о том, что если конечно-эле ментная модель строится на основе задаваемых априори функций перемещений, то количество независимых параметров, с помощью которых описывается деформированное состояние в элементе, меньше количества параметров, задающих перемещения, на число степеней свободы элемента как твердого тела.
-<-------- |
L-------- |
► |
*- 1 2
оа)
*1 ^ ------L ----------^
(Ь)
Рис. 4.6. (а) Недеформированное состояние; (Ь) смещенное деформированное состоя ние.
Другое обстоятельство, тесно связанное с основными приведен ными выше соотношениями, но в некотором смысле противополож ное по предпосылкам, относится к деформациям. В плоском случае три уравнения (уравнения (4.7а, Ь, с)), определяющие три компо ненты деформации, выражаются через две компоненты перемеще ний. В трехмерных задачах существуют шесть компонент деформации и три компоненты перемещения. Следовательно, нив одном из этих случаев эти уравнения не имеют единственного решения, если де формации заданы произвольным образом. Необходимые дополни тельные уравнения можно вывести из условия совместности, кото рое требует, чтобы компоненты перемещения были однозначными непрерывными функциями.
Условие совместности получим наиболее элементарным спосо бом, последовательно дифференцируя соответствующие выражения. Для плоской задачи теории упругости последовательно продиффе ренцируем уху по х и по у:
d2 l f i - J L - d± A . J L - t o _ d ^ , d! \ |
,л оч |
||
дх ду дх ду ду дх ду дх |
ду2 |
дх2 |
' * ' |
Последнее выражение получается с учетом того, что, в силу од нозначности и непрерывности, д2/дхду=д2/дудх. Обобщение этого условия на трехмерный случай приводит к системе из шести уравнений.
Так же как и при обозначении характеристик напряженного состояния, следует различать поля перемещений во внутренних точках тела и поля перемещений в граничных (на поверхности тела)
точках. Поле перемещений внутри тела обозначим через Л. Этот символ относится к совокупности смещений вдоль осей координат и, v, w. Смещения на границе обозначим через и и отнесем к сово купности величин а, ц, w для граничных точек. Таким образом,
А = \__uvw J 1 (внутри тела),
и = \_uvw _\Т (на поверхности).
Кроме того, в трехмерной задаче введем для деформаций следующее обозначение:
С== L |
У х у У у г У г х J Т* |
Граничные условия на перемещения (кинематические граничные условия) попросту требуют совпадения перемещений на поверхности
упругого тела и с заданными перемещениями и, т. е.
и—и=0. (4.9)
4.4. Уравнения состояния материала
Обычно уравнения состояния для материала, которые в настоящем рассмотрении относятся только к механическим характеристикам материала, задают путем постулирования полного набора коэф фициентов, связывающих каждую компоненту напряжения со всеми компонентами деформации. Далее, из соображения симметрии и учета анизотропных свойств материала число коэффициентов уменьшают таким образом, чтобы они отвечали соответствующим механическим характеристикам среды, например наличию в ней ортотропной плоской деформации. Ниже, чтобы отчетливо показать физическую природу этих свойств и осветить результаты экспери мента, будем двигаться в обратном направлении: от наиболее про стых аспектов поведения материала к более сложным.
Простейшие механические свойства материала можно выяснить из испытаний образца на одноосное растяжение. Линейный учас ток на диаграмме напряжение — деформация представляется алгеб раически законом Гука: ох= Егх или ех= ох/Е. Это выражение дает зависимость деформации от напряжения. Если существует меха низм, приводящий к появлению деформаций без приложения на грузок, т. е. начальная деформация ei*.nit, то
гх = |
-}- е*1'1 или ох = Еех—Ее'х п. |
(4.10) |
Для построения зависимостей в двумерном случае рассмотрим сначала изотропный материал и выясним, как он ведет себя при
наличии в нем напряжений. У изотропного материала зависимость деформаций от напряжений неизменна при ортогональном преоб разовании координат. На рис. 4.7(a) изображено, как прикла дываемое к образцу напряжение ох в направлении оси х вызы вает деформацию образца в обоих направлениях х и у. Вдоль
оси х деформация равна попросту ох/Е. Образец сжимается и в на правлении оси у , так как коэффициент Пуассона р отличен от нуля, поэтому в этом направлении деформация равна —\ioJE. Аналогично наличие напряжения оу вызывает деформации в направлении осей х и у , равные соответственно —\юу/Е и оу/Е (как показано на рис. 4.7(b)). На значения относительных удлинений вдоль осей х и у не влияет наличие деформации сдвига, изображенной на рис. 4.7(c), которая связана со сдвиговым напряжением соотношением
2 0+Р) т
|
Е |
|
ХГ |
|
В результате суперпозиции и записи соотношений в матричной |
||||
форме (с <Т= L <*х |
Тху J Т, 8= L &х |
тху J т) получим |
|
|
где |
е=[Е ] - Ч |
|
(4.11) |
|
1 |
(.1 |
о |
|
|
|
|
|||
|
Ц. |
1 |
о |
(4.12) |
|
О |
о |
(1—li)/2j |
|
|
1 —ц |
О |
|
|
И |
- 1— г —(А |
1 |
о |
(4.13) |
|
о |
О |
2 (1 + ц) _ |
|
Матрица [Е] называется матрицей жесткости материала, а [Е]-1—
матрицей податливости материала. Аналогично выражению (4.10) можно непосредственно обобщить вышеприведенные соот
ношения на |
случай наличия начальных деформаций |
ein,t= |
= L &хп ei/"u |
J т, что приводит к соотношению |
|
|
e= [E ]-1o + 8 init. |
(4.14) |
Начальные деформации представляют наибольший интерес в зада чах термоупругости, где ejcnit=e^nit= a r , у $ ‘==0, для изотропного тела с коэффициентом линейного расширения а и отклонением температуры от температуры ненапряженного состояния на Г.
Наиболее часто применяемый подход при построении конечно элементной модели — подход, при котором задаются функции пере мещений,— требует, чтобы напряжения были выражены через де формации. Поэтому, обращая уравнение (4.14), получим
а=[Е]е—[E]eir,it. (4.15)
Теперь благодаря матричным уравнениям (4.14) и (4.15) в на шем распоряжении имеется достаточно общее представление меха нических свойств материала. Проводя обобщения на шестимерные векторы а и е, можно охватить все разнообразие задач трехмерной теории упругости. Полностью заполненная матрица [Е1 размер ностью 6 x6 определяет общий случай анизотропного материала, который обладает различными свойствами в различных направле ниях. Много частных случаев поведения материала находится в диапазоне между изотропией и полной анизотропией. Так, в част ности, сюда можно отнести ортотропные материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. В по следующих главах будет подробно представлен ряд матриц [Е] и [Е]"1 специального вида, отвечающих требованиям соответст вующей конечно-элементной модели. Важным свойством всех ма триц жесткости и податливости для рассматриваемых здесь материа лов является их симметричность (см. соотношения (4.12) и (4.13)).
Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов осо бенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свой ствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е] (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые на слож ность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой: для большинства практических задач трудно располагать большей информацией о механических харак теристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для ортотропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характе ристики слоев можно определить экспериментально, а затем вы числить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Благодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, применяе мых на практике, публикации, касающиеся их разработки и ис пользования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, задающих жесткостное поведение материала (см. [4.8]).
4.5.Дифференциальные уравнения равновесия
исовместности
Приведенные выше системы уравнений можно объединить с целью получения альтернативных форм дифференциальных уравнений, точное решение которых будет удовлетворять и исходным уравнени ям. Эти альтернативные формы называются соответственно диффе ренциальными уравнениями равновесия и совместности.
Сделаем несколько замечаний относительно мотивировки по строения указанных дифференциальных уравнений. Ранее были независимо сформулированы два набора условий: статические и динамические. Статические условия записываются исключительно через статические переменные (напряжения или функции напря жений). Кинематические условия записываются только через ки нематические переменные (перемещения или деформации). Для единственности решения необходимо связать статические и кине матические переменные. Это осуществляется с помощью введения определяющих соотношений.
Выведем сначала дифференциальные уравнения равновесия, так как подход, использующий при построении конечно-элемент ной модели метод жесткостей (или метод перемещений), одновременно может служить подходом, позволяющим получить приближенное решение этих уравнений. Для простоты исключим из рассмотрения объемные силы и начальные деформации (Х = У=0, {einit}=0). Вывод искомых уравнений заключается в построении соотношений, связывающих напряжения с перемещениями, с последующей под становкой этих соотношений в дифференциальные уравнения рав новесия. Например, подставляя соотношения, связывающие дефор
мации с перемещениями, |
в уравнение состояния для ох, |
получим |
|
|
Е ди |
цЕ dv |
(4.16) |
а* ~ |
|
1— \»?ду |
|
|
|
||
Аналогичные операции нужно провести также для оу и |
Далее, |
подставляя полученные соотношения в дифференциальные уравне
ния равновесия (уравнения |
(4.2а) |
и (4.2Ь)), |
имеем |
|
|||||
1— [L* |
" д*и . |
1 — ц д2и 1 |
|
Е |
dhj |
__~ |
|
||
д*5 ”1 |
2“ |
ду* \ + |
2 ( \ - 11) д х д у ^ и ' |
(4.17) |
|||||
Е |
|
|
I |
^ 1 |
|
е |
д2и |
г |
|
|
|
|
|
||||||
1 — JLL2 |
2 |
дх2 |
+ |
ду* |
I + |
2 (1 — |ы) дх ду ~ ~ 1 |
|
Если можно найти отвечающие кинематическим граничным усло виям непрерывные однозначные поля перемещений, которые удов летворяют вышеприведенным соотношениям и соответствующим граничным условиям, то будет найдено искомое точное решение. Это и есть теорема единственности.
Рассмотрим, например, квадратичные поля перемещений в плоском случае
и = at + агх + а3у + а4х2 + аьуг+ а3ху, v = a7 + asx + а9у + а10х2 + а1гуг+ а12ху,
где аи а3, ., а13— константы. После подстановки в (4.17) получим
2Е |
U4 I |
! —Р |
с |
„ _ П |
|
1 — [Д,2 |
|
'2(1-|Л) а1 2 - и> |
|||
2Е |
"1 — М- |
|
Е |
|
а„ = 0. |
1 — р2 |
|
|
|||
2 |
|
2(1 —Н) |
|
Очевидно, представленное поле перемещений не отвечает точному решению задачи упругости при произвольном выборе констант аг. Однако при а6= ам = 0 решение можно представить в виде ука занного поля, если
а4 |
(1 + Ю |
( 1 ± 1 0 а |
|
4 |
а12 и «и |
4 ui |
Эти условия все же не дают гарантии того, что данные поля пере мещений являются соответствующим решением задачи. Для и и v должны быть выполнены граничные условия на перемещения, а поле напряжений, выраженное через и и v (полученное путем диф ференцирования этих компонент, согласно связи деформаций с перемещениями и подстановки в зависимость напряжений), должно удовлетворять граничным условиям для напряжений.
Перейдем к формулировке определяющих соотношений, соот ветствующих условию совместности. Основным дифференциальным уравнением совместности для плоского случая является уравне ние (4.8). Подставляя в него определяющие выражения для де формаций через напряжения, согласно (4.11), получим
к - и у + |
К |
:2 (:1+ и) |
• |
(4-18) |
В это соотношение входят три неизвестные величины (ах, ау, хху).
Спомощью определенной в разд. 4.1 выражениями (4.6) функции Эри Ф преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в него вхо дила только одна неизвестная величина. Подставляя указанные вы ражения в (4.18), приходим к уравнению
а4Ф |
. |
0 э4ф |
а4Ф |
Л |
|
дх1 |
+ |
дх* dtf + |
ду1 ~ |
U |
|
ИЛИ |
V*y2O = v 4(D=0, |
(4.19) |
|||
где |
|||||
|
д2 |
дг |
|
||
|
|
(4.20) |
|||
|
|
дх2 ^ |
ду2 * |
||
|
|
|
Оператор V2— лапласиан или гармонический оператору а уравнение (4.19) — бигартоническое уравнение.
Рассуждения, касающиеся условий выбора полей перемещений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, в той же мере применимы и в данном случае. Функция напряжений по определению удовлетворяет уравнениям равновесия. Однако вы ражения, выбранные в качестве функции напряжений, вполне могут не удовлетворять уравнению (4.19), которое задает условие совместности. В этом случае выбранные выражения будут лишь приближением к точному решению задачи. Точное же решение должно удовлетворять как граничным условиям, так и уравнению (4.19) .
4.6.Заключительные замечания
Представленная в разд. 4.5 теорема единственности в теории упру гости формально утверждает, что если вместе с объемными силами заданы либо поверхностные силы, либо перемещения на поверхности тела, то в теле существует только одно поле напряженийу или пере-
меицений. Решение, удовлетворяющее всем условиям равновесия и совместности внутри тела и на его границе, единственно.
Для того чтобы эти условия выполнялись, зависимость дефор маций от напряжений должна соответствовать линейно-упругому телу; условия равновесия записываются без учета деформаций, и проводимые рассмотрения ограничиваются рамками теории ма лых деформаций. В гл. 13, например, изучаются вопросы упругой неустойчивости, которая характеризуется наличием смежных и, следовательно, неединственных форм равновесия. Эти формы вы являются при учете влияния деформации на условия равновесия.
Знание теоремы единственности важно исследователю, использу ющему метод конечных элементов. Если бы конечно-элементная модель отвечала всем условиям равновесия и совместности, то
точное решение было бы найдено и никакое дальнейшее измельчение сетки не привело бы к улучшению ответа. Однако все исследователи, конечно, допускают, что для процедуры численного решения, на какой бы основе она ни строилась — представление в рядах, конеч но-разностная, конечно-элементная — измельчение сетки приводит к улучшению решения. Это обстоятельство ясно показывает, что для любого доступного численного метода полученное с его помощью точное решение не будет удовлетворять либо всем, либо какому-то основному условию.
Метод конечных элементов не обладает по сравнению с другими
численными методами особыми недостатками, так |
как |
для него |
не выполняется лишь одно из условий равновесия |
или |
совмест |
ности. Действительно, будет показано, что при некоторых конечно