Практическая кристаллография

Рис. 1.6. Формы поперечных сечений кристаллов: а — ромб; б — тригон; в — дитригон; г — тетрагон; д — дитетрагон; е — гексагон, ж — дигексагон

простой формы, к которому не­ обходимо добавить весьма важ­ ный морфологический признак: указание на форму поперечно­ го (горизонтального) сечения призмы, пирамиды и др. Тако­ выми могут быть: ромб (рис. 1.6, а), тригон — равносторонний треугольник (рис. 1.6, б), дитригон — сдвоенный равносто­ ронний треугольник (не путать дитригон с правильным шес­ тиугольником — гексагоном!) (рис. 1.6, в), тетрагон — квад­ рат (рис. 1.6, г), дитетрагон —

сдвоенный тетрагон (не путать с правильным восьмиугольни­ ком) (рис. 1.6, д), гексагон — правильный шестиугольник (рис. 1.6, ё), дигексагон — сдво­ енный гексагон (не путать с правильным двенадцатиуголь­ ником ) (рис. 1.6, ж).

В результате сочетания двух терминов — ромб и приз­ ма — возникнет наименова­ ние простой формы — ром­ бическая призма, т.е. призма с поперечным сечением в виде ромба (здесь можно было бы использовать привычный оборот: призма с основани­ ем в виде ромба, но это могло бы ввести в заблуждение —

ведь у рассматриваемой призмы пока еще нет оснований, потому что в крис­ таллографии призма — открытая простая форма !). Сочетание тригон и пира­ мида приводит к наименованию простой формы — тригональная пирамида, т.е. пирамида с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника. Со­ четание дитетрагон и дипирамида дает простую форму — дитетрагональная дипирамида, а сочетание гексагон и трапецоэдр рождает простую форму — гек­ сагональный трапецоэдр.

Приведенные примеры образования наименований простых форм типа приз­ мы (рис. 1.7), пирамиды (рис. 1.8), дипирамиды (рис. 1.9) и трапецоэдра (рис. 1.10) (здесь «н» и «в» — нижние и верхние ребра соответственно) дают основание указать наименования двадцати четырех простых форм в виде таблицы, где даны формы поперечного сечения (первый столбец), геометрические формы

				многогранников (второй — пяты й
				столбцы), а также для каждой про­
				стой формы — на пересечении со­
				ответствующих строки и столбца —
			~д	приводится количество граней.
	А	J		Таким образом, осталось описать
				всего восемь простых форм. Начнем
				с тетрагонального	тетраэдра
				(рис. 1.11, а). В отличие от своего
				предшественника —	кубического
				тетраэдра (рис. 1.1, а), который имел
				четыре грани в виде равносторон­
		£Ш вСГГЙ		них треугольников и вписывался в
	|СЙ			куб — тетрагональный тетраэдр име­
				ет грани в виде равнобедренных тре­
				угольников, и он вписывается не в
				куб, а в тетрагональную призму, вы­
				сота которой отличается от сторон
	J. „л	L - - —	J.A-U	квадрата основания: она может быть
				меньше или больше (как показано
				на рис. 1.11, а) стороны квадрата ос­
				нования. Верхнее ребро		тетраго­
				нального тетраэдра	располагается
				перпендикулярно его нижнему реб­
				ру, но боковые противолежащие реб­
				ра (в отличие от кубического тетра­
				эдра) такой особенностью не обла­
	Рис. 1.7. Призмы: а— тригональная; б — тетраго­			дают. Тетрагональный тетраэдр от­
				носится к числу закрытых простых
	нальная; в — гексагональная; г — дитригональ-
				форм.
	ная; д — дитетрагональная; е — дигексагональная					форма
				Следующая простая

(рис. 1.11, б), называемая тетраго­ нальным скаленоэдром, по своему виду имеет определенное сходство с предыду­ щей простой формой — тетрагональным тетраэдром (рис. 1.11, а). Тетрагональ­ ный скаленоэдр можно представить как результат удвоения граней тетраго­ нального тетраэдра. Все восемь граней тетрагонального скаленоэдра одинаковы по своим размерам и по геометрии: они представляют собой одинаковые не­ правильные треугольники. Тетрагональный скаленоэдр относится к закрытым простым формам.

Наименование еще одной простой формы содержит упоминание о тетраэд­ ре — это ромбический тетраэдр (рис. 1.11, в). Если тетрагональный тетраэдр вписан в тетрагональную призму (с квадратным основанием), то для ромбичес­ кого тетраэдра подобную «упаковку» следовало бы расширить: стороны осно­ вания новой «упаковки» представляли бы не квадрат, а вытянутый прямоуголь­ ник. По этой же причине горизонтальные ребра ромбического тетраэдра не смогут быть взаимно перпендикулярными, как это имело место у тетрагональ-

ного тетраэдра. Грани ромбическо­ го тетраэдра являются четырьмя одинаковыми неправильными тре­ угольниками. Ромбический тетраэдр

—закрытая простая форма. Своеобразную простую форму из

шести одинаковых ромбов представ­ ляет собойромбоэдр (рис. 1.11, г). Ром­ боэдр можно представить как ре­ зультат деформирования (растяже­ ния или сжатия) куба вдоль одной из его объемных диагоналей. Умес­ тно напомнить, что ромбоэдр обра­ зован тремя парами параллельных граней и представляет собой парал­ лелепипед, который в отличие от куба лишен прямых углов между своими ребрами. Ромбоэдр относит­ ся к числу закрытых простых форм.

Следующую простую форму —

дитригональный скаленоэдр

(рис. 1.11,5) можно представить как результат удвоения граней ромбо­ эдра (рис. 1.11, г). Двенадцать оди­ наковых граней в виде неправиль­ ных треугольников дитригонального скаленоэдра располагаются та­ ким образом, что образуют шесть пар параллельных граней: одна из граней каждой такой пары лежит на

Рис. 1.8. Пирамиды: а — тригональная;

б — тетрагональная; в — гексагональная;

г— дитригональная; д —дитетрагональная; е — дигексагональная

Количество граней простых форм

	Ф орм а п оп еречн ого сечения		Г еом етрическая форм а
		призма	пирам ида	дипирам ида	трапецоэдр
	Р ом б	4	4	8	-
	Т ригон	3	3	6	6
	Д итригон	6	6	12	-
	Т етрагон	4	4	8	8
	Д итетрагон	8	8	16	-
	Гексагон	6	6	12	12
	Д игексагон	12	12	2 4	-

Рис. 1.9. Дипирамиды: а — тригональная; б — тетрагональная; в — гексагональная;

г — дитригональная; д — дитетрагональная; е — дигексагональная

верхней половине фигуры, другая — на нижней. Дитригональный скаленоэдр относится к закрытым про­ стым формам.

Завершим анализ видов есте­ ственной огранки кристаллов че­ тырьмя простыми формами: пинакоидом (рис. 1.11, в), двумя диэдрами (рис. 1.11, ж, з) и моноэдром

(рис. 1.11, к). Пинакоид (по-гречес­ ки — доска) представляет собой пару одинаковых параллельных гра­ ней. Диэдр — это пара пересекаю­ щихся граней, одинаковых по гео­ метрии и размерам. Различают ди­ эдр осевой (рис. 1.11, ж), обе грани которого связаны друг с другом осью симметрии второго порядка Lv расположенной перпендикулярно линии пересечения граней, и диэдр безосный (рис. 1.11, з), грани которо­ го связаны зеркальной плоскостью симметрии, как скаты крыши дома. И наконец, моноэдр — это одиноч­ ная грань, которая не имеет себе по­ добных на многограннике. Напри­ мер, такая грань может служить ос­ нованием пирамиды. Все три пос­ ледние простые формы являются открытыми простыми формами и поэтому встречаются только в ком­ бинациях с другими простыми фор­ мами.

В качестве примера комбинации нескольких простых форм приведем крис­ таллический многогранник (рис. 1.12, а). Лежащие в основаниях фигуры грани т и п нельзя объединить в пинакоид, хотя они и параллельны, поскольку их прямоугольники отличаются своими размерами. Следовательно, каждая из этих граней представляет собой самостоятельную простую форму — моноэдр. Все остальные грани разбиваются на пары одинаковых граней — диэдров: диэдр d, диэдр е, диэдр р, диэдр с и диэдр/ Таким образом, этот кристаллический много­ гранник образован гранями семи простых форм: двумя моноэдрами и пятью диэдрами.

Пример другой комбинации простых форм приведен на рис. 1.12, б, где пред­ ставлена обычная гексагональная пирамида. В ее основании — правильный шестиугольник — гексагон. Этот гексагон следует отнести к простой форме — моноэдру, поскольку других подобных граней приведенный многогранник не

Рис. 1.10. Трапецоэдры: а — тригональный; б — тетрагональный; в — гексагональный

содержит. Грани гексагональной пирамиды — шесть одинаковых равнобедрен­ ных треугольников, образующих одинаковые углы наклона с вертикальной осью пирамиды, — представляют другую простую форму: собственно гексагональ­ ную пирамиду. Следовательно, рассматриваемый многогранник образован гра­ нями двух простых форм — гексагональной пирамиды и моноэдра. В этом при­ мере мы столкнулись с несоответствием привычного, «школьного» наименова­ ния гексагональной пирамиды как геометрической фигуры с основанием, с одной стороны, и одноименным кристаллографическим наименованием про­ стой формы, которое означает совокупность только шести одинаковых граней пирамиды (но без всякого основания !), с другой стороны.

Поскольку в настоящей главе рассмотрены различные элементы огранки кристаллов и сделан подсчет количества граней, ребер и вершин многогранни­ ков, будет весьма уместно ознакомиться с формулой Эйлера, связывающей ко­ личество граней, ребер и вершин многогранников:

(к-во граней) + (к-во вершин) = (к-во ребер) + 2.

Например, с помощью формулы Эйлера удобно определить количество ре­ бер у такой сложной фигуры, как 24-гранный тетра-гексаэдр:

Рис. 1.11. Простые формы естественной огранки: а — тетрагональный тетраэдр; б — тетрагональ­ ный скаленоэдр; в — ромбический тетраэдр; г — ромбоэдр; д — дитригональный скаленоэдр; е — пинакоид; ж — диэдр (осевой); з — диэдр (безосный); и — моноэдр

(к-во ребер) = (к-во граней) + (к-во вершин) —2 = 24 + 14 —2 = 36.

Выводы. Описанное в данной главе понятие простой формы естественной огранки кристаллических многогранников позволяет свести сложную огранку кристалла к набору определенных стандартизованных элементов. В результате, вместо описания каждой грани исследуемого кристалла в отдельности рассмат­ риваются всего несколько семейств повторяющихся, одинаковых по своей гео­ метрии и размерам граней. Все многообразие внешней естественной огранки кристаллов сводится с помощью простых форм к комбинации из нескольких

Рис. 1.12. Комбинация двух моноэдров и пяти диэдров (а) и гексагональной пирамиды и моноэдра (б)

(немногих) стандартизованных элементов: в большинстве случаев — к комби­ нации двух-трех простых форм.

Для кубических кристаллов кроме трех основных простых форм (кубичес­ кий тетраэдр — рис. 1.1, а, куб — рис. 1.2, а, октаэдр — рис. 1.3, а) характерны еще 12 производных простых форм — всего 15 простых форм (рис. 1.1—1.3).

Среди простых форм естественной огранки других кристаллов следует отме­ тить призмы, пирамиды, дипирамиды, трапецоэдры (рис. 1.7—1.10), скаленоэдры (рис. 1.11, б, д), тетраэдры некубические (рис. 1.11, а, в), ромбоэдры (рис. 1.11, г), пинакоиды (рис. 1.11, е), диэдры (рис. 1.11, ж, з) и моноэдры (рис. 1.11, и).

При практическом определении простых форм естественной огранки крис­ таллических многогранников целесообразно придерживаться следующего порядка.

1.Определить количество простых форм — число различных сортов граней, представленных на изучаемом многограннике.

2.Подсчитать количество граней, входящих в каждую простую форму.

3.Определить характерную геометрию граней каждой простой формы.

5.Определить пространственную ориентировку граней каждой простой формы.

6.Сравнить полученные результаты анализа естественной огранки с описа­ ниями и рисунками простых форм и сделать свой выбор.

Отмеченные особенности внешней естественной огранки кристалла явля­ ются следствием закономерного, периодического внутреннего (атомного) стро­ ения. Следовательно, ближайшей задачей является выяснение тех конкретных причин внутреннего характера, которые приводят к рассмотренным особенно­ стям естественной огранки кристаллов: плоскогранность и прямореберность, наличие у правильно образованных кристаллов одинаковых граней и одинако­ вых ребер, проявление их симметрии и анизотропии.

Следует отметить, что понятие кристаллических многогранников широко используется не только в минералогии и технической кристаллографии (для описания природных и промышленных кристаллов), но и в структурной крис­ таллографии, где этот термин применяют для характеристики атомной структу­ ры кристаллов. Так, взаимное расположение атомов в кристаллических структу­ рах весьма часто описывают с помощью специфических структурных много­ гранников (структурных тетраэдров, структурных октаэдров и др.).

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО (РЕШЕТОЧНОГО) ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ

2.1. Постоянство двугранных углов кристаллических многогранников (закон Стенона)

Детальное исследование естественной огранки природных кристаллов при­ вело к открытию многих важнейших закономерностей, которые стали осново­ полагающими элементами новой науки — кристаллографии.

В1669 г. скандинавский ученый Стеной установил закон постоянства дву­ гранных углов кристаллов (или закон угловых констант). Оказалось, что, не­ смотря на удивительную изменчивость форм естественной огранки природных кристаллов, величины двугранных углов между соответственными гранями кри­ сталлов одинакового химического состава (и одной и той же модификации) являются постоянными величинами.

Вкачестве примера рассмотрим разнообразие форм естественной огранки природных кристаллов кварца (рис. 2.1). Здесь представлены различные сочета­ ния граней гексагональной призмы и, р с гранями дипирамиды т и ромбоэдра г.

Всоответствии с законом Стенона в любых формах огранки углы между граня­ ми гексагональной призмы я и дипирамиды т сохраняют неизменные значе­ ния: Lmn = 141,78° Аналогичным образом во всех случаях сохраняются неиз­ менными двугранные углы между соседними гранями гексагональной призмы (Lnp = 120,00°), а также углы между гранями т и р (Lтр = 113,13°).

Если разнообразие внешней формы кристаллов во многом определяется раз­ личиями во внешних условиях образования кристаллов, то совпадение величин соответствующих двугранных углов свидетельствует о проявлении причин внут­ реннего характера — является следствием влияния факторов, определяющих внутреннее строение одинаковых кристаллов.

Рис. 2.1. К закону постоянства двугранных углов Стенона

На основании закона постоянства двугранных углов один из крупнейших отечественных кристаллографов Е.С. Федоров много лет спустя создал специ­ альный метод определения химического состава природных минералов, осно­ ванный на измерении двугранных углов. Поскольку каждый из кристаллов дан­ ного химического состава имеет свой собственный набор двугранных углов, присущих кристаллам только этого состава, то конкретная комбинация этих величин может служить надежным признаком каждого кристаллического ве­ щества.

Е.С. Федоровым был разработан специальный определитель состава мине­ ралов, содержащий почти девять тысяч (!) различных наименований и служив­ ший до открытия рентгеноструктурного анализа единственным универсаль­ ным методом определения химического состава кристаллических веществ.

2.2. Периодичность внутреннего (решеточного) строения кристаллов (закон целых чисел Гаюи)

В 1784 г. французский исследователь Гаюи в результате многолетнего изуче­ ния естественной огранки природных кристаллов получил неожиданный ре­ зультат. Оказалось, что кристалл сложен из неких стандартных «строительных» элементов — своеобразных «кирпичиков» — и вследствие этого обладает зако­ номерным, периодическим внутренним строением. Именно из этих элементар­ ных кирпичиков строится здание кристалла. Они, вплотную примыкая друг к другу, целиком заполняют пространство кристалла и ими вымощены грани кристалла (рис. 2.2).

К этим выводам Гаюи пришел, установив, что вели­ чины отрезков, которые отсекают различные грани кри­ сталла (или их продолжения) на каждой из трех коор­ динатных осей, являются величинами соизмеримыми: отношения этих отрезков выражаются отношениями не­

больших целых чисел. При этом за координатные на­ 0 правления принимается тройка некомпланарных ребер того же кристалла. Закон Гаюи в математической фор­ ме выражается следующими отношениями:

(04, 04,) (05, 0ВЪ) (ОС, 0 Q = р q г, (2.1)

где величины р, q, г — небольшие целые числа: двой­ ные отношения отрезков, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно небольших чисел.

Рис. 2.2. Выполнение [раней кристалла элементарными кубиками (по Гаюи): а — горизонтальная поверхность грани кристалла; б, в — наклонные грани кристалла

Рассмотрим в качестве примера иллюстрацию к закону Гаюи (рис. 2.3). Здесь грань АХВХСХотсекает на осях координат отрезки ОАх, ОВхи ОСх, а грань Л2В2С2

— отрезки ОА2, ОВ2и ОС2 В соответствии с масштабами (различными) по трем координатным осям определим численные величины отношений отрезков по каждой из осей: ОАх: ОА2 = 2 3; ОВх ОВ2 = 4 3; ОСх: ОС2 = 2 3. Теперь в соответствии с формулой (2.1) найдем отношение чисел р, q и г :

р q /•= (2 3) (4 3) (2 3) = 2 4 2 = 1 2 1.

В результате получены отношения небольших целых чисел, что полностью соответствует закону Гаюи.

Приведенная развернутая формулировка закона Гаюи делает понятными дру­ гие наименования этого закона (помимо вышеупомянутого «закона целых чи­ сел»): «закон рациональных отношений параметров», а также «закон кратных отношений параметров».

Закон Гаюи сыграл огромную роль в становлении и развитии кристаллогра­ фии и по существу явился первым строгим доказательством закономерного, периодического внутреннего строения кристаллического вещества.

С помощью этого закона можно объяснить, как выстраиваются различные грани одного и того же кристалла из одинаковых строительных кирпичиков. Действительно, одними и теми же «кубиками» можно выстроить и горизон­ тальную грань кристалла (рис. 2.2, а), и его слегка наклоненную грань (рис. 2.2, б), и довольно крутую грань (рис.2.2, в). Элементарные частицы выстраиваются в ряды, параллельные ряды — в плоскости, параллельные плоскости объединяют­ ся в пакет, т.е. в объемный кристалл.

Достойна удивления гениальная интуиция Гаюи, который сумел разглядеть в полученных простых, на первый взгляд, арифметических соотношениях от­ резков глубокие причины особенностей естественной огранки кристаллов: их периодическое внутреннее строение. Хотя он не мог еще в конце XVIII в. сфор­ мулировать закон целых чисел на языке атоми­

z	стической теории, но, по существу, уже находил­
	ся на правильном пути к ней. Недаром создание
	знаменитого закона кратных отношений Даль­
	тоном (1804 г.), послужившего фундаментом со­
	временной химической атомистики, стало воз­
	можным благодаря непосредственному влиянию
	Гаюи.
	2.3. Пространственная решетка — модель
	внутреннего периодического (решеточного)
	строения кристаллов
	Дальнейшие шаги по развитию теории кри­
	сталлического строения были сделаны немец­

Рис. 2.3. К закону целых чисел Гаюи