Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част.-1
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Пермский государственный технический университет
В.Э. ВИЛЬДЕМАН
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТОВ
Часть 2
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ СРЕД
Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению 551600 и специальности 121000 — «Конструирование и производство
изделий из композиционных материалов»
ПЕРМЬ 2000
УДК 539.3 В46
Р е ц е н з е н т ы :
член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор В.Н. Анциферов,
член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор В.П. Матвеенко
Внльдеман В.Э.
В46 Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов. Ч. 2: Основы математической теории закритнческой деформации разупрочняющнхся сред: Учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000. 70 с.
ISBN 5-88151-247-2
Приведены основные положения и соотношения механики устойчивого закритического деформирования и разрушения повреждённых тел с зонами разупрочнения, рассмотрены вопросы формулировки соответствующих краевых задач и доказательства единственности их решений. Закономерности механического поведения материалов на стадии деформационного разупрочнения проиллюстрированы результатами экспери ментальных исследований.
Предназначено для студентов специальности “Конструирование и производство изделий из композиционных материалов’1
ISBN 5-88151-247-2 |
О Пермский государственный |
|
технический университет, 2000 |
ВВЕДЕНИЕ |
4 |
|
1. Закритическая стадия деформирования материалов |
6 |
|
2. |
Граничные условия с учетом свойств нагружающей системы...... |
17 |
3. |
Определяющие соотношения для сред с разупрочнением.............. |
22 |
4.О признаке закритической деформации и постулате устойчивости неупругого деформирования
в связи со свойствами нагружающей системы |
27 |
5. Оценка устойчивости процесса закритической деформации |
31 |
6. Единственность решения краевых задач |
|
для тел с зонами разупрочнения |
37 |
7. Экстремальные и вариационные принципы механики |
|
устойчивого закритического деформирования |
42 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
50 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
51 |
ПРИЛОЖЕНИЕ. Экспериментальное исследование |
|
закритической стадии деформирования |
57 |
К числу важных механических явлений, требующих специального изучения, относится закритическое деформирование структурнонеоднородных сред, реализуемое только при определенных условиях на гружения, сопровождающееся разупрочнением материала при равновесном росте дефектов и проявляющееся в наличии ниспадающих участков на диаграммах деформирования.
Анализ закономерностей и описание процессов накопления повреж дений материалов на закритической стадии деформирования является важ ной задачей механики композитов. Не потеряли актуальность вопросы обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и определе ния области их применимости. Возникает ряд математических проблем, связанных с постановкой и решением соответствующих нелинейных крае вых задач. Уточненный расчет конструкций с использованием полных диа грамм требует, кроме того, определения условий устойчивости закритического деформирования в ослабленных зонах.
В настоящем пособии анализируются разработанные положения ме ханики квазистатических процессов устойчивого закритического деформи рования и разрушения повреждённых тел с зонами разупрочнения при ма лых упругопластических деформациях, вопросы формулировки соответст вующих краевых задач и доказательства единственности их решений.
Рассмотрены вопросы использования понятий и соотношений теории пластичности, базирующейся на концепции существования предельных поверхностей в пространствах напряжений и деформаций, применительно к деформируемым телам на стадии разупрочнения. Сформулирован необ ходимый и дополнительный по отношению к постулату пластичности при знак закритической деформации.
Отличительной особенностью рассматриваемой постановки краевой задачи является замена критериев прочности на условия устойчивости за критической деформации. Разрушение описывается как результат потери устойчивости процесса деформирования материала на закритической ста дии. На основе подхода Друккера сформулирован расширенный постулат устойчивости для механической системы, включающей как исследуемое
деформируемое тело, так и нагружающую систему. Приведено условие ус тойчивого деформирования разупрочняющегося материала. Отмечено ста билизирующее влияние нагружающей системы в случае достаточной ее жесткости.
Изложено доказательство теоремы, согласно которой полученное не равенство устойчивости является достаточным условием единственности решения сформулированной при использовании тензорно линейных ин крементальных определяющих соотношений краевой задачи для тел с зо нами разупрочнения. Приведены экстремальные принципы механики закритического деформирования для тел с граничными условиями третьего рода и соответствующие вариационные принципы.
Потеря несущей способности силовой конструкции, даже если и представляется внезапной со стороны стороннего наблюдателя, является результатом многообразных физических процессов, накопления поврежде ний на различных структурных уровнях твердых тел [43]. Это могут быть, в частности, явления пластического деформирования, дисперсного разруше ния и прорастания макротрещины, сопровождающиеся эффектами пере распределения напряжений между элементами структуры композиционных материалов. То, что называют «моментом разрушения», является не нача лом и не концом процесса, а соответствует переходу от стабильной к не стабильной стадии [66].
Проблема описания перехода от микро- к макроразрушению является очень важной для механики композитов. При этом существует много раз личных исходных предпосылок и методов оценки прочности с позиций структурной механики. В настоящее время развивается подход, согласно которому макроразрушение рассматривается как результат потери устой чивости сопряженного с накоплением повреждений процесса деформиро вания. Процесс нагружения упругопластической системы становится неус тойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса соот ветствует катастрофическое развитие перемещений и деформаций. При этом ключевую роль в изучении вопросов устойчивости, связанных с про блемой разрушения, играет анализ особого рода нелинейности — ниспа дающей ветви на диаграмме деформирования и свойств нагружающей сис темы.
Как известно, жесткость тела (или обратная ей величина — податли вость) характеризует изменение нагрузки при перемещении, связанном с деформацией. При предельно податливом или “мягком” нагружении, когда к находящемуся в однородном напряженном состоянии телу прикладыва ются не зависящие от его сопротивления силы, разрушение происходит при достижении максимальных напряжений. В другом предельном случае, когда обеспечиваются заданные перемещения точек границы (“жесткое44 нагружение), а также при конечной, но достаточной жесткости нагружаю щей системы возможно равновесное протекание процесса накопления по вреждений, что находит свое отражение на диаграмме деформирования в виде ниспадающей ветви.
Экспериментально подтверждено [27, 55], что сопротивление разру шению определяется не только прочностными постоянными материала, но и зависит от жесткости нагружающей системы, в которую входят нагру жающее устройство (испытательная машина, передающие нагрузки сило вые и кинематические элементы конструкций, рабочие жидкость и газ) и само деформируемое тело, окружающее область повреждения [66].
В связи с этим авторы работы [20] высказали сомнение по поводу возможности найти и измерить некоторую константу, характеризующую сопротивление разрушению материала, будь то критическая величина со противления отрыву, поверхностная энергия по Гриффитсу или работа пластических деформаций в тонком поверхностном слое по Оровану. На пример, в случае учета податливости нагружающего устройства в задаче о растяжении тонкой пластины с трещиной, эта величина входит явным об разом в формулу для нахождения среднего разрушающего напряжения. При этом известная формула Гриффитса имеет место в частном случае при податливости, равной нулю (очень жесткая машина, не подпитывающая исследуемый образец упругой энергией) [20]. Пренебрежение влиянием податливости системы образец-испытательная машина приводит к тому, что за характеристику трещиностойкости материала принимается значение, связанное с конкретной испытательной машиной и конкретной конфигура цией образца.
Необходимость учета свойств нагружающих систем, влияние кото рых может быть весьма существенным, отмечалось в работах Э. Зибеля и С. Швайгерера (1939), В. Шпета (1938), П.Г Кириллова (1950), М.Э. Гарфа (1950), Е. Орована (1955), а также М.В. Якутовича, Ф.С. Савицкого, Б.А. Вандышева, Б. Скабелина (1948), Е.М. Шевандина и др. [22].
Существует тесная связь податливости нагружающей системы с ки нетикой и локальностью процесса разрушения [66]. Например, в инженер ной практике отмечено существенное отличие в характерах разрушения гидравлических и пневматических сосудов давления и трубопроводов. С точки зрения же традиционных постановок краевых задач эти случаи экви валентны. В связи с этим, граничные условия, не учитывающие изменений внешних нагрузок, связанных с изменением конфигурации тела в процессе деформирования и повреждения, не вполне соответствуют реальным усло виям работы элементов конструкций и производимых испытаний [13].
С этой точки зрения для более адекватного описания процессов де формирования, накопления повреждений и разрушения целесообразным является использование граничных условий третьего рода [2], позволяю щих расширить физическую базу имеющихся моделей механики структур но-неоднородных сред, уточнить прочностные оценки, определить резервы несущей способности и прогнозировать катастрофичность разрушения конструкций.
По мнению Я.Б. Фридмана [65], обращение к рассмотрению полных диаграмм (имеющих ниспадающую ветвь и полученных на жестких испы тательных машинах) при поиске характеристик разрушения явилось есте ственным результатом развития представлений об этом явлении.
Все физические процессы, протекающие в материале при нагруже нии, отражены в полных диаграммах деформирования, причем ниспадаю щие участки этих диаграмм соответствуют отдельным стадиям разруше
ния. Такой характер поведения материала на заключительной стадии де формирования материала во многих случаях ассоциируется с формирова нием или развитием макродефекта. В связи с этим, наряду с явным описа нием трещины в деформируемом теле перспективным является феномено логическое направление механики разрушения, описывающее поведение материала на стадии формирования и роста макротрещины. Начало этому направлению положено С.Д. Волковым [13,16].
Использование данного подхода связано с предположением, что ме ханическое поведение сколь угодно малого объема материала при наличии разрывов, соизмеримых с его размерами, аналогично поведению макрооб разца на заключительной стадии деформирования. Это в определенной степени отражает автомодельность процесса разрушения.
Согласно гипотезе макрофизической определимости А.А. Ильюшина, каждой точке среды может быть поставлен в соответствие макрообразец в виде тела конечных размеров, находящийся в однородном напряженнодеформированном состоянии и на котором могут быть в принципе изучены все процессы, протекающие в изображаемой точке среды.
Указанное соответствие может быть установлено следующим обра зом: перемещения границ рабочей зоны воображаемого идеального одно родного образца из материала, заполняющего элементарный деформируе мый объем, в условиях однородного напряженного состояния при одина ковых нагрузках должны совпадать с перемещениями границ рабочей зоны экспериментального образца на всех стадиях деформирования, включая стадию формирования и роста макротрещины. На основе этих предполо жений могут быть использованы принятые в механике деформируемого твердого тела феноменологические уравнения и критерии.
Закритическое деформирование структурно-неоднородных сред, подверженных деструкции различной природы при механическом воздей ствии, является одним из важных механических процессов, требующих проведения специальных исследований. Критическое напряженнодеформированное состояние соответствует моменту достижения макси мальных для данного материала в данных условиях значений напряжений, а закритическая стадия характеризуется снижением уровня напряжений при прогрессирующих деформациях [15, 45, 66].
Отмеченная особенность механического поведения свойственна ме таллам [1, 28, 29, 62, 69], причем как для связи условных, так и истинных напряжений и деформаций, геологическим [57], керамическим, полимер ным и композиционным, а также другим материалам. В приложении к на стоящему пособию приведены результаты экспериментальных исследова ний закритической стадии деформирования: полные равновесные диа граммы деформирования легированных, мартенситно-стареющей, аусте нитной сталей, титановых и других сплавов, органических волокон, цирко ниевой керамики, наполненного полиэтилена, гранита, песчаника и других
горных пород. Обзор работ в области исследования и описания закритической стадии деформирования приведен в монографии [9].
Закритическая стадия деформирования материалов эксперименталь но исследовалась Я.Б. Фридманом и Б.А. Дроздовским [20], Ф.С. Савицким и Б.А. Вандышевым [55], С.Д. Волковым с соавторами [28, 69], А.А. Лебе девым и Н.Г Чаусовым [29, 34, 36], В.В. Стружановым и В.И. Мироновым [62], Р.А. Васиным и др. [1].
Вопросы теоретического описания указанного механического явле ния рассматривались в работах С.Д. Волкова [12-17], чьи идеи предопределили многие направления исследований в этой области, В.А. Ибрагимова и В.Д. Юпошникова [23], А.М Линькова [38], Л.В. Никитина [39, 40] и Е.И. Рыжака [41, 52-54], А.Ф. Ревуженко и Е.И. Шемякина [51], В.В. Стружанова [58-62], Я.Б. Фридмана [66], особо подчеркивавшего важность учета жесткости нагружающей системы при изучении проблемы разрушения, и др. Следует отметить также работы 3. Бажанта [70], А. Пал мера, Д. Майера, Д. Друккера [42] и П. Пежины [38].
Монография В.В. Стружанова и В.И. Миронова [62] содержит поста новки и решения ряда новых краевых задач, которые демонстрируют, что конструктивные элементы сохраняют свою несущую способность и в слу чае перехода части материала к процессу разупрочнения, а характеристики разупрочнения во многом определяют кинетику разрушения деформируе мых тел. Результаты исследований автора, Ю.В. Соколкина и А.А. Ташкинова вопросов устойчивости закритического деформирования структурно неоднородных материалов, свойств решений квазистатических краевых за дач механики упругопластических тел с зонами разупрочнения и гранич ными условиями контактного типа, позволяющими учесть при решении свойства нагружающей системы, представлены в монографии [9], а также в работах [2, 7, 8, 11].
Значительные успехи достигнуты в изучении закономерностей закри тического деформирования горных пород, а также учета их при расчете и анализе напряженного состояния и устойчивости среды в окрестностях горных выработок, что отражено в работах А. Драгона и 3. Мруза [19], И.М. Петухова и А.М. Линькова [46, 47], А.Ф. Ревуженко [50], А.Н. Ставрогина и А.Г Протосени [57], А.Б. Фадеева [64] и др.
На основе анализа научных публикаций можно сделать вывод о том, что в последние десятилетия активно формируется новое направление ме ханики деформируемого твердого тела: теория устойчивой закритической деформации, или деформационного разупрочнения.
Материал на закритической стадии деформирования не удовлетворя ет постулату Друккера [21] и классифицируется как реологически неустой чивый [40]. Однако многие реальные материалы адекватно описываются именно моделями реологически неустойчивых материалов. При этом в за мену требования реологической устойчивости выдвигается принцип устой
чивости дня тела в целом: состояние материала является реализуемым, ес ли в этом состоянии он находится в составе устойчивой механической сис темы [40,41].
Усовершенствование моделей материала с целью описания накопле ния повреждений на закритической стадии деформирования является важ ной задачей механики композитов. Уточненный расчет конструкций с ис пользованием полных диаграмм требует, кроме того, развития методов ре шения краевых задач с учетом разупрочнения материала [9, 11, 23, 59, 60, 62] и получения условий устойчивости закритического деформирования в ослабленных зонах. Естественно, что это должно базироваться на эффек тивных экспериментальных методах построения равновесных диаграмм деформирования.
В работах [41, 52-54] теоретически обоснована осуществимость со стояний материала, соответствующих ниспадающей ветви диаграммы де формирования. На основе теорем Адамара и Ван Хофа, дающих локальные необходимые и достаточные условия устойчивости для упругих тел, и их обобщений на случай упругопластических тел показано, что даже при на личии “падающей” диаграммы тело, закрепленное на границе с достаточ ной (даже не обязательно очень большой) жесткостью, может быть устой чиво. Нет принципиальных препятствий к регистрации таких состояний в эксперименте, в частности, при одноосном растяжении или сдвиговом (в девиаторном смысле) деформировании, и интерпретации соответствующих экспериментальных данных в терминах присущего материалу свойства ра зупрочнения.
Принципиально важно, что в зависимости от условий нагружения каждая точка на ниспадающей ветви диаграммы деформирования может соответствовать моменту разрушения. Деформирование данного рода осу ществимо лишь для локального объекта в составе механической системы с необходимыми свойствами. В противном случае происходит неравновес ное накопление повреждений и макроразрушение как результат потери ус тойчивости процесса деформирования на закритической стадии.
В области разупрочнения возможно также возникновение локализа ции деформации в виде полос сдвига. Ниспадающая ветвь наблюдается то гда, когда есть механизмы и условия постепенной диссипации упругой энергии. Таким образом, рассматриваемые состояния материала можно на звать условно реализуемыми.
Возможно, для иллюстрации уместно использовать несколько отвле ченную аналогию. Деформирование разупрочняющейся среды устойчиво примерно в той же мере, в какой устойчива более или менее вязкая жид кость в некотором сосуде. Потеря устойчивости происходит, если стенки сосуда не обладают достаточной жесткостью. В данном случае роль сосуда аналогична роли нагружающей системы.