Остаточные напряжения.-1
.pdfа |
(e< * + h O f dA ~izu\ udA ~izv j vdA ~ m x y x |
|||
x J |
ydAx- a, (1 + ц,) J |
T(уЩ + A |
(£„z +^2£J |
l dA2 ~lzu J udA2 |
~Xzv J VdA2-V-2%xy j |
ydA ~ a 2(1+ Ц2) J T(y)dA2 |
= 0; |
||
|
|
|
A22 |
|
A |
(£0z + m O f vdA - x * J uvdA -Xzv J ^ dA -hX zyx |
|||
X J vydAx- a, (1+ ц,) J T(y)vdAx + Д |
(£0z+H2£j J vdA2~ |
|||
Az |
Az |
|
|
~Xzu J uvdA ~X„ J v2dA2_ М-2Хгу | vy<£4,-a2(l + n2) J T(y)vdA2
|
A 2 z |
A 2 Z |
A 2 Z |
|
A 2 Z |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
A |
(£0z + Hi£«) j |
~Xzu J u2dAi -Xzv f vudA “ hXzy J |
- |
|||
|
|
|
At |
Az |
Az |
|
-а,(1 + ц ,) | |
T(y)udAx + A (£OZ+^2£J |
J |
"X ZU l “2dA2~X: |
|||
|
|
|
|
|
A2Z |
|
x j |
vudA2-[i2%xy j uydA2- a 2(1+ Ц2) J |
T(y)udA2 = 0. |
|
В случае, когда температура по толщине пакета пластин рас пределена равномерно, т.е. Т(у)=Т\ — То = Т, решение задачи мо жет осуществляться следующим образом. В последних уравнениях, где интегрирование осуществляется по площадям Аи и а также где под интегралами встречаются одновременно координаты и, v и х , у,
заменим ии v на х и у, т.е.
u=xcosa+ ysmar,
v=^>cosa— xsina. |
(5.17) |
|
Тогда уравнения примут вид |
|
|
А [(е« + h 8J А , - х Л - р,хЛ(хАи cos а + Su sin а ) - |
|
|
- 14Xzv(Su cos а - xAlxsin а)] + Д |
[(ee + [i2sJ A 2x- x^S2z - |
|
-ЩХ» (XA2XCOS a + S2zsin a) - p2x„ (S2zcos a - xA2xsin a)] - |
|
|
-T [Д а , (1+ P, )AU+ D2a 2 (1+ p2 )A2x] = 0; |
|
|
D\[(£« + h £oz)5iz - Xxyhz ~ |
( A * cos a + Az sin a) - |
|
"^iXzvCAz cos a - xSu sin a)] + D2 [(eox + p2eoz)S2z - Xx»hz ~ -^Xzu (xSixcos a + I2zsin a) - p2x2V(A2 cos a - xS2xsin a)] -
-T [Д а , (1+ p, )Six+ Д a 2 (1+ p2)S2x ] = 0;
Д [ ( 8 0Z + h 8 a x ) A " X ziA v " Xzv^ltt _ 1ЧХ*>А,х] +
+ Д [(E. + [i2eJA 2z - Xzu^2v ~ Xzv^iu ~ И-гХдy^ix] ~
-T [Д а , (1+ p, )AU + D2a 2 (1 + p2 )A1:] = 0;
A [(е<* + h 0 5i„- х Л - Ц | Х < Д , c o s a - / ^ sin a )] +
+ A [(e« + ^ 2S« )52« -х Л и ,~ Х Л и -\4Xxyi!u « и « “ 4 * s in a ) ] -
-T [A a, (1■+ Ml)£,„ + Aza2(! + H2 ) S 2u ] = °; |
(5-18) |
|
A [(c * + h e«r)S,„ -X J u - x j i „ |
~ V-iXxy(Juy cos a - l u sin a )] + |
|
+ A [(e„ + M „ ) 5 2V- X „ /2V- X |
j 2uv -V-iXtyihv c o s a - / 2x s in a ) ] - |
-Г [Д а , (1+|л,)5,v + D2a 2 (1+ p2 )S2v] = 0,
где Six— статический момент относительно оси X /-го элемента, если сечение проведено перпендикулярно оси Z; St— статический момент относительно оси Z z-го элемента, если сечение проведено перпендикулярно оси X; Sm, S^, — статические моменты относи тельно оси U или V /-го элемента, если сечение проведено перпен дикулярно оси Z; It— момент инерции относительно оси Z, /-го эле мента, если сечение проведено перпендикулярно оси X; Iiu, 1„— момен ты инерции относительно оси U или V /-го элемента, если сечение проведено перпендикулярно оси Z; /«», 1щ,— центробежные моменты инерции относительно осей U и V или осей X, У, если сечение проведено перпендикулярно оси Z.
Систему уравнений (5.18) можно преобразовать к следующему
виду:
а ц £ ох + |
a i2£oz + сс,зХху + аыХги + а п Х * = |
ь < т> |
|
|||
1 £ох "I" |
СС22£oz |
&23Хху |
&24%zu |
Ct25Xzv |
^2 Т> |
|
аз1£ох + |
a 32£oz + |
OLaXxy + |
аи Х ш + |
аз5Х * = |
ь з т’> |
(5•19) |
& 4 1& О Х |
0C42&OZ |
& 43 % ху |
OC44%zu |
& 4 5 % zv |
& 4 Т> |
&51&0Х &52&OZ &53%ху as4%zu &55Х&* Ь$
где а л = D]AJx + D2A2x;
&13 ~ -(DjSiz + D2S2x)= -a2 i; au = -(ai2x cosa + a22 sina); ais =xai2 sina — a2 2 cosa; Cj =Di/Ji Iiz + D2[X2I2z; a24 = a2s =ха2з sina — Cj cosa; аз2 - D]Ajz + D2A2z;
аз4 = -(DiS]v + Dfifr); CC41 =Di/xi Siu + D2fi2 S2u; C3 =Di/Ji Iixy + D2{i2I2xy;
044 - -(D,IIuv + D2I2uv)= ass; asi =Din, Siv + D2/X2 S^;
as3 = -(C3 cosa + C2 sina); pi =Diai (1+ Hi);
bj = PiAix + p2A2x; Ьз = piAiz + p2A2z; bs = M v + PiSfr.
a]2 —DiHiAjx + D2/J2A2x; a22 =D}fUi SJz + D2/J2S2z;
а2з = -(D, I]z + D, I2z);
(xa22 cosa + Ci sina);
аз! = (DiHi S}z + D2fi2 S2z);
OC33 = -(D1H1 Six + D2/U S2x);
CC35 = -(D]Siu + D2S2u)~ -a42;
C2 =Difn Iix + D2H2hx;
a43 =C3 sina— C2 cosa; a4s = -(Diliu + D2I2u);
CC52 = -CC34;
as4 = -(Dpiv + D2I2v);
p2 =D2a2 (1+ /J2);
b2 = PiSjz + P2S2z;
b4 = p,Siu + p2S2u;
Таким образом, если известны размеры пластины для пай ки, то все коэффициенты ai} и Ь, легко вычисляются. Они все
имеют постоянные величины, кроме коэффициентов а а и, а24 и
й25- Эти коэффициенты зависят от координаты х. Следовательно, их можно определить только для конкретных значений х. Это го
ворит о том, что величины еох, е02>Хху, и %zvзависят от коорди
наты х и не зависят от координаты z. Поэтому величины остаточ ных напряжений будут меняться по оси X и останутся постоян ными по оси Z.
Решая систему уравнений (5.19) для конкретной величины
х, можно определил. £ох> Zxy, Xzu и Xz*> а по формулам (5.15)— на
пряжения oft), о#), <%1)Нс%2).При этом и и кв формулах (5.15) следует заменить пахну согласно (5.17). Тогда при конкретной величине х можно построить эпюры остаточных напряжений по толщине па кета пластин, используя вместо То температуру в момент начала действия адгезии, а вместо Г/ — температуру после полного ох лаждения соединяемых поверхностей.
Если коэффициенты поперечной деформации пластины и основы близки по величине /// ~Ц2, то азз = (Х34 = азз = (Z41 = а.42
= а44 = a5i = а52 = а5з = 0, и система уравнений (5.19) сущест венно упрощается.
6. ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ДЕТАЛЕЙ МАШИН
6.1. Влияние остаточных напряжений на прочность при постоянных нагрузках
В рабочих условиях на деталь действуют остаточные на пряжения и напряжения от внешних нагрузок.
Если материал работает в области упругих деформаций, то суммарные напряжения получаются сложением остаточных на пряжений и напряжений от внешних нагрузок.
Один из основных вопросов статической прочности — оп ределение разрушающего усилия. Статическому разрушению детали обычно предшествуют пластическая деформация, и прин цип сложения оказывается непригодным.
Рассмотрим определение разрушающего усилия при нали чии остаточных напряжений.
На рис. 6.1 показан типовой пример конструкции, в кото рой возникают остаточные напряжения.
Рис. 6.1. — Пример конструкции с остаточными (монтажными) напряжениями
Пусть внешняя деталь имеет первоначальный зазор, кото рый выбирается с помощью монтажной сжимающей силы, и стык заваривается. Конструкция получит остаточные напряже ния, компенсирующие первоначальную деформацию
5
А
Г
На рис. 6.2 представлена схема графического метода опре деления остаточных напряжений во внешнем стержне (для упрощения принято, что стержни выполнены из одного материа ла и имеют одинаковую площадь сечения А1= Аг = А).
Рис. 6.2. — Схема определения разрушающего усилия для пластичного материала
Кривая ОА2В2 отражает собой условия деформирования, ординаты которой умножены на величину А (зависимость уси
лия, действующего на наружный стержень N2, от деформа
ц и и ^ = / ( s)). Кривая О1А 1В1также представляет собой зави симость А, = / (е), но сдвинутую вправо на величину А . Если сложить эти кривые (при одинаковой величине деформации е), то получится кривая 0*А*В*, ординаты которой
N = N X+ N 2.
Величина А представляет собой внешнее усилие, дейст вующее на конструкцию. При внешнем усилии А = 0 точки Нхи
Н2 характеризуют первоначальное состояние конструкции.
Остаточные усилия А]ОСГ и N2QCT равны по величине, но противоположны по знаку.
Если прилагается внешнее усилие А , то проводя на рас стоянии А прямую, параллельную оси абсцисс, находим усилия А, и N2, действующие на стержни; деформация во внешнем стержне составляет при этом величину е2.
Разрушение конструкции наступит при усилии NPA3F, при котором деформация внешнего стержня
где ев — деформация, соответствующая началу разрушения
материала.
Если бы конструкция не имела остаточных напряжений, то кривая общего деформирования характеризовалась бы кривой
OAQB0, и разрушающее усилие было бы
МрАЗР > NpAip.
Для пластичных материалов, когда разрушающая деформа
ция гв значительно больше Д , можно считать
N РАЪ х N PAW |
(6.1) |
|
Величина разности |
|
|
№ |
- N = АЕ'Л |
|
JyPA3P |
JyPA3P |
|
где Е' — модуль упрочнения материала в области пластических
деформаций. Для материала, не обладающего упрочнением ( Е' = 0), приближенное равенство (6.1) становится точным. Эти
выводы, полученные в частном примере, оказываются справед ливыми для более общих случаев.
Итак, для пластичных материалов остаточные напряжения практически не влияют на величину разрушающего усилия.
Остается уточнить, какой материал следует считать пла стичным.
Из результатов, представленных на рис. 6.2, вытекает, что условие (6.1) будет выполнено, если кривая для внутреннего стержня успеет выйти на участок пластического деформирова ния. Это произойдет, если
Ь) — +Ь-
вЕ
Если предварительная деформация А не приводит к пла стической деформации, то
и тогда
8о > 3 — .
вЕ
Обычно величина А < 3%, и разрушающее усилие не зави
сит от первоначальных остаточных напряжений, если |
|
гв > 4%. |
(6-2) |
Под величиной ев в этом равенстве можно понимать вели чину деформации, соответствующую пределу прочности мате риала ав .
Следует иметь в виду, что условие (6.2) установлено для одно' осного напряженного состояния (например, растяжения, чистого из гиба или кручения стержня). При плоском и объемном н а п р я ж е н н о м
состоянии разрушение материала наступает при меньших деф°Рма" циях (вРАЗР < ев), и влияние остаточных напряжений может* ока" заться более значительным. Для того чтобы показать, что преДЫДУ' щие выводы имеют достаточно общий характер, рассмотрим растя