2713

4.30. На балке расположены 2 шкива, через которые переброшен трос, натянутый силой P так, как показано на рис. 4.30.

Построить эпюры M и Q в балке. P, b, заданы.

q = 0,7 кН/м

2

6

l

2

Рис. 4.29

6

2

b

b

b

P

Рис. 4.30

4.31.Определить нормальные напряжения в опасной точке поперечного сечения для плавающего прямого бруса, нагруженного в середине (рис. 4.31). Изменением формы бруса пренебречь.

4.32.Деревянный брус квадратного сечения 6 6 см выдерживает нагрузку 360 Н (рис. 4.32). Снизится ли несущая способность балки, если в ней просверлить отверстие диаметром d = 4 см

всечении m – n? Концентрацию напряжений не учитывать.

l/2			m		P		m n
		Р = 500 Н		d

		10 см	n
l = 10 м	20 см	50 см	50 см

Рис. 4.31

Рис. 4.32

4.33.Двутавр изгибается в вертикальной плоскости (рис. 4.33). Определить доли изгибающего момента и поперечной силы, воспринимаемые материалом стенки и полок двутавра.

4.34.Балка склеена из двух треугольных призм (рис. 4.34). Определить касательные напряжения в плоскости склейки на уровне нейтрального слоя.

4.35.Балка заданного сечения подвергается изгибу в двух вариантах: в плоскости вертикальной оси симметрии и в плоскости наклонной оси симметрии (рис. 4.35). Определить отношение максимальных нормальных напряжений в этих вариантах.

41

4t

t 4t t

Рис. 4.33

t

b

h

Нейтральный

слой

Рис. 4.34

a	a	a
		a
		a

a

Рис. 4.35

4.36.На каком расстоянии х следует установить правую опору, чтобы прочность балки по нормальным напряжениям была наибольшей (рис. 4.36)?

4.37.Консольная балка прямоугольного сечения площадью А изгибается силой, приложенной на ее свободном конце (рис. 4.37). Указать, как с помощью тензометра, наклеенного на балку, определить модуль сдвига материала балки.

l/4		P			x		P	P
									l
		l
Рис. 4.36									Рис. 4.37

4.38. Определить размеры h и а таврового сечения балки из

условия ее равнопрочности по , если Rсж = 90 МПа, Rраст = 30 МПа (рис. 4.38). Балка испытывает чистый изгиб (М = 0,18 МН м).

4.39. Вывести приближенные формулы для и при изгибе двутавровой балки, если расстояние между центрами тяжести поясов площадью А1 и А2, а также высота стенки толщиной t приняты равными h (рис. 4.39). При вычислении статического момента и момента инерции не принимать во внимание сечение стенки, а сечения поясов считать сосредоточенными в их центрах тяжести. Считать, что М воспринимается только поясами, а Q – только стенкой.

9a

2a

a

h

Рис. 4.38

A1

h

t

A2

Рис. 4.39

42

4.40. В точке нейтрального слоя балки прямоугольного поперечного сечения замерена линейная деформация в направлении

линии ab: ab 0,5 10 4 (рис. 4.40). Определить модуль упругости

материала балки, если площадь поперечного сечения А = 10 см2, а сила Р = 20 кН.

4.41. Две лежащие одна на другой доски несут равномерно распределенную нагрузку (рис. 4.41). Показать, что наибольшие нормальные напряжения будут пропорциональны толщинам досок, если трением между досками пренебречь.

l/2 P l/2

b

45O

1

2

h

a

h

Рис. 4.40

Рис. 4.41

4.42. Найти максимальное напряжение в стальной ленте толщиной 2h = 1 мм и длиной 2R h , огибающей цилиндр радиу-

са R = 1 м, если Е = 2 105 МПа (рис. 4.42).

4.43. Определить max в опорном поперечном сечении, если материал имеет разные модули упругости на растяжение и сжа-

тие (рис. 4.43). Дано: Р = 20 кН, l = 1 м, Ераст = 104 МПа, Есж = = 2 105 МПа, b = 12 см, h = 20 cм.

2h

P

(2R + h)

b

2h

h

R

l

Рис. 4.42

Рис. 4.43

4.44. При нагружении балки (рис. 4.44) с помощью тензомет-

ра определена деформация . Вычислить величину момента m, если упругие характеристики материала известны.

43

4.45. Балка с поперечным сечением, показанным на рис. 4.45, изгибается в вертикальной плоскости. Какова должна быть толщина t, чтобы напряжения в верхних и нижних волокнах балки относились как 3 : 1?

m b

h

45O

l

Рис. 4.44

t

t

8 см

t

20 cм

Рис. 4.45

4.46. Круглый стержень диаметром d проталкивается по криволинейному каналу радиуса r, сделанному в абсолютно жестком теле (рис. 4.46). Каков должен быть rmin, чтобы в стержне не воз-

никали напряжения более чем max? Трением пренебречь. Модуль упругости стержня Е задан.

4.47. Стальная балка сечением 6 10 см выдерживает нагрузку Р = 10 кН. На расстоянии 2,05 м от левой опоры требуется на нейтральной оси просверлить круглое отверстие (рис. 4.47). Определить наибольший диаметр отверстия, при котором грузоподъемность балки не меняется. Концентрацию напряжений не учитывать.

r

2,05 м

m

d

4 м n

Рис. 4.46

Р

см

10

4 м

Рис. 4.47

m n

d 6 cм

4.48. Призматическая балка с сечением в форме трапеции подвергается изгибу, вызывающему сжатие в верхней части. Вычислить соотношение b1 / b2 , при котором вес балки минимален,

если Rðàñò / Rñæ (рис. 4.48).

44

4.49. Стальная балка круглого сплошного сечения диаметром d = 100 мм (рис. 4.49) выдерживает нагрузку Р = 5 кН. Со стороны свободного конца в балке делается отверстие диаметром d0 = 84 мм. Определить наибольшую длину а ослабленной части, при которой грузоподъемность балки не изменяется.

b1
		Р
h	z
	d	0
		d
		a
b2		l = 2 м

Рис. 4.48	Рис. 4.49
4.50. Балка имеет поперечное	сечение в форме ромба

(рис. 4.50). Используя в первом приближении формулу Д.И. Журавского, установить распределение касательных напряжений по

высоте сечения и вычислить max.

4.51. Каково соотношение между наибольшими нормальными напряжениями в балках 1 и 2 (рис. 4.51)? Уравнения изогнутых осей v(x) одинаковы.

b

v(x)

h

x

b

a

b

a

1

2

Рис. 4.50

Рис. 4.51

4.52. Определить наибольшие нормальные напряжения, возникающие в балке, поперечное сечение которой – равносторонний треугольник (рис. 4.52). Сила Р приложена параллельно одной из сторон треугольника в его центре тяжести.

45

4.53. Консоль прямоугольного поперечного сечения нагружена на конце силой Р (рис. 4.53). Определить нормальное и касательное напряжения в точке К вертикального сечения, составляющего с поперечным сечением угол .

l

			P
	K		h
	b
		a	b
P	P

Рис. 4.52

Рис. 4.53

4.54.Наибольшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки, нагруженной силой Р, на 25 выше расчетного сопротивления. Чтобы снять перенапряжение, устанавливается вспомогательная балочка. Найти ее минимальную необходимую длину а, считая величину l заданной (рис. 4.54).

4.55.К деревянному брусу сечением 10 18 см2 снизу прикреплена стальная полоса 10 0,4 см2 (рис. 4.55). Определить наибольшие нормальные напряжения в брусе и полосе, если

q = 4,8 кН/м, Ест = 20Едер.

P

q

a/2

P a/2

l/2	l/2
Рис. 4.54

l = 4 м

Рис. 4.55

10 cм

18 cм 0,4 cм

4.56. Деревянная балка из трех досок сечением 40 80 мм2 для повышения несущей способности усиливается стальным листом толщиной 1 мм (рис. 4.56). Оценить повышение грузоподъемности

балки за счет усиления, если Rст = 200 МПа, Rдер = 10 МПа,

Ест = 20Едер.

46

4.57. Составная консоль склеена из двух стержней размерами b = 6 см, h = 5 см каждый (рис. 4.57). Определить допускаемую нагрузку Р, если R = 200 МПа, расчетное сопротивление клея на

срез Rñðê 5 МПа.

40	40	80	40	40		b
						P
						h
				40	l = 1 м	h

Рис. 4.56

Рис. 4.57

4.58.Резиновый брус прямоугольного сечения 10 15 см2 плотно помещен в стальную обойму толщиной 2 мм (рис. 4.58). Пользуясь гипотезой плоских сечений, определить значение изгибающего момента, разрушающего обойму, если предел прочности материала обоймы 500 МПа.

4.59.Тонкая нерастяжимая лента, выдерживающая при испытаниях на разрыв усилие Р, наклеена на верхнюю поверхность бруса прямоугольного сечения, сделанного из резины (рис. 4.59). Определить на основе гипотезы плоских сечений, при каком значении моментов, изгибающих конструкцию, произойдет разрыв ленты. Считать, что толщина ленты мала по сравнению с h.

m		m

Рис. 4.58

M	M
h
b
Рис. 4.59

4.60.Составной стержень круглого поперечного сечения изгибается моментами m (рис. 4.60). Проскальзывания сердечника в трубчатой части стержня не происходит. Построить эпюру нор-

мальных напряжений по высоте сечения при Е1 = 8Е2. Определить угол взаимного поворота концевых сечений.

4.61.Найти распределение нормальных напряжений по сечению балки, состоящей из двух разных материалов (рис. 4.61). Из-

47

гиб происходит в вертикальной плоскости. Для сечения в целом считать применимой гипотезу плоских сечений.

m	m	D = 2d
			1
				E1	= 3E2
					h
	2			E2	h
		d
	l
					b
	Рис. 4.60				Рис. 4.61

4.62. Определить наибольшее нормальное напряжение в бал-

	ке прямоугольного сечения, модуль упругости материала которой
	изменяется по высоте балки по закону Å		Å	1 2	ó	/ h

(рис. 4.62).

4.63. Модуль упругости материала балки двутаврового поперечного сечения изменяется по указанному на рис. 4.63 закону. Какой наибольший изгибающий момент может выдержать такая балка по условию прочности при чистом изгибе в плоскости наибольшей жесткости? Расчетное сопротивление Rу задано.

		b
y	E'	h
	Рис. 4.62

у			Эпюра Е у()
			4Е
	t
4t	x		Е
		t	4Е
4t

Рис. 4.63

4.64. Деревянный брус, имеющий сечение в виде равностороннего треугольника со стороной 20 см, обит стальным листом

толщиной = 0,1 см (рис. 4.64). Учитывая гипотезу плоских сечений, определить, какой изгибающий момент выдержит брус,

если Rст = 210 МПа, Rдер = 14 МПа, Ест = 20Едер.

4.65. Деревянный брус переменного сечения удерживает груз Р на плаву (рис. 4.65). Определить max в среднем сечении

48

балки. Как изменится это напряжение при замене данной балки брусом постоянного сечения с шириной b, обладающим той же плавучестью?

	l/2 P	l/2
см			b
0,1		h	h
20 см	Квадратная
	парабола
Рис. 4.64		Рис. 4.65

4.66. Балка-консоль прямоугольного поперечного сечения нагружена на конце силой Р. Ширина балки постоянна и равна b, а высота меняется по линейному закону от h1 до h2 3h1

(рис. 4.66). Установить положение опасного (по ) сечения и

определить величину max.

4.67. Балка-консоль, загруженная силой на свободном конце, имеет форму усеченного кругового конуса с диаметрами оснований d1 и d2 (рис. 4.67). При каких соотношениях d1 / d2 наиболь-

шее нормальное напряжение возникнет в заделке?

h1

Р

d1

Р

h

d

2

2

l

l

Рис. 4.66

Рис. 4.67

4.68. По верхней и нижней поверхностям консольной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.68) действует касательная нагрузка интенсивностью q(x), распределенная вдоль

балки по линейному закону, а по ширине равномерно. Установить характер изменения касательных напряжений в произвольном сечении.

4.69. Для консольной балки вывести формулу для определения касательных напряжений, действующих в поперечном сечении, и построить их эпюру (рис. 4.69).

49

	q
	q(x)	y
				q
h	x		x	x
			h
			b
				b
	Рис. 4.68			Рис. 4.69

4.70.Вывести формулу для касательных напряжений, возникающих в прямоугольном поперечном сечении балки, и построить их эпюру (рис. 4.70).

4.71.Записать выражения для напряжений х и у в произвольной точке балки (рис. 4.71).

q

		q
	h	h
	b	b
		l

Рис. 4.70

Рис. 4.71

4.72.Две стальные балки сечения b b свободно уложены друг на друга (рис. 4.72). После загружения нагрузкой q балки по длине свариваются. Как распределятся остаточные напряжения в балках после снятия нагрузки?

4.73.Стальная шарнирно опертая по концам балка имеет сечение в форме равностороннего треугольника со стороной а. Балка загружена силой Р, приложенной в среднем сечении и медленно вращающейся в плоскости этого сечения (рис. 4.73). Определить необходимый размер а, если R = 200 МПа, Р = 30 кН, l = 2 м.

q

b

b

b

(t) P

l

a

Рис. 4.72

Рис. 4.73

50