m0936
.pdf
|
|
|
dv |
dvx |
dvy |
dvz |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w r |
t |
|
|
|
i |
|
j |
|
k x t i y t j z t k. |
||||
|
|
|
dt |
dt |
dt |
dt |
|
|
|
Пример 1. Определить траекторию, скорость и ускорение точки, заданной переменным радиус-вектором r 4ti 3tj .
Решение. Годограф радиус-вектора можно рассматривать как траекторию точки, совпадающей с концом этого вектора r x t i y t j 4ti 3t j . В
параметрической форме уравнение траектории имеет вид:
x 4t, |
Исключив параметр t, |
|
|
y 3t. |
|
получим уравнение траектории в прямоугольных координатах
y 3 x. Таким образом, траек- 4
торией точки является прямая
Рис. 11.7. Траектория точки линия (рис. 11.7). Скорость точки
v r t x t i y t j 4i
|
|
vx |
|
|
4 |
|
||
cos v,i |
|
|
|
, |
||||
|
v |
|
|
|||||
Ускорение точки |
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
dv |
|
|
d |
|||
|
|
|
|
|
||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
3j, v 42 3 2 5,
|
|
|
|
vy |
3 |
|
|
cos v, |
j |
|
|
|
|
. |
|
v |
|
||||||
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
3j |
0. |
|
|
|
Движение точки – равномерное по прямой линии. Пример 2. Уравнение движения точки имеет вид:
r 3ti 4t t2 j. Определить траекторию и скорость движения точки. Построить траекторию и векторы скорости в моменты времени 0, 1, 2, 3 с.
Решение. Уравнения годографа радиус-вектора точки в параметрической форме имеют вид:
x 3t,
y 4t t2.
191
Исключая параметр t, получаем уравнение траектории точки
в прямоугольных координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
|
||
y |
|
x |
|
, |
|
|
|
(11.11) |
|
9 |
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
которое является уравнени- |
||||||
|
|
ем параболы (рис. 11.8). |
||||||
|
|
Приводим это уравнение к |
||||||
|
|
почти каноническому виду |
||||||
|
|
методом |
|
дополнения до |
||||
|
|
полного квадрата: |
|
|||||
|
|
|
y 4 |
1 |
x 6 2. |
(11.12) |
||
Рис. 11.8. Траектория и векторы |
|
|
||||||
|
|
|
9 |
|
|
|||
скорости |
|
Из |
уравнения |
(11.12) |
||||
|
|
следует, что вершина пара- |
болы имеет координаты 6, 4 , а точки пересечения параболы с осью Ox – 0, 0 , 12, 0 .
Скорость точки
v r t 3ti 4t t2 j 3i 4 2t j vxi vy j.
Находим координаты точек, в которых должна быть опреде-
лена скорость.
При t 0 x(0) = 3·0 = 0, y(0) = 4·0 – 02 = 0, vx(0) = 3, vy(0) = 4. При t 1 x(1) = 3·1 = 3, y(1) = 4·1 – 12 = 3, vx(1) = 3, vy(1) = 2. При t 2 x(2) = 3·2 = 6, y(2) = 4·2 – 22 = 4, vx(2) = 3, vy(2) = 2. При t 3 x(3) = 3·3 = 9, y(3) = 4·3 – 32 = 3, vx(3) = 3, vy(3) = –2.
Задачи к разделу 11.4
11.4.1. Уравнение движения точки задано в виде векторфункции r 3costi 4sintj. Найти траекторию, скорость и уско-
рение точки. Показать их на чертеже при t . 4
11.4.2. Движение материальной точки задано векторфункцией r 3sinti 2cos2tj . Найти уравнение траектории и скорость материальной точки в ближайшей после начала движе-
192
ния точке пересечения траекторией оси Ox. Показать траекторию и скорость на чертеже.
11.4.3. Даны уравнения движения точки: x 2acos |
2 |
kt |
, |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
y sinkt, где a 0 |
и k 0 – постоянные. Определить траекто- |
рию движения точки.
11.4.4. Материальная точка движется так, что во все время движения ее ускорение направлено к неподвижному центру О. Показать, что траектория точки лежит в плоскости, проходящей через центр О.
11.5. Первая производная векторной функции по дуговой координате (длине дуги кривой)
Если в качестве переменного параметра использовать длину дуги s кривой L
(рис. 11.9), отсчитываемую от некоторой фиксированной точки M0 кривой, то уравне-
ние этой кривой можно пред-
ставить в |
параметрической |
форме так: |
Рис. 11.9. Дуговая координата |
x x s ,y y s ,z z s .
Тогда радиус-вектор текущей точки M будет иметь вид:
|
|
|
dr |
|
|
|
dx |
|
dy |
|
|
dz |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
|
k . |
|
|||
|
|
|
ds |
ds |
ds |
ds |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определим модуль этого вектора следующим образом: |
||||||||||||||||||||
|
dr |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
lim |
MN |
|
|
1. |
(11.13) |
|||||||||||
|
ds |
s |
|
|||||||||||||||||
|
|
s 0 |
|
M N |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MN |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из геометрического смысла векторной производной и фор- |
||||||||||||||||||||
мулы (11.13) следует, что вектор |
dr |
|
направлен по касательной в |
|||||||||||||||||
ds |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точке M в сторону увеличения дуговой координаты. |
При этом |
193
модуль вектора dr равен единице (такие векторы называются ds
ортами). Отсюда следует, что векторная производная dr опре- ds
деляет орт касательной |
|
dr |
. |
|
|
|
|||
ds |
||||
|
|
|
11.6. Кривизна кривой и ее вычисление
Кривизна линии является локальной числовой характеристикой, описывающей в количественной форме отклонение дуги кривой линии от прямой в окрестности рассматриваемой точки на кривой.
В аналитической форме кривизной называется предел отно-
шения угла поворота касательной |
к длине дуги |
|
|||||||||||
MN s |
|||||||||||||
(рис. 11.10): |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
. |
|
||
K lim |
|
|
|
|
(11.14) |
||||||||
s |
ds |
||||||||||||
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.10. Средняя кривизна
194
Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом
кривизны R 1 . Радиус кривизны – это радиус окружности (кру-
K
га кривизны), которая наиболее плотно прилегает к кривой в окрестности точки касания M с точностью до бесконечно малых второго по-
рядка (рис. 11.11).
Если кривая задана явным уравнением y f x в декартовых координатах, то кривизна определится по формуле
y
K 3 . (11.15)
1 y 2 2
Вывод формулы для расчета кривизны очень нагляден и поучителен в процессе освоения приложений дифференциального исчисления. Поэтому приведем этот вывод в качестве дополнения.
d
K d d dx dx . ds dsdxds
dx
Из геометрического смысла производной следует: dy tg
|
dy |
|
|
d |
|
|
1 |
|
dx |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arctg |
|
. |
Тогда |
|
arctgy |
|
|
y |
|
|
. |
|
dx |
dx |
1 y 2 |
1 y 2 |
|||||||||
В производную |
ds |
входит дифференциал дуги |
ds, который по |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
определению дифференциала функции является линейной частью приращения дуговой координаты s.
195
Рис. 11.13. Круг кривизны параболы при х = 0 и х = 4 (показана часть круга)
Пример 2. Определить радиус кривизны в вершинах кривой x2 4y2 4.
Решение. Кривая является эллипсом, уравнение которого в
канонической форме имеет вид: x2 y2 1; полуоси эллипса рав- 4 1
ны: a 2, b 1.
3
Радиус кривизны R 1 y 2 2 . y
Дифференцируем уравнение кривой как неявную функцию: 2x 2yy 0 y x ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
4y 4xy |
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
4y |
|
|
|||||||||||
|
16y2 |
|
|
|
|
4y2 |
|
|
|
|
|
4y3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
3y2 13. |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
197