472
.pdfРешение. |
В нашем примере a 2, b 3. Подставляя указанные значения |
||||
в уравнение |
прямой в отрезках, получаем |
x |
|
y |
1. Преобразовывая |
2 |
|
||||
|
|
3 |
|
уравнение, получаем 3x 2y 6 0.
§1.9. Взаимное расположение прямых на плоскости
Угл. коэффициент. Взаимное расположение прямых на плоскости
Прямые на плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными и не
перпендикулярными. Рассмотрим три случая положения прямых. |
|
|||||||||
|
|
I. Параллельные прямые. |
|
|
||||||
|
|
1 . Пусть |
прямые |
l1 и |
l2 заданы каноническими |
уравнениями |
||||
|
x x1 |
|
y y1 |
и |
|
x x2 |
|
y y2 |
соответственно. Найдем |
условия их |
|
p1 |
|
|
|
||||||
|
|
p2 |
|
s1 |
s2 |
|
|
параллельности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то можно определить координаты направляющих векторов
p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.
l1 |
l2 |
|
p
s
l
Векторы p и s коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.
p1 p2 . s1 s2
Полученное равенство является условием параллельности прямых, заданных каноническими уравнениями.
2. Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями A1x B1y C1 0 и A2x B2 y C2 0 соответственно. Найдем условия их параллельности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно
определить координаты нормальных векторов |
|
A1;B1 |
и |
|
A2;B2 |
N1 |
N2 |
||||
соответственно. |
|
|
|
21
|
|
l1 |
l2 |
|
N |
1 |
|||
|
||||
|
|
|
N2
Векторы N1 и N2 коллинеарны , следовательно, их координаты
пропорциональны, т.е.
A1 B1 .
A2 B2
Полученное равенство является условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями.
3. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями через угловой коэффициент
y k1x b1 |
и y k2x b2 соответственно. Найдем условия их параллельности. |
Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .
y |
l1 |
l2 |
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
|
2 |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Поскольку прямые параллельны, то углы 1 |
и 2 равны, следовательно |
|||||||||||
tg 1 tg 2, т.е. k1 |
k2 . Равенство угловых коэффициентов является условием |
|||||||||||||
параллельности прямых. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
II. Перпендикулярные прямые. |
|
x x1 |
|
y y1 |
|
|||||||
1 . Пусть прямые l |
и l |
2 |
заданы каноническими уравнениями |
|
и |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p1 |
|
p2 |
||||
|
x x2 |
|
y y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
соответственно. Найдем условия их перпендикулярности. |
||||||||||||
|
s |
|
||||||||||||
|
|
s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то
22
можно определить координаты направляющих векторов p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.
l2
l1
s
p
Векторы p и s перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно 0, т.е.
p1 s1 p2 s2 0.
Полученное равенство является условием перпендикулярности прямых, заданных каноническими уравнениями.
2. Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями A1x B1y C1 0 и A2x B2 y C2 0 соответственно. Найдем условия их перпендикулярности.
Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно определить координаты нормальных векторов N1 A1;B1 и N2 A2;B2 соответственно.
l2
l1
N1
N2
Векторы N1 и N2 перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. A1 A2 B1 B2 0.
Полученное равенство является условием перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.
23
3. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями через угловой коэффициент
y k1x b1 |
и |
y k2x b2 |
соответственно. |
Найдем |
условия |
их |
перпендикулярности. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .
y |
l1 |
|
l2 |
2 |
x |
1 |
|
O |
|
|
|
|
Угол |
1 |
равен сумме |
угла |
|
2 |
и |
90 , т.е. |
2 |
|
90 , следовательно, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
tg 2 |
tg 1 90 . |
Применяя |
формулы приведения, получим tg 2 |
ctg 1 или |
||||||||||||||||||||||||
tg 2 |
|
1 |
. |
|
Переходя |
к |
|
угловым |
коэффициентам, |
получаем условие |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярности прямых |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
или |
k |
k |
2 |
1. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III. Прямые пересекаются под углом, отличным от прямого. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
. Пусть |
прямые |
|
l1 |
|
и |
|
l2 |
заданы |
|
каноническими |
уравнениями |
|||||||||||||
|
x x1 |
|
y y1 |
|
и |
x x2 |
|
y y2 |
|
соответственно, |
пересекаются под некоторым |
|||||||||||||||||
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
s1 |
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углом . Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы каноническими уравнениями, то можно определить координаты направляющих
векторов p p1; p2 и s s1;s2 соответственно.
l2
s
p
l1
24
Векторы |
p |
и |
s |
параллельны прямым |
l1 и l2 соответственно, |
следовательно, угол между прямыми равен углу между векторами. Этот угол можно найти из скалярного произведения векторов:
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
p1 s1 p2 s2 |
. |
|
|
|
p |
s |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
s |
|
|
|
p12 p22 s12 s22 |
|
|||||
2. Пусть прямые l1 и l2 заданые общими уравнениями A1x B1y C1 0 и |
||||||||||||||||
A2x B2 y C2 |
0 соответственно, пересекаются под некоторым углом |
. |
Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы общими уравнениями, то можно определить координаты нормальных векторов
N1 A1;B1 и N2 A2;B2 соответственно.
l2
N2
N1 |
|
l1 |
Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами. Этот угол можно определить, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
arccos |
|
|
N1 |
|
N2 |
|
|
arccos |
A1 A2 |
B1 B2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N1 |
|
|
N2 |
|
|
A2 |
B2 |
|
A2 B2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3. Пусть прямые l1 |
и l2, заданные уравнениями через угловой |
|||||||||||||||
коэффициент y k1x b1 |
и |
y k2x b2 |
соответственно, |
пересекаются под |
некоторым углом . Найдем этот угол. Сделаем рисунок. Поскольку прямые заданы уравнениями через угловой коэффициент, то можно определить углы наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс 1 и 2 .
25
y |
l1 |
l2
|
2 |
|
1 |
x |
|
|
|
O
Угол 2 равен сумме углов 1 |
и , т.е. |
2 |
1 |
или 2 1. |
||||||||||||||
Перейдем в последнем равенстве к тангенсам tg tg |
2 |
|
|
|
tg 2 |
tg 1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
tg |
2 |
tg |
|||
Переходя к угловым коэффициентам, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tg |
k2 k1 |
или |
arctg |
|
|
k2 |
k1 |
|
.(*) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 k2 k1 |
|
1 |
k |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку |
A( 3;1) и |
|||||||||||||||||
составляющей угол в 45 |
с прямой 3x 2y 4 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В подобных задачах лучше использовать уравнение прямой через угловой коэффициент. Поэтому приведем уравнение данной прямой к нужному виду:
3x 2y 4 0 |
|
y 1,5x 2. Угловой коэффициент k исходной прямой равен |
1,5.
Существуют две прямые, удовлетворяющие условию задачи:
l2 |
y |
y 1,5x 2 |
|
45 l1
A
x
O 45
26
Запишем уравнение прямой l1 . Обозначим ее угловой коэффициент через k1 и воспользуемся формулой (*) угла между прямыми:
tg45 |
1,5 k1 |
|
1 |
1,5 k1 |
1 1,5k1 1,5 k1 |
|
2,5k1 0,5 |
|
k1 0,2 . |
|
1 1,5k1 |
1 1,5k1 |
|||||||||
|
|
|
|
принимает |
вид |
y 0,2x b . |
||||
Таким |
образом, уравнение прямой l1 |
Поскольку точка A лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в последнее равенство координаты точки A , найдем значение b :
1 0,2 3 b b 1,6.
Получаем уравнение прямой l1 : y 0,2x 1,6.
Запишем уравнение прямой l2 . Обозначим ее угловой коэффициент через k2 и воспользуемся формулой (*) угла между прямыми:
tg45 |
k2 1,5 |
|
1 |
k2 |
1,5 |
1 1,5k2 k2 |
1,5 |
|
0,5k2 2,5 |
|
k2 5 . |
|
1 1,5k2 |
1 1,5k2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
принимает вид |
y 5x b . |
||||||
Таким |
образом, |
уравнение прямой |
l2 |
Поскольку точка A лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в последнее равенство координаты точки A , найдем значение b :
1 5 3 b |
b 14. |
Получаем уравнение прямой l2 : y 5x 14.
§1.10. Уравнение линии в полярной системе координат
Полярная система координат задается полярной осью, началом координат и единичным отрезком.
Координаты точки определяются расстоянием от точки до начала координат и углом наклона радиус-вектора (ссылка) точки к положительному направлению полярной оси .
|
M , |
|
|
|
|
O |
|
Линия в полярной системе координат задается зависимостью . Для построения лини составляется таблица значений , соответствующих выбранным значениям , полученные точки наносятся на плоскость с полярной системой координат и соединяются плавной линией.
27
Связь между координатами |
точки |
в полярной |
|
M ( , ) и декартовой |
||||||
M x, y системах координат определяют формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
; |
||
x cos ; |
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y sin |
|
|
tg |
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры построения линий в полярной системе координат.
1) 5 – окружность радиуса 5, с центром в начале координат.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
… |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
O |
5 |
|
2) 2cos – окружность радиуса 1 с центром в точке |
0;1 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
7 |
|
2 |
||
|
|
|
4 |
2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
0 |
- 2 |
-2 |
- 2 |
|
0 |
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
O |
1 |
2 |
|
2
28
|
|
a |
|
|
a |
|
||
3) |
a sin – окружность радиуса |
|
с центром в точке |
|
; |
|
. |
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
a
2
O
4) 2sin5 - пятилепестковая роза
2
9 10
O
7 10
10
3 10
29
Задачи к главе 1.
1.1.Решить задачи.
1.1.1.Записать уравнение прямой, проходящей через точки A( 2;1) и B(3;7).
1.1.2.Записать уравнение прямой, проходящей через точку F( 3;4) параллельно вектору b 7;12 .
1.1.3.Записать уравнение прямой, проходящей через точку T (2; 1) перпендикулярно к вектору c 5;9 .
1.1.4.Записать уравнение прямой, проходящей через точку C(3; 2) параллельно прямой 7x y 13 0.
1.1.5.Записать уравнение прямой , проходящей через точку C 2;1 перпендикулярно к прямой 4x 2y 8 0.
1.1.6.Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(1;3)
перпендикулярно к прямой |
|
x 5 |
|
|
y 7 |
. |
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
1.1.7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 4;5) |
||||||||||||||
|
x 2 |
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
параллельно прямой |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
7 |
|
|
|
x 7 |
|
y 5 |
|
|||||
1.1.8. Найти точку пересечения прямых 2x 7y 17 0 и |
|
. |
||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1.1.9. Привести уравнение прямой 7x 5y 12 0 к нормальному виду.
1.1.10. Привести уравнение прямой |
x 6 |
|
y 8 |
к нормальному виду. |
||||
|
4 |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||
1.1.11. Найти расстояние от точки P 3;1 |
до прямой 6x 8y 7 0. |
|||||||
1.1.12. Найти расстояние от точки F( 1;5) |
до прямой |
x 2 |
|
y 3 |
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
8 |
6 |
|
1.1.13.Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 3;3) параллельно прямой 5x 7y 2 0.
1.1.14.Записать уравнение прямой, проходящей через точку B( 2;4)
перпендикулярно к прямой |
x 7 |
|
y |
. |
2 |
|
|||
|
|
3 |
1.1.15. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( 4;5) и
составляющей с осью абсцисс угол в 45 .
1.1.16. Записать уравнение прямой, проходящей через точку Т(1;3) и
составляющей с осью абсцисс угол в 60 .
1.1.17. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(2;1) и
составляющей угол в 45 с прямой 3x y 2 0.
1.1.18. Записать уравнение прямой, проходящей через точку C(3; 2) и
составляющей с прямой 3x 2y 4 0 угол в 45 .
1.1.19. Записать уравнение прямой, проходящей через точку Е( 2;3) параллельно прямой 7x 5y 9 0.
30