540
.pdfТаблица 6.3
Выводимые программой Microsoft Excel результаты уточненных расчетов коэффициентов регрессии, регрессионной статистики и дисперсионного анализа
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Множественный R |
|
|
|
0,995075 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R-квадрат |
|
|
|
0,990174 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Нормированный |
0,986243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
R-квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Стандартная ошибка |
0,002837 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
211 |
Наблюдения |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
df |
SS |
MS |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
Значимость F |
|
||||||
|
Регрессия |
2 |
|
0,004057 |
0,002028 |
|
251,9223 |
|
|
9,57E-06 |
|
|
|
||||||||||||||
|
Остаток |
5 |
|
4,03E-05 |
8,05E-06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Итого |
7 |
|
0,004097 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Коэффи- |
|
Стандарт- |
t-ста- |
|
|
P-зна- |
|
|
Нижние |
Верхние |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
циенты |
|
|
ная ошибка |
тистика |
|
|
|
чение |
|
|
95 % |
|
95 % |
||||||||
|
Y-пересечение |
|
|
–1,07012 |
|
|
|
0,108296 |
–9,8814 |
|
|
|
0,000181 |
|
|
|
|
–1,3485 |
–0,79173 |
||||||||
|
Т |
0,005486 |
|
0,000293 |
18,70805 |
|
8,03E-06 |
0,004732 |
0,00624 |
||||||||||||||||||
|
n |
|
–0,03039 |
0,009116 |
–3,33332 |
0,020704 |
|
–0,05382 |
–0,00695 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4
Величины расхождений расчетных и экспериментальных значений (остатков)
величины Х
Номер |
Расчетная (предсказанная |
Остатки |
|
наблюдения |
величина) X, доля |
||
|
|||
1 |
0,819578 |
0,000422 |
|
2 |
0,808014 |
0,001986 |
|
3 |
0,871398 |
–0,0014 |
|
4 |
0,850046 |
–4,6E-05 |
|
5 |
0,862538 |
–0,00254 |
|
6 |
0,861946 |
0,003054 |
|
7 |
0,818682 |
–0,00368 |
|
8 |
0,852797 |
0,002203 |
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
||||||
0,88 |
|
|
|
|
|
|
|
0,88 |
|
|
|
|
|
|
0,87 |
|
|
|
|
|
|
|
0,87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,86 |
|
|
|
|
|
|
|
0,86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,85 |
|
|
|
|
|
|
|
0,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,83 |
|
|
|
|
|
|
|
0,83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,82 |
|
|
|
|
|
|
|
0,82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,81 |
|
|
|
|
|
|
|
0,81 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
345 350 |
355 |
360 365 Т |
0 |
0,5 |
1 |
1,5n |
||||||||
|
|
|
XX |
ПредсказанноеX X |
|
|
|
X |
Предсказанное X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
редсказан |
X |
|
Рис. 6.6. График подбора величин |
Рис. 6.7. График подбора |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Х от Т |
|
|
|
|
|
величин Х от n |
|
|
|
коэффициента R = 0,995075, близкое к 1,0, и низкая вели- |
||||||||||||||
чина стандартной |
ошибки – |
0,002837 |
свидетельствуют |
о высокой степени совпадения вычисленных по уравнению (6.33) значений Х с экспериментальными значениями Х. Уравнение (6.33) адекватно, поскольку значимость F составляет 9,57E-06, что значительно меньше 0,05.
212
Вычисленные коэффициенты, стоящие перед аргументами Т и n, значимы, так как величины Р-значений мень-
ше 0,05.
Таким образом, уточненное уравнение регрессии имеет вид
Х = –1,07012 + 0,005486 · Т – 0,03039 · n. |
(6.33) |
Следует отметить, что уравнение регрессии (6.33) применимо только для диапазона изменения температуры Т = 349…360 °С и диапазона изменения соотношения реагентов n = 0,85…1,21. При расширении диапазона аргументов оно может стать некорректным.
Величины расхождений расчетных и экспериментальных значений (остатков) Х приведены в табл. 6.4. Из анализа данных табл. 6.4 следует, что максимальная величина остатка не превышает 0,003054, что показывает высокую степень совпадения расчетных и экспериментальных значений.
Графики подбора расчетных и экспериментальных значений Х по аргументам Т и n приведены на рис. 6.6, 6.7. Эти графики подтверждают высокую степень совпадения расчетных и экспериментальных значений.
Оптимизация процесса по найденному уравнению регрессии. Найденное уравнение регрессии может быть использовано для оптимизации величины степени превращения Х. Целью оптимизации является нахождение величин Т и n, при которых достигается максимальная степень превращения.
Из анализа полученного линейного уравнения регрессии следует, что повышение температуры процесса и снижение соотношения реагентов до минимального значения приведет к увеличению степени превращения Х. Подставляя в уравнение (6.33) максимальное значение Т = 360 °С и минимальное значение n = 0,85, вычислим максимальное значение степени превращения:
Х = –1,07012 + 0,005486 · 360 – 0,03039 · 0,85 = 0,879,
что является решением поставленной задачи.
213
7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА.
ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Любые исследования необходимо планировать, что сокращает стоимость и сроки испытаний, возможность получения ошибочных результатов. Изменения условий эксперимента, которые могут привести к ошибочным результатам, должны учитываться до проведения измерений.
Планирование эксперимента, как правило, заключается в составлении плана экспериментальных работ, в котором указываются цель, задачи, этапы исследований и решаемые при этом задачи, план (программа) проведения экспериментов (с указанием изучаемых зависимостей и влияющих параметров, числа серий экспериментов при определенных условиях и числа повторных измерений в каждой серии экспериментов), сроки проведения и возможная стоимость испытаний.
Разрабатываемый перед началом исследований план проведения экспериментов во многом зависит от квалификации исследователя, его эрудиции, выбора метода проведения эксперимента и методики измерений, аппаратуры, особенностей изучаемого объекта, используемых веществ и реагентов и т.д. Как правило, в основу плана проведения экспериментов закладывается метод проб и ошибок, т.е. эксперимент проводится при различных условиях и выполняется субъективная оценка его результатов. Обычно варьируется один из факторов, а все остальные факторы экспериментатор стремится поддерживать в это время фиксированными. Опытный исследователь может спланировать эксперимент более эффективно, чем рядовой исследователь, не знающий особенностей изучаемых объектов. Тем не менее такой подход в планировании ведет к выполнению большого числа экспериментов, высокой трудоемкости исследований. Это особенно проявляется при исследовании сложных систем, явлений, процессов, протекающих в условиях влияния большого числа случайных и постоянно действующих факторов.
214
При наличии многих влияющих факторов наиболее эффективным оказывается статистический подход к эксперименту и его планированию, предложенный Р. Фишером: исследованию подвергаются все влияющие факторы одновременно по специальному плану – составленной матрице планирования. Основной принцип полного факторного эксперимента заключается в том, что каждый уровень како- го-либо фактора в эксперименте исследователь варьирует вместе со всеми уровнями остальных факторов. Этот метод статистического планирования основан на регрессионном анализе.
Процесс математического планирования эксперимента начинается с выбора цели исследования – изучаемой функции отклика (Y) и факторов (Х), влияющих на нее. При этом должны выполняться требования отсутствия корреляции между факторами и учета всех существенных факторов, влияющих на функцию отклика. В химико-технологиче- ских процессах основными целевыми функциями обычно являются степень превращения, выход и качество основного продукта, расходные нормы по дорогостоящему сырью и энергии, длительность проведения процесса и т.д. Факторами, влияющими на целевую функцию, являются переменные (температура, давление, концентрация, соотношение компонентов в реакторе, рН реакционной среды, скорости потоков, размер частиц катализатора и т.п.), имеющие количественное выражение.
Математическая зависимость функции цели и влияющих на нее факторов называется функцией отклика и записывается в виде
Y = f(X1, X2, X3, …, Xn).
Функцию отклика Y можно выразить с помощью полинома. Так, для небольшого интервала варьирования факторов Х используют полином первой степени:
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 … + bnXn, |
(7.1) |
где n – число факторов;
b0, b1, b2, bn – постоянные коэффициенты. 215
|
|
|
Таблица 7.1 |
В полном факторном экс- |
|||||||
|
|
Пример |
|
|
перименте |
все |
факторы |
варьи- |
|||
|
|
|
|
руют на двух уровнях – верхнем |
|||||||
|
матрицы планирования |
||||||||||
полного двухфакторного |
и нижнем. План эксперимента |
||||||||||
|
|
эксперимента |
выражают в виде матрицы пла- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нирования, в которой приводят |
||||
|
N |
Факторы |
|
неповторяющиеся |
комбинации |
||||||
|
Т, °С |
|
C, % |
|
факторов, |
имеющих значения |
|||||
|
1 |
50 |
|
|
10 |
|
верхнего и нижнего уровня. Так, |
||||
|
2 |
70 |
|
|
10 |
|
для функции цели, зависящей от |
||||
|
3 |
50 |
|
|
30 |
|
двух факторов: |
температуры |
|||
|
4 |
70 |
|
|
30 |
|
и концентрации вещества, изме- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
няющихся |
в интервале |
Т = |
||
|
|
|
|
|
|
|
= 50…70 °С и С = 10…30 %, |
||||
|
|
|
Таблица 7.2 |
матрица |
планирования |
имеет |
|||||
|
|
Пример |
|
|
вид табл. 7.1. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Количество серий опытов N |
|||||||
|
матрицы планирования |
||||||||||
|
при полном факторном экспери- |
||||||||||
полного трехфакторного |
|||||||||||
|
|
эксперимента |
менте вычисляют по формуле |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 2n. |
(7.2) |
||
|
N |
Факторы |
|
|
|||||||
|
Для |
полного |
факторного |
||||||||
|
Т, °С |
C, % |
m |
|
|||||||
|
1 |
50 |
10 |
0,5 |
|
эксперимента, в котором функ- |
|||||
2 |
70 |
10 |
0,5 |
|
ция цели зависит от трех факто- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ров, общее число серий экспе- |
|||||
3 |
50 |
30 |
0,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
риментов N = 23 = 8. Пример |
|||||
4 |
70 |
30 |
0,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
матрицы планирования полного |
|||||
5 |
50 |
10 |
1,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
трехфакторного |
эксперимента, |
||||
6 |
70 |
10 |
1,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
в котором функция отклика за- |
|||||
7 |
50 |
30 |
1,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
висит от температуры Т, концен- |
|||||
8 |
70 |
30 |
1,5 |
|
трации С и соотношения реагентов m, приведен в табл. 7.2.
Анализ данных табл. 7.1 показывает, что в матрице планирования эксперимента частота смены значения параметра при переходе в каждый последующий столбец слева направо снижается в 2 раза.
216
Для получения функции отклика в виде уравнения (7.1) факторы из натуральных величин пересчитывают в кодированные значения ±1. Для этого натуральные значения уровней факторов заменяют безразмерными значениями Х. Безразмерные переменные Xi получаются из натуральных значений хi путем кодирования следующим образом. Один из двух уровней с меньшим натуральным значением (нижний уровень) при таком кодировании полагается равным –1, а уровень с большим значением (верхний уровень) – равным +1. Такое кодирование проводят путем преобразования:
|
|
|
Xi = (õi − X |
i )/ ∆xi , |
(7.3) |
|
где хi – натуральное значение i-гo фактора; |
|
|||||
|
|
i – среднее натуральное значение i-гo фактора, |
|
|||
X |
|
|||||
|
|
|
|
i =(xi(−) + xi(+) )/ 2, |
(7.4) |
|
|
|
X |
индексы (–) и (+) означают натуральные значения фактора на нижнем и верхнем уровне, соответственно;
∆xi – интервал варьирования, |
|
∆xi = X i − xi(−) = xi(+) − X i . |
(7.5) |
Таким образом, согласно (7.3) значение независимой переменной Хi есть не что иное, как выраженное в единицах интервала варьирования значение отклонения фактора от среднего.
Поясним кодирование факторов следующим примером. Пусть одним из факторов служит температура процесса. Если нижний уровень соответствует температуре
t(–) = 50 °С, а верхний уровень температуры t(+) = 70 °С, то среднее значение t = 60 °С. Верхний и нижний уровни тем-
пературы
X (+) = 7010−60 = +1,
217
X (−) = 5010−60 = −1.
Из этих выражений следует, что температура t = 70 °С соответствует Х(+) = +1, a температура t = 50 °С – значению Х(–) = –1. Матрица планирования трехфакторного эксперимента с натуральными и кодированными факторами приведена в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Пример матрицы планирования полного трехфакторного эксперимента с кодированными факторами
N |
|
Факторы |
|
Кодированные факторы |
||
Т, °С |
С, % |
m |
X1 |
Х2 |
Х3 |
|
1 |
50 |
10 |
0,5 |
–1 |
–1 |
–1 |
2 |
70 |
10 |
0,5 |
+1 |
–1 |
–1 |
3 |
50 |
30 |
0,5 |
–1 |
+1 |
–1 |
4 |
70 |
30 |
0,5 |
+1 |
+1 |
–1 |
5 |
50 |
10 |
1,5 |
–1 |
–1 |
+1 |
6 |
70 |
10 |
1,5 |
+1 |
–1 |
+1 |
7 |
50 |
30 |
1,5 |
–1 |
+1 |
+1 |
8 |
70 |
30 |
1,5 |
+1 |
+1 |
+1 |
Планировать можно эксперименты, в которых опыты воспроизводимы. Проверку воспроизводимости проводят по всем N сериям параллельных опытов. Рекомендуется не стремиться к увеличению числа параллельных измерений, если систематическая погрешность измерений значительно превышает случайную погрешность. При этом для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднеарифметическое значение параметра Yjср:
|
1 |
k |
|
Yjср = |
|
∑ y ji , |
(7.6) |
|
|||
|
k i =1 |
|
где k – число параллельных опытов, обычно k = 2, 3, 4; j – номер серии опытов, j = 1, 2, …, N.
Далее вычисляют оценку дисперсии для каждой серии опытов:
218
|
1 |
k |
(y ji −Y j ñð )2 . |
|
|
Si2 = |
∑ |
(7.7) |
|||
|
|||||
|
k −1i =1 |
|
|
Для проверки воспроизводимости опытов находят расчетное значение критерия Кохрена Gp:
|
max S |
2 |
|
|
Gp = |
|
j |
, |
(7.8) |
N |
|
|||
|
∑ S 2j |
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
где max S 2j – максимальное значение дисперсии S 2j в N се-
риях опытов.
Величина расчетного значения критерия Кохрена Gp не должна превышать табличное значение критерия Кохрена Gт, определяемое по табл. 7.4. Для нахождения Gт необходимо знать величину N и число степеней свободы f = (k – 1) при доверительной вероятности Р = 0,95.
Таблица 7.4
Значения критерия Кохрена Gт,
взависимости от количества серий опытов N
ичисла степеней свободы f = (k – 1) при доверительной вероятности Р = 0,95
N |
|
|
|
f = (k – 1) |
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
|||||||||
2 |
0,999 |
0,975 |
0,939 |
0,906 |
0,877 |
0,853 |
0,833 |
0,816 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,967 |
0,871 |
0,798 |
0,746 |
0,707 |
0,677 |
0,653 |
0,633 |
|
4 |
0,907 |
0,768 |
0,684 |
0,629 |
0,590 |
0,560 |
0,537 |
0,518 |
|
5 |
0,841 |
0,684 |
0,598 |
0,544 |
0,507 |
0,478 |
0,456 |
0,439 |
|
6 |
0,781 |
0,616 |
0,532 |
0,480 |
0,445 |
0,418 |
0,398 |
0,382 |
|
7 |
0,727 |
0,561 |
0,480 |
0,431 |
0,397 |
0,373 |
0,354 |
0,338 |
|
8 |
0,680 |
0,516 |
0,438 |
0,391 |
0,360 |
0,336 |
0,319 |
0,304 |
|
9 |
0,639 |
0,478 |
0,403 |
0,358 |
0,329 |
0,307 |
0,290 |
0,277 |
|
10 |
0,602 |
0,445 |
0,373 |
0,331 |
0,303 |
0,282 |
0,267 |
0,254 |
|
12 |
0,541 |
0,392 |
0,326 |
0,288 |
0,262 |
0,244 |
0,230 |
0,219 |
|
15 |
0,471 |
0,335 |
0,276 |
0,242 |
0,220 |
0,203 |
0,191 |
0,182 |
|
20 |
0,389 |
0,271 |
0,221 |
0,192 |
0,174 |
0,160 |
0,150 |
0,142 |
|
|
|
|
|
219 |
|
|
|
|
Опыты воспроизводимы, если выполняется условие
Gp < Gт. |
(7.9) |
Если опыты невоспроизводимы, то необходимо выявить и устранить источники нестабильности эксперимента или использовать более точные методики и средства измерения. В случае воспроизводимости эксперимента вычисляют коэффициенты уравнения функции отклика:
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + … + bnXn.
Для этого используют формулы:
|
|
1 N |
||
b0 = |
|
|
∑ Y j ñð , |
|
|
|
|||
|
|
N j =1 |
||
|
1 |
|
N |
|
bi = |
|
|
∑ X jiY jcp. |
|
|
|
|||
|
N j =1 |
(7.10)
(7.11)
Некоторые из найденных коэффициентов могут оказаться пренебрежимо малыми (близкими к нулю), т.е. незначимыми. Чтобы установить значимость коэффициентов, вычисляют оценку дисперсии, с которой их определяют:
S 2 |
= S 2 |
/ N, |
(7.12) |
b |
cp |
|
|
где Sb2 – оценка дисперсии коэффициента регрессии;
Scp2 – оценка дисперсии среднего значения функции отклика Y;
N– количество серий опытов.
Вполном факторном эксперименте все коэффициенты регрессии определяют с одинаковой погрешностью. Оцен-
ку дисперсии среднего значения функции отклика Scp2 вычисляют по формуле
|
|
1 |
|
N |
|
|
Scp2 |
= |
|
|
|
∑ S 2j . |
(7.13) |
|
|
|
||||
|
|
|
Nk j =1 |
|
||
|
|
220 |
|
|