667

Вероятностная модель течения газа с переменной энтропией

δρ*

δT *

2 +

2

= L ,

ρ*

T *

K

2

2

где

L

=

1

δP1

+

δF1

+

εK

δPe

+ δFe

+ 1

(λ

)δR − δF2

,

f

2

K

1

Fe

2

R F2

+εK

P1

F1

1+εK

Pe

εK –

относительное

изменение

количества

движения

потока,

εK = ∆G∆K.

G1K1

3. Уравнение сохранения энергии

G1H1* +(∆G)∆H* =G2 H2* ;

G1

δH1

+

∆G

δ(∆H )= δH2 .

G

+ ∆G

G + ∆G

1

1

Применяем преобразования

δR

δ ∆H

)

δH2 =

δT2

+

; δH1

= δT1 ,

(

=

δTe

,

∆H

H

T

R H

T

T

2

2

1

1

e

H

=

G1

H

+

∆G

∆H

.

G +∆G

G

+∆G (

2

1

)

1

1

Тогда

δT

=

1

δT

+

ε

H

δT

−

δR

= L ,

2

1

T

e

R

1+ε

1

+ε

T

H

T

H

2

1

H

e

где εH – относительное изменение энергии потока,

т.е. отношение

подведенной (или отведенной) энергии к теплосодержанию потока га-

	за, ε		=	∆G∆H		= ε	∆H
		H					G H	. В том случае, когда подвод энергии проис-
				G H
				1	1		1

ходит без подвода массы, относительное изменение энергии потока определяется через количество подведенной теплоты или механической работы. Запишем систему уравнений сохранения

81

А.И. Овчинников

δP2*

−

1 δT2*

= L ,

P*

2 T

*

G

2

2

δρ*

+

δT *

= LK ,

*2

*2

ρ2

T2

δT *

= L ,

2

T *

H

2

или в форме матриц

1

1

− 2

0

LG

0

1

1

,

LK

, с определителем матрицы ∆ = −1.

0

1

0

LH

Решение системы:

δP*

= L +

1

L ,

δT

*

= L

,

δρ*

= L

− L .

2

2

T

2

2

P*

G

H

*

H

ρ*

K

H

2

2

2

Выражаем вариации выходных параметров газа через вариации

параметров входящих потоков

δP2*

1

1

1

δT1*

1

εH

εG

δTe*

1 δP1*

*

=

−

*

+

−

*

+

* +

2

+εH

2

1

1

P2

1

1+εG

T1

1+εH

+εG

Te

+εG P1

+

ε

G

δP*

+

1

δF

+

ε

G

δF

−

δF

+

1

q(λ

)

δR

;

e

1

e

F

2

R

1

+ε

1

+ε

1+ε

2

G

P*

G

F

G

F

2

e

1

e

2

δT *

=

1

δT *

+

ε

H

δT *

−

δR

;

2

1

T

e

R

1+ε

1+ε

T *

H

T *

H

*

2

1

e

δρ*

= −

1 δT *

−

ε

H

δT *

+

1 δP*

−

δF

+

*

*

*

*

2

2

1

e

1

ρ

2

1+ε

H

T

1+ε

H

T

1+ε

K

P

F

1

e

1

2

ε

K

δP*

1

δR

1

δF

ε

K

δF

+

*e +

f (λ2 ) −1

R

+

1 +

e .

1

1+εK Pe

2

1+εK F1

+εK Ft

Графики полученных зависимостей для коэффициентов вариации давления торможения, температуры торможения и плотности торможения приведены на рис. 1–3.

82

Вероятностная модель течения газа с переменной энтропией

Рис. 1. Зависимость коэффициента вариации давления торможения от относительной скорости потока

Рис. 2. Зависимость коэффициента вариации температуры торможения от относительной скорости потока

Рис. 3. Зависимость коэффициента вариации плотности торможения от относительной скорости потока

83

А.И. Овчинников

Данная модель содержит противоречия, что видно из представленных графиков. При максимуме коэффициента вариации полного давления при λ =1 коэффициент вариации полной температуры не изменяется. Также при λ → λmax наблюдается ρ* → ∞ . Все это говорит

о явных противоречиях выбранной модели.

Анализ полученных зависимостей заставляет принять допущение о том, что вариация безразмерной скорости газа во всех сечениях потока равна нулю. Однако это не означает, что и величины отклонений скорости потока и статических параметров газа будут равны нулю.

Вариации полных параметров потока тогда будут иметь следующий вид:

δP2*

= −

1

1−

1 k1 −1

εH

δP1*

−

εG

1−

1

ke −1

1

δPe*

−

+ε

1+ε

1+ε

1+ε

P*

1

2

k

P*

2

k

e

P*

2

G

1

H

1

G

H

e

−

1

∂F1 −

εG

∂Fe +

∂F2

;

1

+ε

G

F

1+ε

G

F

F

1

e

2

*

1

1

*

εH

εG

ke −1

*

δT*2 =

k1 −1

δP1*

+

δP*e −

δR;

+εH 1+εG

+εH 1+εG

T2

1

k1

P1

1

ke

Pe

R

*

1

1

1

*

εG

εH

ke −1

εK

∂ρ*2 = −

k1 −1

−

∂P1*

+

−

×

+εH

1

1

ρ2

1+εG 1

k1

+εK

P1

+εG 1+εH

ke

1+εK

∂P*

1

1

∂F

ε

G

ε

K

∂F

∂F

×

e

−

1

−

e +

2 .

1

+ε

1

+ε

1

+ε

1+ε

P*

G

K

F

G

K

F

F

e

1

e

2

На основе полученных формул делаем вывод, что коэффициенты вариаций не зависят от приведенной скорости потока λ, поэтому данная зависимость не требует графической интерпретации. Полученные зависимости вариаций параметров потока от коэффициентов вариаций дополнительного массоприхода приведены на рис. 4–6.

84

Вероятностная модель течения газа с переменной энтропией

Рис. 4. Зависимость коэффициента вариации расхода от коэффициента вариации давления дополнительного массоприхода для разных значений εG

Рис. 5. Зависимость коэффициента вариации полного давления от коэффициента вариации давления дополнительного массоприхода для разных значений εG

85

А.И. Овчинников

Рис. 6. Зависимость коэффициента вариации расхода от коэффициента вариации давления дополнительного массоприхода для разных значений εG

Из полученных зависимостей видно, что все разбросы газодинамических параметров потока растут при увеличении разбросов дополнительного массоприхода. Однако такое невозможно, поскольку не соблюдается баланс энергий. Соответственно, данная модель содержит в себе противоречие.

Рассмотрим другую модель неизоэнтропного течения потока. Введем отношения

δG	= q ,	δG	=1−q ,	H *	= q		,	K*	= q	.
0		1		0				0
				H *				K*
G	G	G	G			H			K
2		2		2				2

Таким образом, теперь мы можем задавать долю основного и дополнительного потоков на входе от общего потока на выходе из расчетной области.

1. Уравнение неразрывности

G0 +G1 = G2 ;

δG0 +δG1 = δG2 ;

δG2	= q	δG0	+(1	−q	)	δG2 .
G	G	G		G		G
2		0				2

86

Вероятностная модель течения газа с переменной энтропией

2. Уравнение энергии

H0* + H1* = H2*;

G0 H0* +G1H1* = G2 H2*;

H * G δG

H

* G δH *

H * G δG

H

*

G δH *

δG

δH *

0

0

0 +

0

0

0

+

1

1

1 +

1

1

1

=

2

+

2

;

H * G G

H

* G H *

H * G G

H

*

G H *

G

H *

2

2

0

2

2

0

2

2

1

2

2

1

2

2

H

*

G

= q

q ;

0

0

H

G

*

H G

2

2

H *G

= (1−q

) (1−q );

1 1

H *G

H

G

2

2

δG

+

δH *

= q

q

δG

+ q

q

δH

*

) ×

2

2

G

0

0 +(1−q

G

H *

H G

H G H *

H

2

2

0

0

×(1−q )

δG

+(1−q

) (1−q )

δH *

= L .

1

H

1

G

G

G

H *

H

1

1

3. Количество движения. Вывод аналогичен выводу уравнения

энергии:

G0 K0 +G1K1 = G2 K2 ;

δG

δK*

= q q

δG

+q q

δK*

) ×

2 +

2

G

0

0

+(1−q

G

K*

K G

K G K

*

K

2

2

0

0

×(1−q )

δG

) (1−q )

δK*

= L .

G

1 +(1−q

K

1

G

G

K*

K

1

1

Составим систему

δG2

=

L

,

G

G

2

δH *

δG

G

2

+

H

*2 = LH ,

2

2

δG

+

δK*

= L .

2

K

2

G

*

K

2

2

87

А.И. Овчинников

Запишем данную систему в матричном виде:

	δG2	0	0
	G				L
	2	δH *
δG						G
	2	2	0
	G2	*		= LH			.
		H2			L
	δG	0	δK*			K
	2		2
	G		K*
	2		2

Найдем определитель данной системы:

1 0 0

1 1 0 =1.

1 0 1

Определитель матрицы, соответствующей данной системе уравнений, не равен нулю, это означает, что система имеет решение. Решением данной системы будут являться следующие выражения:

δP2*

=

2k2

q

k0 +1

δP0*

+(1−q )

k1 +1

δP1*

+

P*

k

2

+

1

G 2k

0

P*

G

2k P*

2

0

1

1

+q

δF0

+(1−q

)δF1

− δF2 +

1 δR ;

G

F0

G

F1

F2

2 R

δT2*

= 2

k2 −1

q

q

k0 +1

δP0* +(1

−q

) (1−q )

k1 +1

δP1*

+

T *

k

2

+1

H G

2k

0

P*

H

G

2k P*

2

0

1

1

+q

H

q

δF0

+(1−q

H

) (1−q )

δF1 −

δF2 +

1 δR

;

G

F0

G

F1

F2

2

R

δρ*2

=

2k

2

k2

−1

q

q

3k0 +1

δP0*

+(1−q

H

) (1−q

)

3k1 +1

δP1*

+

*

3

k2

+1

H G

2k0

*

G

2k1

*

ρ2

P0

P1

+2q

H

q

δF0

+ 2(1−q

H

) (1−q )

δF1 −2 δF2

+

1 δR

;

G

F0

G

F1

F2

2 R

δG	=	k	0	+1			q	δP*	+(1−q		)	k +1 δP*		+q	δF	+(1−q		)	δF	;
2								0				1	1		0				1
		2k
G					0		G P*			G		2k P*		G F			G		F
2								0				1	1		0				1

88

Вероятностная модель течения газа с переменной энтропией

δH2*

= 2

k2 −1

1 q

q

k0 +1

δT0*

+

1

(1−q

) (1−q )

k1 +1

δT1*

+

2

H *

k

2

+1

2

H G k

0

−1 T *

H

G

k −1 T *

2

0

1

1

+ q

q

δF0

+

(1−q

) (1−q )

δF1 − δF2 +

1

δR

;

H

H G

F0

G

F1

F2

k2 −1 R

δK2*

= 2

k2

q

k0 +1

δP0*

+(1−q )

k1 +1

δP1*

+

k

K*

2

+1 G

2k

0

P*

G

2k P*

2

0

1

1

+q

δF0

+(1−q

) δF1

− 1

k2 −1

δF2 + 1 δR .

G

F0

G

F1

2

k2

F2

2

R

Графики полученных зависимостей для различных значений коэффициентов вариации приведены на рис. 7–16.

Рис. 7. Зависимость коэффициента вариации полного давления от qH :

1 – при qG = 0,01; 2 – при qG = 0,18; 3 – при qG = 0,34

89

А.И. Овчинников

Рис. 8. Зависимость коэффициента вариации полной температуры от qH :

1 – при qG = 0,01; 2 – при qG = 0,18; 3 – при qG = 0,34; 4 – при qG = 0,68; 5 – при qG = 0,84

Рис. 9. Зависимость коэффициента вариации плотности от qH : 1 – при qG = 0,01;

2 – при qG = 0,18; 3 – при qG = 0,34; 4 – при qG = 0,68; 5 – при qG = 0,84

90