1222
.pdfMi Is, = |
[ ° 4 - (o ’M — ?•)n36si + ( у P// + 2 -5 -<?„) n,J ^ = S?, |
(3.50)
где а*, азз* — некоторые неизвестные функции, которые должны быть определены в ходе решения задачи, тензоры р и q выража
ются через тензор деформации по формулам (3 .20^, (3 .2 1 ). К уравнениям (3.49) следует добавить условия трансверсальной несжимаемости (3.48) и соотношения Коцш (1.2.1)
и = |
(ut.j+ Щл)- |
(3.51) |
Заметим, что в этом случае функции Р и Q зависят только от переменных р и q, и поэтому в случае потенциальной теории из условий (3.34) остается только одно:
а р ( р . д ) = 2 а с п р , д ) |
( 3. 52), |
|
dq |
dp * |
V ' |
Докажем теперь теорему о простом нагружении (упражнение
1.5.6). |
трансверсально несжимаем |
(3.48), |
функции: |
||
Пусть материал |
|||||
Р и Q имеют вид |
|
|
|
|
|
Р (р, q) = |
£ |
с3н p*Vx. Q(Р, ?) = Y, C4« P V K, |
(3.53). |
||
|
X |
|
X |
|
|
где &х, /х, ix, /х — неотрицательные числа, причем |
kK2+ lK2-фО, iK2+ |
||||
+ Ь2Ф0 для каждого х, Сзх^О, |
с4х=5^0, а суммирование |
произво |
|||
дится по таким х, что |
|
|
|
|
|
|
|
&с+/х=*х+/к=г=^0. |
|
(3.54) |
|
Пусть, кроме того, объемные силы X и поверхностные |
силы 5° |
||||
возрастают пропорционально одному параметру jx(£), |
заданные |
||||
перемещения и0 — пропорционально другому |
параметру Я(/): |
||||
х , (о = |
и (о х ? , |
s? (о = и (о s T , |
(3 55) |
||
и°(0 = |
МО “ Г - |
|
|
|
|
причем эти параметры связаны |
между собой соотношением |
||||
|
|
ji(i)= A r(0 - |
|
(3.56) |
Тогда процесс деформации и процесс нагружения в каждой точке
рассматриваемой |
среды будут простыми (во всех смыслах). |
|||||
В самом |
деле, |
предположим, |
что |
решение |
задачи (3.48) — |
|
(3.51), (3.53) |
имеет вид |
|
|
|
||
и, (х, t) = |
X(t) uf>(х), |
a „ (x, t ) = p (t) |
(x), |
|||
e,/ (x, t) = |
X (t) el/1 Й , |
pi;- й |
/) = A,(0 pi/’ Й . |
q,i (*, t) = |
x (0 qf> W , |
я,,- (X, t) = и (H) PS/' ( 4 |
|
Q ,/ (J, 0 = |
P (0 QS/) W . |
где « г-(°)(х), crt-/°) (л:), |
— решение этой же задачи при фиксиро |
ванном t=№ . Подставляя (3.57), (3.55) последовательно в соот
ношения |
|
(3.48) — (3.51), убеждаемся, |
что |
они удовлетворяются |
||||||||
при любом t. |
(3.53), |
удовлетворяющие |
условию |
(3.52), |
также |
|||||||
Соотношения |
||||||||||||
справедливы при любом t, если |
выполнено (3.56). Теорема |
до |
||||||||||
казана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 3.9. Показать, что теорема о простом нагружении |
||||||||||||
имеет место для сжимаемой среды, если |
|
|
|
|
|
|||||||
5 = |
£ |
(/„Д*1* 1 е^ 2х1 р*3х1 qk**', |
а33= |
£ |
с2хё*1х2е3к™ р‘ 3*. |
|
|
|||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
(3.57) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р = |
£ |
с3х0*1х3 е332х3 р"3*3qkiKз, |
Q = £ с4х0‘ 1х4 е332х4 р‘ 3х4 рЙ4х4, |
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
где ki%j |
(/= 1 , 2, |
3, |
4) |
— неотрицательные |
числа, |
с^ФО ( i =l , |
2, |
|||||
3, 4), а суммирование производится по таким х, что |
|
|
|
|||||||||
|
|
&ixl = |
^ |
&ix2 = ^ |
&iX3 = |
^ |
&ix4 = ГфО. £} |
(3.58) |
||||
|
|
t=l |
|
i=l |
i=l |
i=l |
|
|
|
|
Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластичес ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) при выпол нении граничных условий (3.50). При этом следует воспользо ваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантами деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют вид (3.43). В случае разгрузки эти функции приобретают вид
о = су* 4- |
(А,4 + |
А,7) (0 — 0*) + |
( е 33 — 833), |
|
Озз = |
Озз + |
А,6 (0 —■0 ) + |
^<з (бзз — е33), |
(3.59) |
Р = Р ' + 2%1(р - р '), Q = Q * + 2 M < 7 -< f),
где все величины, помеченные звездочкой, относятся к пластиче скому состоянию, достигнутому в данной точке среды к началу
разгрузки.
Квазистатическая задача В теории малых упруго-пластичес ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия
О; + (Озз — сг).3 63i -f Pij,j + 2Qij'j + Xt- — 0 |
(3.60) |
и шести уравнений совместности ( 1 .2 .2 )
“Л//в e ikle jmne kn,lm = 0» |
(3.61) |
в которые вместо деформаций нужно поставить их выражение через напряжения (3.37) — (3.39). При этом следует еще удовлет ворить граничным условиям
Щ (<*) |z, = |
\^ni ~Г (о’зз — tf)n3$3i + (Рц + 2Qij) nj] Ь2= Si* (3.62) |
В случае разгрузки деформации связаны с напряжениями законом
е = |
0* + |
( ? - |
o') - |
(сзэ - о у |
, |
8 ,3 |
~ 8д3 |
■~jp~ (О |
« О + |
- j r (О*, - о ;з), |
(3.63) |
Р = Р ' + ^ {Р~ П ’ 4 = tT + - ^ r ( Q - t n .
где технические постоянные связаны с модулями Яз, Я4, Я5, Я7, Яэ соотношениями
Я3 = Е’ (1 - v)//, |
Я4 = |
£ (v |
+ £v'2)/[(l + |
v) /], ЯБ= Ev'll, |
|
|
Я, = |
G = ЕЦ2 (1 + |
V)], |
Я, = О', / = |
1 — v — 2v’\ |
(3.64) |
|
|
|
|
k = |
E/E' |
|
|
В упругой |
области |
можно пользоваться |
соотношениями |
(3.63), |
в которых все величины, помеченные звездочкой, следует поло жить равными нулю.
Обратим внимание на то, что всякий симметричный тензор второго ранга Я может быть, аналогично тензору а (3.39) или тензору е (3.37), представлен в виде суммы четырех тензоров:
h,i = а,7 |
+ |
+ |
+ М?, |
(3.65) |
где |
|
|
|
|
htj = — Я (6// |
б3/63/), |
2Я,-уЯ^/ = |
Я2, |
|
hfj = h3363i-83j, |
M? = Л33, |
(3.66) |
||
« hit - hu + Я[у3) - |
(Я3Д,- + |
|
s (^(p) )2, (3.67) |
|
h\f = Я31-63/ + |
Я3/631- — 2Я}з>, |
|
hm [f==(hW )2,
причем Я, Язз, Я(р), ЯW — четыре независимых инварианта тензо ра h для трансверсально изотропной среды.
Упражнение 3.10. Показать, что для тензора Я (3.65) справед
ливы соотношения
М |
/3) = О, |
Ь М ? = 0, |
htih[f = О, |
(3.68) |
А«>Л<?> = 0, |
h^h\f = о, |
h\fh\f = 0 . |
С |
|
Заметим, что |
всякий |
симметричный тензор |
второго ранга |
можно представить в виде суммы не более шести линейно неза висимых тензоров (базисных). В случае трансверсальной изотро пии для квазилинейной тензорной зависимости оказалось четыре базисных тензора. Квазилинейная ортотропная тензорная функ ция включает в себя зависимость от шести инвариантов, и поэто му тензорный базис для ортотропии состоит из шести тензоров (самый общий случай).
Будем считать, что главные оси ортотропии совпадают с осями
координат. В |
этих |
осях |
можно |
записать |
тензор |
напряжений |
в виде |
|
|
|
|
|
|
°ii= |
+ |
^22^21^2] Н~ О'зз^з^з/ + °12 (6ii62/ + |
баД/) + |
|||
+ |
° 1з (бцбз/ + |
63/61;) + |
о'2з (62163/ + |
63i62j), |
(3.69) |
где каждая из величин сгар является функцией шести инвариантов тензора деформаций
ОаЭ = ОаР (е11»^22» е33>®12>е13>е2з)' а Р> Р 1» 2, 3, (3.70)
при этом все сга(1 и еар, а < р , считаются неотрицательными.
Для упругой области функции (3.70) являются линейными:
оГц = |
A,jen + |
Я,4е22 |
+ |
Хве 33, сг12 = А,7е12, |
|
||
О'гг = |
^4е11 + |
^2е22 “Ь ^б633» |
°23 = |
^8е23> |
(3.71) |
||
О’зз = |
^ве11 "Ь |
^Бе 22 |
+ |
Х3в>33’ |
<*13 = |
^ве13* |
|
Следует различать величины ац ■— компоненты тензора о и
•<тар, а < р , — инварианты тензора |
напряжений, которые совпадают |
по виду с компонентами только |
в специально выбранной системе |
координат, которую мы рассматриваемЧтобы сделать это различие более четким, введем тензоры
|
е!/2) = |
ei2 (6ii62/ -+• 62f6i/)» |
|
|||
|
ejj3>= |
е13(6lf63/ -f- |
бз А /)* |
(3*72) |
||
|
8J/3) S |
623 (62i63/ -p M W ) ’ |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
Ц 12)g(12) = |
2eJ2, |
e<»3)e(i3) = |
2efr |
ej^ejf3)== 28^, |
(3.73) |
|
и аналогичные тензоры |
для |
напряжений. Тогда (3-69) |
можно за |
|||
писать в виде |
|
|
|
|
|
|
сгц = |
вц&гА,- + 0^2262162/ + |
М з А / + |
|
|||
+ -21*. е(12) |
. _£1»_е(13) |
е(23) |
(3.74) |
|||
|
612 |
И |
е13 |
" |
«23 " |
|
Материал называется ортотропно-несжимаемым, если выпол няются условия
ец=0, 6 2 2 = 0 , езз=0. |
(3.75) |
Рассмотрим теперь случай анизотропии произвольного вида. Пусть в некоторой прямоугольной декартовой системе коор динат трехмерного евклидового пространства рассматриваемая
квазилинейная тензорная функция имеет вид
<*/ = 2 М Л . . О />!,“>. |
(3.76) |
а = 1 |
|
где Ya — некоторые скалярные функции совместных инвариан тов 1и /2 тензоров е, А \, Л2, (тензоры А\, А2, характери
зуют рассматриваемый класс анизотропии), а р(а> — некоторьГ тензор, не зависящий от тензора деформаций е или зависящий
от него линейно, причем в выбранной системе координат можно записать.
|
|
|
_ |
Р\V |
(3.77) |
|
р\?’ |
= |
б«р, |
Зец |
|
/а |
|
|
|
|||||
Как уже упоминалось, число п |
(а, |
р = 1, |
п) |
не |
может |
быть |
больше шести. |
|
|
если |
существует |
такой |
|
Назовем / к линейным инвариантом, |
||||||
тензор-константа а(х), что |
|
|
|
|
|
|
|
ах=(а1;‘Ч-)),/2. У |
4 Т =«//. |
(3-78) |
||
** |
|
Х=1 |
|
|
|
где т < ц . В противном |
случае |
инвариант / т |
называется |
нелиней |
|
ным. Тогда соотношения |
(3.76) |
можно представить в виде |
|
||
|
4? |
2 |
- о |
р\Т (3.79) |
|
<*!/ = £ |
Л)- |
|
|
||
Х=1 |
|
V = m + 1 |
|
что |
индексы |
Не оговаривая этого каждый |
раз, будем считать, |
||||
а, р пробегают значения от 1 до п, индекс к — от 1 |
до т, а у — |
||||
от т + 1 до п. |
|
|
|
|
|
Итак, соотношения (3.76) или (3.79) устанавливают связь меж ду напряжениями и деформациями, если известны, например из эксперимента, п функций
У а = У а (/,. |
Л ) = £ АхрП — М Л ........I „ ) ] I f |
(3.80) |
|
Р=1 |
|
ЗдесьАар— некоторая квадратная матрица пХп с постоянными |
||
коэффициентами, причем |
|
|
|
ctiu d fW |
(3.81) |
|
— т р ^ ~ ’ |
|
где ша — функции инвариантов Л, |
/ п. Для |
линейной |
упругой |
||||||||
среды в |
(3.80) следует положить <оа= 0 . |
можно |
разрешить относи |
||||||||
Если скалярные |
соотношения |
(3.80) |
|||||||||
тельно / 1, / 2, ...» 1п: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U = |
la <ylt |
|
, Yn) шш£ |
В«ь [1 - Qa (Ylf . . . , Yn)] Гр, |
(3.82) |
||||||
|
|
|
|
|
Р=1 |
|
|
|
|
|
|
где квадратная матрица £ aP определяется в виде |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.83) |
а тензоры Р(а) определяются аналогично |
(3.77) |
|
|
||||||||
|
«« = 2 |
^ |
р(а) р(Р) |
: баЭ> |
|
|
|
(3.84) |
|||
|
|
|
|
доц |
|
||||||
|
|
а= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то соотношения (3.79) также разрешаются относительно |
дефор |
||||||||||
маций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL |
|
|
д(и) |
|
JL |
|
|
р(у) |
|
||
• // = У |
7« ^ |
|
|
— |
+ |
У |
'т (К х. |
|
(3-85) |
||
х= |
1 |
|
|
|
|
v=m+l |
|
|
v |
|
|
Таким |
образом |
можно установить |
взаимно-обратную |
связь |
|||||||
между тензорами Р<а>и pW: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
pif = |
Р‘? |
|
АТ = — |
№ |
|
(з.8б> |
|||
|
|
|
|
|
7а |
|
|
Та |
|
|
|
Назовем |
процесс |
деформации |
е(/) |
и |
процесс нагружения |
||||||
а (0 простыми в узком |
смысле, если выполняются условия |
(3.45), |
|||||||||
(3.47), и простыми в широком смысле, если |
|
|
|||||||||
|
|
р<?(0 = M 0 p 'f |
|
- | i(0 |
Я “>°. |
|
(3.87) |
Упражнение 3.11. Доказать, что простому процессу деформа ции в обычном, широком и узком смыслах соответствует процесс напряжения в обычном, широком и узком смыслах соответст* венно. с>
Пусть теперь в пространстве деформаций задана функция <р(/ь ..., 1п) и величина <р0, которая определяется эксперименталь
но и может зависеть от истории |
нагружения. Условие |
пластич |
ности заключается в следующем. Если |
|
|
ф ( /ь |
1 п ) < фо> |
(3.88) |
то связь между напряжениями и деформациями (3.79), (3.85) подчиняется закону Гука, т. е. в (3.80) и (3.82) следует положить (Da= 0 , Qa= 0. Если же неравенство (3.88) нарушается, то проис
ходит пластическое деформирование. Если процесс активный (на-
|
|
п |
|
|
|
|
|
гружение), т. е. |
0цс1&ц = £ |
Yadla > 0 |
или, |
например, |
d<р > 0, |
||
|
|
а= 1 |
|
Если же с какого-то мо |
|||
го справедливы соотношения (3.80). |
|||||||
мента |
начинается разгрузка |
(пассивный |
процесс), т. е. |
— |
|||
п |
У а ^ а < 0 |
или, например, Лр<0, |
то вместо |
(3.80) |
нужно |
||
= £ |
|||||||
а=1 |
|
разгрузки, |
которое должно |
быть |
согласовано |
||
записать условие |
собщим постулатом пластичности (Друкера—Ильюшина)
(j)cr:de>0. Например, в случае, если материал обладает мягкой характеристикой, можно принять условие линейной разгрузки:
У а -У 'а= £ Л«р (/э— /р), |
(3.89) |
p=i |
|
где величины, помеченные штрихом, соответствуют |
напряжениям |
и деформациям, накопленным к моменту начала разгрузки. Ра зумеется, условие пластичности (3.88) может быть сформулирова но в пространстве напряжений
|
Ф(КЬ |
УЛ)< Ф 0. |
(3.90) |
|
|
|
п |
|
|
Тогда |
при разгрузке |
зз ^ |
/ adKa < 0 |
или ^Ф <0) вместо |
(3.89) |
имеем |
а=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Р=1 |
|
(3.91) |
|
|
|
|
|
Уравнения равнозеси |
|
|
|
|
|
|
ou,i + Xi = 0, |
(3.92) |
|
используя (3.80), можно записать в виде |
|
|||
Пуств заданы граничные условия |
|
|
||
|
и, |i, = |
U°, |
|
(3.94) |
Тогда квазистатическая задача А деформационной теории плас тичности заключается в решении уравнений равновесия (3.93) при удовлетворении граничным условиям (3.94), причем должны быть учтены условия (3.80) или (3.89) (в зависимости от того» происходит ли нагрузка или разгрузка) и соотношения Коши (3.51)-
Упражнение 3.14. Показать, что если для случая мягкой рактеристики по инварианту 1а выполняются неравенства
U |
^ д у |
^а’ G a = Y a |
п |
j |
О “С] ^ у |
^ |
у |
||
* |
а |
|
Р=1 (а*Р) |
* |
|
|
|
|
(3.103) |
а для случая жесткой характеристики по инварианту 1а — нера венства
о < « » < - ^ r - G a < - ^ - + Ga, |
(3.104) |
Y a |
|
то материал обладает положительной касательной |
податли |
востью. |
|
Упражнение 3.15. Доказать, что теорема о простом нагруже
нии выполняется, если функции |
(3.80) |
имеют вид |
|
||
В Д . |
Л ) = |
£ < ^ |
а1/ |
/> ■ . |
(3.105) |
|
|
/ |
|
|
|
где kan — неотрицательные числа, са}Ф0 ; |
i, / = 1 , |
nt а сумми |
|||
рование производится по всем таким у, что |
|
|
|
£ * и / - £ * * / = |
= ^ К ц = гф о. |
(злое) |
||||
|
i=l |
i=l |
|
i=l |
|
|
|
Упражнение3.16. Доказать, |
что |
теорема опростом |
нагруже |
||||
нии выполняется |
для анизотропно |
несжимаемогоматериала |
|||||
(3.96), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
YAIn,+u-. /„) = |
t |
e |
+l '■■■•/ nvn/' |
(3107) |
||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
где &7I-/ — |
неотрицательные числа, cT/=^0; i, |
y = m + l , |
я, а сум |
||||
мирование производится по всем, таким у, что |
|
|
|||||
2 |
^m-И (/ = |
^т+2 £ /= |
|
— |
J] |
Ьпц = г Ф®- |
(3.108) |
i=m+l |
|
i=m+l |
|
|
i=m+l |
|
|
§ 4. Упрощенная теория
Построенная теория обладает достаточной общностью, однако ее применение при решении конкретных практических задач мо жет вызвать затруднения, связанные с экспериментальным опре
делением, |
вообще говоря, шести функций шести аргументов |
(3.80) или |
(3.82). |
Как и в предыдущем параграфе, начнем рассмотрение с транс
версально изотропной среды. В общем случае |
нужно эксперимен |
тально определить четыре функции четырех |
аргументов (3.31) |
или (3.32). |
|