1367
.pdfэтот метод к системам со многими степенями свободы. В этой форме указанный метод является альтернативой к описанному в п. 3.5.2 методу преобразований.
Согласно концепции метода множителей Лагранжа, экстремум функционала при ограничениях (связях) может быть найден, если умножить каждое ограничение на константу (kt— множитель Лаг ранжа), прибавить полученные выражения к исходному функциона лу и выполнить варьирование по каждой степени свободы и каждому множителю. Как и ранее (см. (3.28)), для г связей и п степеней свободы система в общем виде записывается следующим образом*.
[G]rXn{A}nXl = {s}rXl- |
(7.16) |
||
При этом г величин обозначим через |
|
|
|
L * J = L A |
- h |
K J - |
(7.17) |
Теперь, согласно принятой выше методике, построим вспомога
тельный |
функционал Щ\ |
П« = |
[К] {A }- L A J {PH- L J [О] {A}— L %J W . (7.18) |
Варьируя по каждой А; и Kit получим следующую систему уравне ний:
Заметим, что в нижней части матричного соотношения записана система ограничений. Эти уравнения можно решить непосредствен но. Матрица, определяющая эту систему, положительно полуопре- делена. Поэтому, выбирая алгоритм решения, нужно быть осто рожным. В предположении, что матрица (К1 неособая, из решения верхней части уравнений получаем
{А}=[К1"1{Р>—1K]“1[G]T{X}, |
(7.20) |
поэтому из нижней части находим |
|
{4=([G ] [K]“1[G1T)" 1([G] [К1-ЧР}—{s}), |
(7.21) |
откуда, подставляя полученное выражение обратно в (7.20), |
нахо |
дим {А}. |
|
Следует отметить, что (7.19) отвечает формулировке смешанного типа. (Ср. с (2.3).) Это можно понять, вспоминая, что согласование размерностей в расширенном функционале приводит к тому, что множители Лагранжа имеют размерность силовых параметров. Ввиду положительной полуопределенности соотношений (7.19) не удается доказать в общем случае, что найденное таким образом решение, основанное на принципе минимума потенциальной энер гии, дает нижние границы для рассматриваемых характеристик.
Следует также заметить, что в методе преобразований из п. 3.5.2 матрица преобразований [Гс] вначале используется в функционале для потенциальной энергии, а затем преобразованная величина Пр варьируется по оставшимся степеням свободы. Это иллюстриру ется на рис. 7.5, где изображена показанная ранее на рис. 6.4 по-
Рис. 7.5. Поверхность Пр, задающая потенциальную энергию двустепенной сис темы, при наличии ограничения G (A lt Д2)= 0 .
верхность, соответствующая потенциальной энергии системы G двумя степенями свободы (Д* и Д2). В данном случае имеется линей ная связь G(Ab Д2)=0. Эта связь определяет плоскость, перпен дикулярную к плоскости Дь Д2 и отрезающую участок поверхности, изображающей энергию, на котором находится точка минимума А для предыдущего случая. Теперь минимум достигается в точке В, находящейся на кривой, полученной в результате пересечения по верхности плоскостью.
Метод преобразований уменьшает число входящих в систему уравнений, а метод множителей Лагранжа увеличивает. Однако следует иметь в виду, что метод преобразований требует значитель ного числа матричных операций.
0 |
2 |
© |
3 © |
|
|
|
I 4 |
||
— ►X, и |
Л .. ' - ^ |
2 |
||
|
||||
L |
Площадь А |
|
||
- - 4 * — |
* |
---►> |
||
г«— |
Рис. 7.6.
Чтобы проиллюстрировать метод множителей Лагранжа, рас смотрим изображенную на рис. 7.6 систему, состоящую из стерж невых элементов, при ограничениях и2—и8=0. Согласно методу
множителей Лагранжа, имеем систему уравнений (k0= AE/ L)
ю аг |
1 |
е |
е |
- А |
260 -1 |
1 |
— 1 0 |
АfAI
«3 = |А
X ы
Решая эти уравнения путем обращения матрицы, получим
П |
1 |
Л. |
1 (р Л |
А ' |
1 |
1 |
—/е0 |
\р> |
=< [ "з |
К |
- к |
- З А ) 2 ы |
X |
|
|
Условие «г—«з предполагает наличие жесткого элемента между точками 2 и 3, поэтому упруго деформируются лишь звенья А и С. Таким образом, как следует из анализа решения, смещение точки 2, вызванное действием силы Р 2, равно PJ2k0 Это же значение для смещения получается, если действует лишь сила Ра. Множитель Лагранжа Х=1/г(Рг+Рз ) — силовой параметр; в этом случае он соответствует силе, передаваемой через жесткое звено. Заметим, что связи наложены на закрепленную конструкцию. Поэтому здесь может быть применена процедура (7.20), (7.21), в которой обраща ется базисная матрица жесткости.
Условия закрепления Aj=0, являющиеся одновременно огра ничениями, можно также учесть с помощью метода множителей Лагранжа. Обычно (см. разд. 3.2) это осуществляют путем непос редственного вычеркивания из матрицы жесткости столбцов, отве чающих этим условиям, и исключением из матрицы соответствую щих строк. Однако в подходе, использующем множители Лагранжа, глобальную матрицу жесткости можно оставить без изменений,
Fb иг
Рис. 7.7.
если к выражению для потенциальной энергии добавить умножен ные на множители Лагранжа члены, соответствующие каждому ус ловию закрепления. Эту процедуру можно проиллюстрировать на примере стержневого элемента, изображенного на рис. 7.7. Элемент закреплен на левом конце так, чтобы «!=0. Система алгебраиче ских уравнений, отвечающая методу множителей Лагранжа, в
этом случае имеет |
вид |
|
г ( « I |
|
|
|
г |
А Е |
— А Е |
|
|
||
|
L |
L |
|
|
||
|
— А Е |
А Е |
0 |
| « 2 ■—' ■F* |
||
|
L |
L |
|
|
0 |
|
|
|
U |
J |
|||
|
1 |
0 |
0 . |
|
||
|
|
|
|
Если поменять местами первый и третий столбцы выписанной вспо могательной матрицы жесткости, то придем к легко разрешимой системе уравнений, откуда получим
'1 |
|
1 |
(Г |
|
|
0 |
и |
АЕ |
1 |
Гг Н |
иг |
0 |
|
0 |
1 |
1ui, |
|
|
° ) |
||||
|
|
|
|
||
откуда в свою очередь |
u2= F 2L/AEt |
ux=Q и X=F1+ F 2. В этой |
задаче множитель Лагранжа равен сумме сил, действующих в на правлении оси х. При этом ограничения накладываются на неза крепленную конструкцию, что приводит к вырожденное™ основ ной матрицы жесткости. Следовательно, процедуру, представлен ную соотношениями (7.20) и (7.21), здесь применить нельзя.
7.4.Метод обобщенной потенциальной энергии
Вгл. б изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнитель ной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изло женные процедуры позволяли сформулировать для элемента само согласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру
глобального анализа. Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смяг чены, но для реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости).
В излагаемом подходе предполагается, что пробные функции для элемента записываются в терминах степеней свободы в узлах соединений, т. е. А= |_ N J {А}. Считаем также, что степени свободы {А} связываются с соответствующими степенями свободы соседних элементов, а пробные функции не полностью совместимы на гра ницах, разделяющих элементы. Предположим, к примеру, что сме щения и вдоль стороны 1—2 изображенных на рис. 7.8 элементов А
и В описываются функциями |
|
|
+ N $ U 2 + |
Nfus+ N*u4, |
(7.22a) |
«?-. = Nfu, + Щ и 2+ |
N* и, + N f u e, |
(7.22b) |
где N?, . N%— квадратичные функции от у (вообще говоря, указанные функции зависят от х и у , однако здесь они вычисляются вдоль линии, на которой х не меняется). Ни для элемента А, ни для
2
з |
5 |
4 |
|
6 |
1 |
X, и |
Рис. 7.8. |
элемента В перемещение не определяется однозначно заданием перемещений их и и2 в концевых точках. Величины и?-2 и и ^ 2 на границе 1—2 различны; следовательно, перемещения терпят разрыв и существует невязка и ^ 2—Ц?-2* Однако межэлементная непре рывность может быть восстановлена при помощи задания условия
Уг
У (uf-г— uf_2)dy = 0, |
(7.23) |
О |
|
левая часть которого с учетом (7.22) преобразуется к виду |
|
Уа |
|
{ [ W - N?) Ul + № - Nf) и2 + Мфи2+ |
— Nf«6— Nfu,] dy. |
о |
(7.24) |
После интегрирования получим линейное алгебраическое уравнение вида
G1Iu1+G12u3-hGIsU3+GuU4+Gisus-hGieue=0. (7.25)
Используя методы множителей Лагранжа, можно учесть урав нение (7.25) в процессе решения. В рассматриваемом примере для каждой компоненты смещения на каждой из границ элемента возни кает по одному такому соотношению.
В данном случае множители Лагранжа представляют среднее значение внутренних сил на линиях, вдоль которых устраняются разрывы полей перемещений. Более того, глобальные уравнения имеют вид уравнений (7.19), которые представляют собой соотно шения между силами и перемещениями в смешанной формулировке (см. уравнение (2.3)). Таким образом, смешанные формулировки
можно интерпретировать как результат применения традиционных энергетических методов со «смягченными» требованиями непрерыв ности.
Если разрыв полей перемещений вдоль каждой из границ, разде ляющих соседние элементы, более высокого порядка, то на каждой такой границе требуется ввести дополнительное уравнение-ограни чение. Один из способов учета этих ограничений состоит в требо вании, чтобы невязки из-за разрывов вдоль границы равнялись ну лю. Для этого выпишем произведение функции, задающей ограни чения, на множитель Лагранжа Х (и ^ 2—ц?_2)=0, где X — в нашем случае непрерывная функция координаты, меняющейся вдоль гра ницы. Затем прибавим к выражению для потенциальной энергии
член |
Чтобы на основе выписанного функцио- |
|
нала системы |
получить алгебраические |
уравнения, разложим X |
в степенной ряд Х = Х 0-\-Х1у - \- Х 2у 2+ . |
выбирая столько членов, |
сколько имеется условий, необходимых для однозначного опреде ления перемещения вдоль стороны. Поэтому имеем
u?-2)dy = X0J {ut-i — и?_2) dy + ki ^(u? -i— u?-i)y d y + + К § (uf-2— uf.i) у2 dy +
так что ограничения принимают вид
(7.26)
Следует заметить, что альтернативный подход к определению ограничений, восстанавливающих непрерывность, заключается в обеспечении непрерывности в дискретных точках границы. В приве денном выше примере имеется невязка для одной степени свободы в полях перемещений на границах элементов. Обозначая точку, лежащую на стороне 1—2, цифрой 7 (см. рис. 7.8), можно записать ui —ttf=0. Вычисляя затем в точке 7 соответствующие значения полей перемещения для элементов А и В, получим уравнения, за дающие ограничения в виде, аналогичном соотношению (7.25). Если учесть указанное ограничение с помощью метода множителей Лагранжа, то в этом случае множитель Лагранжа представляет собой величину силы в рассматриваемой точке.
Преимущества обобщенного вариационного подхода отчетливо проявляются при построении конечно-элементных моделей изгибае мых пластин. Возможность проиллюстрировать этот факт предста вится в гл. 12.
7.5. Принцип минимума дополнительной энергии
Если при конечно-элементном анализе в соотношениях податли вости в качестве неизвестных выбрать узловые или граничные силы, то выписать соответствующие формулировки на базе выражения для дополнительной энергии намного труднее, нежели конечно-эле ментные представления жесткостной формулировки, опирающиеся на принцип минимума потенциальной энергии. Это происходит из-за того, что для статически неопределимой конечно-элементной идеа лизации конструкции нельзя непосредственно выполнить преобра зование от узловых сил элемента {F*} к прикладываемым нагрузкам {Р}. Если, с другой стороны, в качестве основных неизвестных вы браны функции напряжений, то формулировки сходны с исполь зуемыми при жесткостном представлении. Опишем эти два подхода ниже.
Рассмотрим вначале случай, когда в качестве неизвестных выби раются силЫу причем объемные силы и предварительные напряжения предполагаются отсутствующими. Для определения величины до полнительной энергии деформации U* в конечно-элементной модели, состоящей из Р элементов, воспользуемся соотношением (6.68Ь). Имеем
( / * = £ (/<* = 1 |
(7.27) |
1=1 1=1
где {F1} и [f'} — соответственно вектор сил и матрица податливо сти i-ro элемента. Это можно записать в следующем виде:
</* = VaL F ' J L t tfJ { F ‘ }, |
(7.28) |
||
где {F*} — вектор, включающий всю совокупность силовых |
век |
||
торов отдельных элементов |_ F' J |
и все силы реакции опоры (_ |
J , |
|
L F ej = L L F 1 j L F 1 j |
L F ' J L R ' J J . |
|
|
Здесь [_ f* J — глобальная матрица |
податливости, имеющая |
блочно- |
диагональную структуру, где каждый блок есть матрица податли вости отдельного элемента. Все матрицы отдельных элементов lf‘], t=1, ., р, входят в этот массив. Кроме того, в нем фигу рируют нулевые строки и столбцы, соответствующие силам реакции опоры в точках закрепления.
Может показаться, что следующий логически оправданный шаг состоит в переходе от внутренних сил и сил реакции {F*} к узловым силам {Р}; однако, как было указано выше, это нельзя осуществить непосредственно в случае статически неопределимой конструкции. Следовательно, {F*} выражается в виде суммы двух силовых систем {F0} и {Fr}. Здесь {F0} — любая система внутренних сил, уравно вешивающих {р>. и пока выбор этой системы не соответствует
окончательному решению задачи, эта система будет связана с не согласованным деформированным состоянием. Силы {Fr} представ ляют собой амплитуды самоуравновешенных сил. Число этих сил равно числу статически неопределимых степеней свободы в рас сматриваемой задаче.
Как показано в разд. 3.3, выбор дополнительных сил, а также построение соотношений, связывающих внутренние силы с прило женными нагрузками и дополнительными силами, можно осущест
вить, оперируя |
глобальными уравнениями |
статики |
(3.15), т. е. |
{ Р } =Ш {F*}. |
Кроме того, для этих целей |
можно |
использовать |
физические соображения. В любом случае в |
результате получим |
||
уравнения |
|
|
|
|
{ F 'H tD , /> ,]{ £ } . |
|
(3.15d) |
Далее необходимо выписать выражение для работы К*, совер шаемой на заданных полях перемещений. Для простоты исключим случай ненулевых перемещений. Считаем, что число степеней свобо ды в узлах, соответствующих точкам опоры, равно нулю. Поэтому вклад этих слагаемых в К* равен нулю. В соответствии с традици онными положениями анализа, учитывающего дополнительные си лы:, рассмотрим только сосредоточенные, прикладываемые к узлам силы Pt. Однако при рассмотрении указанных сил временно допу стим, что соответствующие степени свободы Д* заданы и далее в процессе решения Pt трактуются как варьируемые параметры. Следовательно,
1/*= _ [_ Р J {А}. |
(7.29) |
Подставляя полученное' выражение в (7.28) и проводя выкладки с учетом, что UC=U* + V* (см. (6.68)), получим
Пс = Ш [Dly г f. j [Dl] {РИ- |
L F' J [Z>a]Tгf* J [/>,] |
+ |
+ Ц р [ Л ,] ' |
Г f* J [ 0 .] { F '> - L P J |
(7.30) |
Чтобы найти стационарное значение величины Пс, выполним варьирование правой части (7.30) по всем параметрам, как {Р}, так и {Fr}- Тогда
Г [0,11 |
П еJ [Oil ! |
10,]T |
n * J [ g a) I / Р \ _ |
/ Д \ |
(7.31) |
|
L № |
Г f* № ) Т |
№ |
Г М [£>Л J \F> / “ |
f o / ' |
||
|
Решение нижней части уравнения дает
{Fr}==—[[/?а1 Г J l/>al]-1[lZ>alT Г f* J 1A I] {Р}, |
(7.32) |
и после подстановки в верхнюю часть уравнения приходим к вы ражению
где объединенная глобальная матрица податливости имеет вид
[п=пат гf* J т - ш |
грJ ш [[я2г х |
||
X Г |
* |
' |
J М ]{ Р } - (7.33а) |
Поле внутренних сил (и силы реакции опоры, если они входят в {F*}) можно найти, подставляя (7.32) в (3.15с1). Имеем
{F*}=[[IW—[0 J UD2]T Г f* J[Х)2]]”1[^2]тГ f' JШ ] {P}. (7.34)
Прикладываемые узловые силы рассматриваются теперь как извест ные величины.
Будет показано, что в сравнении с жесткостным анализом при веденный выше анализ податливости требует большего числа следую щих друг за другом матричных преобразований. Еще более значи тельны оказываются затраты на построение соотношений (3.15d), исходя из значения матрицы 1В]. Согласно методике, описанной в разд. 3.3, матрица [В] формируется из уравнений равновесия для каждой степени свободы. Поэтому в [В] то же число строк, что и число уравнений в прямом методе жесткости. Заметим, что метод исключения Гаусса — Жордана есть по существу метод обращения матриц, поэтому затраты на выполнение этих операций соответст вуют затратам на построение обратной к матрице [К], т. е. объеди ненной глобальной матрицы жесткости.
Способ, позволяющий избежать перечисленные трудности, дол жен использовать, как предложено в разд. 6.6, функций напряжений в качестве параметров поля напряжений. Согласно этой схеме, до полнительная энергия деформации i-ro элемента имеет вид
£/'*=( L Ф* J/2)[Р] {Ф‘}, |
(6.74Ь) |
где для плоского напряженного состояния величина {Ф*} содер жит в качестве параметров значения функции напряжений Эри и соответствующие производные в узлах элемента (см. (6.75)). Для других типов напряженного состояния используются другие функ ции напряжений. В нашем случае податливость элемента [fz1 опре деляется согласно (6.72а).
Непрерывность поля напряжений при переходе через границы элементов — если поля напряжений элементов допускают непрерыв ное задание — достигается приравниванием значений параметров функций напряжений в узлах соединений элементов. (Поля напряже ний в элементах могут быть записаны через узловые параметры функции напряжений, но в такой форме, что будет нарушаться не прерывность усилий при переходе через границу между элементами. Такие элементы можно также объединить, приравнивая параметры функции напряжений в узлах, однако с их помощью нельзя получить правильное конечно-элементное представление величины дополни тельной энергии.) Эту процедуру можно осуществить аналогично
той, которая указана вразд. 3.2 для метода жесткости. Таким обра зом, строится процедура прямого метода податливости. Представим полученную глобальную (для р элементов) дополнительную энергию деформации U * в виде
р |
|
|
|
|
(/* = Е |
= |
Ц М |
L F J {Ф}. |
(7.35) |
1=1 |
|
|
|
|
где [Z7] — глобальная матрица |
податливости, |
соответствующая |
||
функциям напряжений (а не силам), |
а {Ф} — вектор глобальных |
параметров функции напряжений. Кроме того, U * можно выписать, используя приведенную в разд. 3.3 схему конгруэнтных преобразо ваний.
Важно учесть тот факт, что дополнительная энергия деформации элемента U 1'* строится по полю напряжений а, задаваемому с по мощью производных соответствующего порядка от поля функции напряжений Ф (см. (6.74) и (4.4)). Например, порядок производных для случая плоского напряженного состояния равен двум. Следова тельно, U* определяется с точностью до членов, которые исчезают в результате дифференцирования. Ситуация совпадает с той, ко торая возникает для конечно-элементного представления с исполь зованием перемещений, когда нельзя выделить движение тела как твердого целого из-за выполняемых для определения поля дефор мации е операций дифференцирования перемещений А.
Чтобы удовлетворить указанному выше требованию, можно за фиксировать достаточное число узловых силовых параметров, чтобы получить статически определимые неподвижные условия закрепле ния. К примеру, было замечено, что функция напряжений Эри для плоского напряженного состояния двойственна поперечным сме щениям в теории изгиба тонких пластин, в которой для реализации требуемых условий закрепления следует фиксировать три соответст вующим образом выбранные степени свободы. Отсюда следует, что аналогичным образом в случае плоского напряженного состояния достаточно зафиксировать три силовых параметра.
Совершенно необязательно, чтобы зафиксированные степени свободы, скажем , включались непосредственно в дополнительную энергию деформации подстановкой Ф7= 0 в U * Можно ввести эти ограничения с помощью обсуждавшейся в разд. 7.3 процедуры мно жителей Лагранжа. В этом разделе было также показано, что если ограничения делают систему статически определимой и эти огра ничения учитываются с помощью метода Лагранжа, то в этом случае в основной матрице [Z7] необязательно подавлять степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого. Учет приложенных сил приводит к системе ограничений, и если прикладываемые на грузки самоуравновешены, то для рассматриваемых целей этих соот ношений достаточно.