1414
.pdfРис. VII. 2. Ориентация при смешении двух компонентов (стрелки показывают направление смещения граней):
а —исходное |
состояние |
смеси; |
б —со |
||||||
стояние |
смеси |
после |
|
незначительной |
|||||
деформации |
(частицы |
|
диспергируемой |
||||||
фазы |
вытянулись и пэверхность раздела |
||||||||
увеличилась); |
|
в — смесь |
после |
значи |
|||||
тельной |
деформации |
сдвига |
(частицы |
||||||
диспергируемой фазы |
сильно |
|
вытяну |
||||||
лись, |
поверхность раздела |
возросла |
|||||||
в |
сотни |
раз, |
текстура |
смеси |
близка |
||||
к |
случайной). |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, задача сводится к определению площади по верхности раздела после деформации, если известны механизм деформации и первоначальная площадь поверхности раздела.
В качестве характеристики деформации воспользуемся векто ром перемещения U(ху у, г), определенным во всем объеме недеформированного материала. Соответственно проекции этого век
тора на оси xt у и z обозначим через UXi |
и У1 и |
Uz. |
||
Представим сдеформированную поверхность раздела через |
||||
первоначальную: |
|
|
|
|
F' (*' у \ |
z') = F (*, у, z) = |
о |
|
(VII. 19) |
где Xi а- |
__ ц 1(JC>yt 2); |
соответствующие координаты |
точки в недеформиро- |
|
ванном и деформированном материале — (х,ууг) и |
(х\у',г'). |
деформации. В некоторых простых случаях деформации можно оп ределить поверхность раздела следующим образом. Выразим из уравнения (VII. 19) направляющие косинусы нормали к поверх ности F'(0) в точке (х',у', г') через направляющие косинусы нор мали к исходной поверхности F(0) в соответственной точке (х, У, z):
|
Л |
у |
dUt |
c o s a ,\ |
|
cos аь = |
V |
L |
dxk |
cos ak ) cos a. |
(VII. 20) |
dUi |
|
|
|
||
1 - 2 У У |
|
|
“ <+ ? щ |
cos- a, |
|
L - A Z-/ d x . |
|
|
)! |
||
Площадь поверхности раздела после деформации определится |
|||||
из выражения |
|
|
|
|
|
dx\ dx'j |
|
|
|
|
(VII. 21) |
cos a k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование |
производится по площади |
проекции поверх |
|||
ности S' на плоскость ij. |
|
|
|
||
В случае чистого сдвига вдоль оси х при помощи уравнений |
|||||
(VII. 20) и (VII. 21) |
можно |
определить S, |
так как проекция по |
верхности раздела на плоскость, нормальную к вектору переме щения, остается при деформации неизменной. В этом случае не
равна |
нулю только одна частная производная |
вектора смешения, |
|||
а именно dUJdy. |
|
определится |
выражением |
||
|
Площадь поверхности раздела |
||||
s ' |
= |
$- :2S [ ‘ ™ а* cosа» + { |
W |
f cos2a *]- T |
t |
|
Наконец, если поверхность раздела представляет собой плос |
||||
кость, |
то направляющие косинусы |
уже не зависят от координат |
|||
и поэтому выражение (VII. 22) |
принимает вид |
|
|||
S ' = |
S р |
— 2-^у cos a v cos а у + ( - ^ |
- ) 2 cos2 a*J h |
(VII. 23) |
|
|
Влияние начальной ориентации |
учитывается значениями углов |
ах и а,,. В результате исследования уравнения (VII. 23), выполнен ного в работе [4], установлено, что поверхность раздела увеличи вается максимально, если вектор смещения перпендикулярен по
верхности раздела (а* = 0).
Увеличение поверхности раздела минимально, если вектор сме щения расположен под углом я/2 к поверхности раздела.
Соотношение (VII. 23) позволяет определить исходную дефор мацию сдвига, если известны начальная ширина го и конечная щи-
|
рина г полос (рис. VII. 3): |
|
||||
|
(1 — 2Y cos a* cos ау + |
у- cos2 a2),/s |
||||
|
|
|
|
|
(VII. 24) |
|
|
Y = dUx/dy |
|
|
|
|
|
|
Влияние |
первоначальной |
ори |
|||
|
ентации поверхности раздела фаз |
|||||
|
по отношению к вектору смеще |
|||||
|
ния |
на |
интенсивность процесса |
|||
|
смешения показано на рис. VII. 4. |
|||||
а —исходное состояние; б — после дефор |
Если |
исходная поверхность |
раз |
|||
мации. |
дела |
фаз |
ориентирована |
нор |
||
|
мально |
к |
вектору |
смещения |
||
(рис. VII.4,а), смешение происходит наиболее интенсивно и обес |
печивает получение гомогенной смеси.
Если исходная поверхность раздела ориентирована парал лельно направлению вектора смещения (рис. VII.4,б и б), пере мешивание полностью отсутствует. Поскольку поверхность раз дела увеличивается вследствие деформации сдвига, которая, в свою очередь, определяется уровнем напряжений сдвига и реологиче скими характеристиками среды, интенсивность перемешивания
сильно зависит от |
соотношения |
вязкостей |
диспергируемой |
фазы |
и дисперсионной |
среды. Если |
вязкость |
диспергируемой |
фазы |
намного превышает вязкость дисперсионной среды, то, несмотря на возможность значительных деформаций сдвига последней, диспергируемая фаза практически почти не будет деформиро ваться.
Для иллюстрации этого положения рассмотрим простейшую схему процесса ламинарного смешения, при которой смешиваемые компоненты расположены слоями между тремя параллельными
плоскостями. Слой А —дисперсионная среда |
с вязкостью г]Г, |
слой Б —диспергируемая фаза с вязкостью цъ |
слой В — снова |
дисперсионная среда. Расстояние между плоскостями Я; толщина слоя дисперсионной среды Л.
Представим, что верхняя плоскость движется с постоянной ско ростью V, а нижняя неподвижна; в этом случае во всех трех слоях устанавливаются одинаковые напряжения сдвига, значения кото рых определяются соотношением
Р = |
= 42YB = 4iYB |
(V n-25) |
где Ул» Уб и YB — значения скорости сдвига в каждом |
из слоев. |
слоя, можно получить следующее выражение для определения ско
рости сдвига диспергируеМой фазы:
Рис. V II.4. Влияние начальной ориента ции поверхности раздела фаз по отноше нию к вектору смешения на интенсив ность процесса смешения (область, зани маемая диспергируемой средой, заштри хована):
а —оптимальная ориентация; б н в — ориентация, при которой смешение отсут-
V { Н — 2h |
2h Лг Ч |
Yв = -Н(\ н |
Н tiJ |
(VII. 26)
Следовательно, если вязкость дисперсионной среды мала (или велика вязкость диспергируемой фазы), отношение r^/rii стано вится очень большим, в то время как уБ оказывается мало, стре-
ствУет- |
мясь к нулю по мере увеличения |
|
отношения T|2/T)I* Напротив, если |
вязкость дисперсионной среды много больше, чем вязкость дИс_ пергируемой фазы, то отношение 1^2/111 стремится к нулю, и пре дельное значение скорости сдвига в диспергируемой фазе равно:
уБ = К / ( Я - 2 Л ) (VII. 27)
Поэтому целесообразно проводить смешение, добавляя менее вяз кий компонент к более вязкому.
Часто перемешиваемые компоненты подвергаются не только деформации сдвига, но и деформации растяжения. При этом уве личение поверхности раздела определяется по формуле
/ cos2 а г cos2 аи |
cos2 а2 VA |
№ 28) |
5' = 5 |
+ - я - ) |
|
где Jc, у, г — отношение расстояния между точками до деформации |
к расстоя |
нию между теми же точками после деформации, определенные в направлении со ответствующих координатных осей:
x = dUx/dx; у = dUy/ду, г = dUz/dz |
(VII. 29) |
|
Используя |
изложенный метод расчета, следует иметь в виду, |
|
что исходная |
поверхность раздела |
обычно не бывает плоской, |
а имеет сложную форму. Поэтому вначале надо разбить ее на до статочно малые участки, кривизной которых можно пренебречь, рассматривая их как плоские. Затем необходимо выполнить рас чет для каждого участка в отдельности и просуммировать полу ченные результаты. Если картина течения материала в рабочем объеме смесителя слишком сложна, то следует расчленить движе ние материала на ряд этапов, каждый из которых можно рассмат ривать или как чистый сдвиг, или как чистое растяжение; при этом начальная ориентация для каждого этапа определяется ко нечным распределением компонентов, достигнутым на предыду.
щем этапе.
Если элемент системы подвергается деформации сдвига со ско ростью dv/dx и одновременно перемещается в продольном направ
лении со скоростью U на расстояние L, то суммарная деформация сдвига будет равна
L
, т з 0 1
О
Поэтому, вычисляя суммарную деформацию сдвига, нужно знать профиль скоростей v(x) в поперечном сечении.
VII. 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА СМЕСИТЕЛЬНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Увеличение поверхности раздела в элементарном объеме смеси, возникающее в результате однократного прохода композиции че рез зону интенсивного смешения, при достаточно большой дефор мации сдвига можно приближенно оценить, полагая течение в пре делах этой зоны близким к одномерному [5]:
S/S0 = Y/3 |
(VII. 31) |
где 5 — конечная площадь поверхности раздела; |
So — начальная площадь по |
верхности раздела; у — деформация сдвига. |
|
Другим приближенным критерием величины смесительного воздействия является ширина полос г. Если первоначальное рас пределение компонентов может рассматриваться как случайная смесь (полученная, например, перемешиванием гранул и по рошка), то уменьшение размеров исходных образований оцени вается по изменению расстояния между двумя соседними скопле ниями ингредиента [5]:
— Л ! |
(VII. 32) |
УЯ Л1 |
|
Если известны начальная ширина полос г0 и значение индекса смешения / ь при котором качество смеси удовлетворяет эксплуа тационным (или технологическим) требованиям, и задан масштаб разрешения (минимальный объем пробы), то можно определить конечную деформацию сдвига, обеспечивающую качественное смешение.
Предположим, что исходная смесь состоит из крупных частиц диспергируемой фазы, равномерно распределенных в объеме дис персионной среды. Пусть объем пробы соизмерим с объемом час тицы диспергируемой фазы. При этом начальное значение диспер сии в пробах смеси определяется выражением (VII. 10). Генераль ная дисперсия рассчитывается из условия, что число частиц в пробе равно Vmin и удовлетворяет соотношению (VII. 5). Возрас тание поверхности раздела вследствие деформации сдвига приво дит к уменьшению ширины полос, которое эквивалентно увеличе нию числа частиц в пробе Np:
Мр = гЦг* |
(VII. 33) |
Соответственно уменьшается дисперсия концентрации дисперГи< руемой фазы в пробе:
= <7(1 - q)r*/rI
Конечная ширина полос, обеспечивающая заданное значе^ие индекса смешения, определяется из выражения
Учитывая выражение (VII. 32), получим формулу для опре^е. ления минимальной деформации сдвига, обеспечивающей необ^0. димую степень смешения:
(VII. 36)
С позиций изложенного выше подхода, всякий смеситель — зТ0 аппарат, в котором перемешиваемые ингредиенты подвергаются достаточно большой деформации сдвига, обеспечивающей посте пенное уменьшение первоначальных размеров агрегатов диспсргируемой фазы. Процесс деформации перемежается с периодиче ской переориентацией обрабатываемой композиции, цель котор0д состоит в том, чтобы обеспечить оптимальное расположение по верхностей раздела относительно линий тока (например, операция подрезания при смешении на вальцах).
Постепенное измельчение сопровождается процессом вырав нивания концентраций, являющимся следствием хаотической (случайной) переориентации линий тока в объеме перемешивае мого материала.
Сформулированный подход позволяет наметить путь аналити ческой оценки качества смешения. При постановке такой задачи, разумеется, необходимо располагать полной количественной кар тиной движения материала в рабочем пространстве смесителя и знать исходную ориентацию смешиваемых ингредиентов. Далее необходимо установить желаемую степень измельчения, задавшись конечным значением толщины полос, которое может быть опре делено из опыта или получено на основании побочных оценок (на пример, данных о допускаемой величине неоднородности).
Следующий шаг состоит в замене реальной криволинейной по верхности серией плоскостей, каждая из которых по-своему ори ентирована относительно линий тока и расположена в соответ ствующей части рабочего объема смесителя. В общем случае число таких плоских поверхностей раздела, на которые разбивается одна (или несколько) криволинейная поверхность раздела, можно обозначить через т. Тогда уменьшение толщины полос в пределах каждой элементарной зоны в результате элементарного акта сме шения (один полный цикл до очередной переориентации) может определяться выражением (VII. 32).
Средняя толщина полос после однократного поздействия (один полный цикл) равна
|
т |
т |
|
|
|
Г |
т L-i 1 |
та Lu |
Г0Щ2i |
(VII. 37) |
|
уflu |
|||||
|
|
||||
|
f-i |
1 |
|
|
|
|
Для определения дисперсии объемной концентрации дисперги |
||||
руемой фазы |
s2 разделим рабочий объем смесителя (простран |
ство, занятое смесью) на достаточно большое число элементарных ячеек, размеры которых выберем тем не менее достаточно боль шими по сравнению с характерным размером степени измельче ния, так чтобы величина грани элементарного объема превышала толщину полосы не менее чем в 10 раз (число частиц в такой ячейке равно 103). Затем пронумеруем все ячейки, присвоив каж дой свой номер, определяющий ее местоположение в рабочем объеме смесителя. Далее по таблице случайных чисел отберем из общего числа ячеек достаточно представительную выборку (на пример, пятьдесят случайно расположенных ячеек). Поскольку координаты каждой из них известны, можно рассчитать содержа ние диспергируемой фазы внутри отобранных ячеек, а затем опре делить фактическую дисперсию концентраций s2, достигнутую в ре зультате однократного воздействия. Повторяя этот расчет после каждого акта воздействия, можно оценить как степень измельче ния, так и степень однородности (индекс смешения), достигнутые при смешении.
Иногда ламинарное смешение сопровождается также процес сами диффузии. Пример количественной оценки одновременного действия обоих факторов (деформации сдвига и диффузии) при
веден в работе |
[1, с. 157]. |
В качестве критерия смешения используется коэффициент ва |
|
риации /3: |
|
/з - о г /? |
(VII. 38) |
Величина /3 характеризует интенсивность разделения и свя зана с деформацией сдвига, исходной ориентацией ингредиентов и коэффициентом диффузии выражением
а |
sin nq |
[ |
4n2Dyy2cos2 a j 3 “| |
(VII. 39) |
|
/з ------ 1,41 ---------exp |
Ц |
J |
|||
Я |
nq |
|
|||
Здесь |
Dv — коэффициент |
диффузии; |
t — продолжительность смешения. |
||
Выражение (VII. 39) |
позволяет |
вычислить продолжительность |
процесса смешения, обеспечивающего достижение заданного зна чения коэффициента вариации /3:
|
Зг0 In [1,41 sin nq/(I3nq)] V/s |
(VII. 40) |
||
- { |
4n2Dt |
Y* cos2 a |
||
|
Полученные результаты можно обобщить следующим образом.
1. Чем крупнея начальные размеры агрегатов (г0) и чем меньше заданные конечные размеры полос (г), тем больше дол жна быть интенсивность смешения (больше величина деформации сдвига).
2. Чем меньше относительная объемная концентрация компо нента, тем больше должна быть интенсивность смешения. Значи тельно труднее смешать малое количество материала с большим, чем приготовить смесь, у которой соотношение компонентов равно 1 1. Поэтому для улучшения качества композиции широко прак тикуется предварительное приготовление так называемых маточ ных смесей с более высокой концентрацией диспергируемого агента.
Периодический процесс смешения. Смешение в смесителях пе риодического типа продолжается до тех пор, пока дисперсия со держания компонентов, оцениваемая по случайной выборке, не будет удовлетворять закону биномиального распределения, а со держание компонентов в пробах отклоняться от среднего содер жания в смеси лишь на допустимую малую величину. Смешение обычно осуществляется вследствие относительного движения гра ниц системы, продолжающегося в течение времени, необходимого для приготовления «хорошей» смеси.
Начальное расположение компонентов должно быть таким, чтобы скорость увеличения поверхностей раздела в результате де формации сдвига была максимальной. В этом случае толщина по лос уменьшается быстрее и существенно возрастает число полос в любой пробе. Одна из трудных задач, которые приходится ре шать при конструировании смесителя, — это обеспечение такого характера деформации материала, при котором время смешения было бы одинаково для любого начального размещения компо нентов [24]. Можно считать, что конструкция удовлетворяет этому требованию, если продолжительность смешения при очень малом содержании диспергируемой фазы (скажем, 0,01) не зависит от ее начального расположения в смесителе.
Примером простого смесителя периодического типа с замкну
тым объемом можно считать |
ротационный |
вискозиметр |
(см. |
||
рис. VII. 4). Если начальное расположение |
диспергируемой |
фазы |
|||
совпадает с изображенным |
на |
рис. VII. 4,а, |
то |
величина направ |
|
ляющего косинуса co sa* = |
1. Поэтому при вращении внутреннего |
цилиндра площадь поверхностей контакта быстро увеличивается. Если исходное положение распределяемой фазы совпадает с показанным на рис. VII. 4,6, то cos ах = 0. Поэтому, несмотря на деформацию сдвига, никакого увеличения поверхности контакта не происходит. При такой исходной ориентации можно полагаться только на процессы диффузии, которые протекают крайне мед
ленно.
Непрерывный процесс смешения. Можно выделить две принци пиально отличные задачи, которые отражают основное содержа ние непрерывного процесса смешения.
можно считать, что начальная концентрация диспергируемого компонента колеблется около какого-то среднего значения с пере менной амплитудой и периодом хр.
В большинстве случаев эти периодические флуктуации можно описать синусоидальной функцией:
M 0 = e/mcos(2nf/Tp) |
(VII. 41) |
где б,™ — максимальная величина отклонения.
Дисперсия концентраций на входе определяется при этом вы ражением
9 |
1 |
(77 = |
(VII. 42) |
Для вычисления смесительного, воздействия вводится новая функция Фи (т) = б; (/)б0(/ + тр)/б|(/), которая получила название
«нормализованная автокорреляция флуктуаций на входе в смеси тель». В случае синусоидальной флуктуации
Фц (т) = cos (2ят/тр) (VII. 43)
Отношение дисперсий концентрации на выходе и на входе равно
ф ф |
|
оЦа} = 2 ^ J Ф(т) E ( t ) E ( t + т) dt dx |
(VII. 44) |
О о |
|
где E(t) — функция, характеризующая распределение |
времен нахождения дис |
пергируемого компонента в рабочем объеме смесителя. |
|
Для идеального смесителя, конструкция которого обеспечивает непрерывную оптимизацию ориентации диспергируемого компо нента относительно направлений линий тока, относительная дис персия концентраций находится следующим образом:
*о/бI = F (/) = |
[1 - exp ( - t/t)] |
|
(VII. 45) |
|
где t — время |
фактического пребывания в смесителе |
данного |
элемента объема |
|
смеси; 1 = |
V/Q — среднее время пребывания единицы |
объема |
в рабочей камере |
|
смесителя |
(V — объем рабочей камеры смесителя; Q — объемная производитель |
ность непрерывного смесителя).
Распределение времен пребывания в смесителе определяется выражением:
B(t) |
= |
dF(t) |
1 |
- t/t |
dt |
— e |
(VII. 46) |
||
|
|
t |
|
Подставляя значение £(/) в уравнение (VII. 44), получим:
(VII. 47)