2385
.pdfВоспользуемся признаком сходимости Бертрана. Вычисляем предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 !e |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n!en |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Здесь B < 1, следовательно, ряд расходится. |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2.9. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
nln nln ln n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
признаком |
|
сходимости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ермакова. Составляем функцию |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
и находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x ln x ln ln x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предел lim |
x ln x ln ln x ex |
lim ln ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x ex ln ex ln ln ex |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Здесь Е > 1, следовательно ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2.10. Исследовать на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) 1 1 |
|
1 3 |
|
|
2n 1 !! |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) 1 1 ... n 1 1 ... n 1 F , , ,1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n! 1 ... n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
— гипергеометрический ряд. |
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
а) |
Найдем |
отношение |
|
|
|
|
|
|
|
и |
воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формулой Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
n |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
1 |
1/ 2 |
|
1/ 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
an 1 |
|
2n |
1 |
2n |
|
2n |
|
1 2 2n 2 |
|
n |
|
|
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131
n 14 - величина ограниченная, а 12 1, следовательно ряд расходится.
б) Применим признак Гаусса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
an |
|
|
|
|
|
1 n n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пользуясь разложениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
n |
1 |
|
|
n2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
представим отношение |
|
an |
|
|
в виде |
|
an |
|
1 1 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь n |
— ограничена и ряд сходится при 0 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расходится при 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Ряд с членами разных знаков называется знакопеременным рядом
|
a a |
a |
... |
(1) |
a |
||||
n |
1 2 |
3 |
|
|
n 1
Ряд называется знакочередующимся, если знаки членов этого ряда строго чередуются
|
|
1 n 1 an a1 a2 a3 ... |
(2) |
n 1
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов
|
|
|
|
|
an a1 |
a2 |
a3 |
... |
(3) |
n 1
132
Сходящийся знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (3), составленный из абсолютных значений его членов, расходится.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (2) сходится, если его члены при n монотонно убывают по абсолютной
величине стремясь к нулю, т. е. lim an 0.
n
При исследовании рядов (1), (2) на абсолютную сходимость следует использовать достаточные признаки сходимости.
Оценка погрешности. Если в сходящемся знакочередующемся ряде ограничиться первыми п членами, то
остаток Rn ряда Rn S Sn 1 n un 1 1 n 1 un 2 ... имеет знак первого отброшенного члена и будет меньше его по абсолютной величине Rn un 1 . В силу этого свойства
знакочередующиеся ряды весьма удобны для вычислений с заданной степенью точности.
3.1. Исследовать на сходимость ряды:
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
sin n |
|
|
|
n2 n |
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
а) 1 |
|
|
|
|
|
... |
б) |
|
|
|
; |
|
в) 1 |
|
|
|
; |
||
3 |
5 |
7 |
n |
2 |
|
|
2 |
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) 1 n ln n . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
Решение. а) Данный ряд знакочередующийся. Найдем |
|||||||||||||||||||
a член ряда: a |
|
1 n 1 |
. Члены ряда убывают по абсолютной |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
величине, |
стремясь к нулю |
lim |
|
|
0 , следовательно, по |
||||||||||||||
2n 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
признаку Лейбница ряд сходится.
Для выяснения сходимости ряда, составленного из абсолютных значений его членов, воспользуемся интегральным признаком
133
1
dx |
|
|
1 |
lim |
|
d 2x 1 |
|
1 |
lim ln (2x 1) |
|
|
|
|
||||||||||||
2x 1 |
2 |
1 |
2x 1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 lim ln 2 1 .
2 n
Так как интеграл расходится, то расходится и ряд, составленный из абсолютных значений его членов. Следовательно, исходный ряд — условно сходящийся ряд.
б) Ряд знакопеременный. При любом предел
lim sin 2 n 0 , следовательно, ряд может сходиться, т.к. члены
n n
его стремятся к нулю не монотонно. Рассмотрим теперь ряд,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
составленный из абсолютных значении его членов |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Сравнивая |
его со |
сходящимся рядом Дирихле |
|
|
, |
|||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
||||
убеждаемся |
|
|
sin n |
|
|
|
1 |
по первому признаку сравнения в его |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||||||
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимости. Отсюда следует, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
в) Запишем разложение ряда
1 |
n2 n |
nn |
1 |
2 |
3 |
|
4 ... |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
8 |
|
|
|
n 1 |
|
2 |
|
16 |
|
Отсюда видно, что ряд знакопеременный. Исследуем на сходимость по признаку Даламбера ряд, составленный из
абсолютных значений его членов nn .
n 1 2
lim n 1 |
|
2n |
|
1 |
, D < 1. |
n 2n 1 |
|
n |
|
2 |
|
Так как по признаку Даламбера ряд сходится, то искомый ряд сходится абсолютно.
134
|
г) |
Ряд |
знакочередующийся. По признаку |
Лейбница |
|
lim ln n |
lim |
1 |
0 ряд сходится. Исследуем на |
сходимость |
|
n |
n |
n n |
|
|
ряд, составленный из абсолютных величин. Воспользуемся интегральным признаком сходимости
ln x dx lim ln xd ln x |
1 lim ln2 |
x |
|
|
|
|||
|
||||||||
2 |
x |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 lim ln2 ln2 2 .
2 n
Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд. Таким образом, исходный ряд есть ряд условно сходящийся.
3.2. Найти сумму ряда 1 21! 41! 61! 81! ...с точностью
до 0,01.
Решение. Согласно свойствам сходимости знакочередующихся рядов абсолютная величина первого отброшенного члена должна быть меньше 0,01. Поскольку
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, |
то |
достаточно найти |
сумму |
первых |
трех |
||||||||||||||||
|
|
720 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6! |
|
|
|
|
|
100 |
|
чтобы |
обеспечить |
заданную |
точность |
|||||||||||||||||||||
членов |
|
|
|
|
ряда, |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 1 |
|
1 |
0,541. |
Сумма |
отброшенного |
ряда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
4! |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
2 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
... по |
абсолютной величине |
меньше |
1 |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
720 |
|||||||||||||||||||||||
6! |
8! 10! |
|
|
вычисление |
выполнено |
с |
|
6! |
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
точностью |
до |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0.01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2.4. Степенные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1°. Ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an xn |
a0 |
a1x1 |
a2 x2 a3 x3 ..., |
|
|
|
(1) |
|
n 0
где a0 , a1, a2 , a3 ,...— постоянные числа, называется степенным рядом расположенным по степеням х.
135
Если степени х заменить степенями разности x x0 , то получим ряд
|
n a0 a1 x x0 |
a2 x x0 2 ..., |
|
an x x0 |
(2) |
n 0
который также называется степенным рядом.
2°. Число R называется радиусом сходимости ряда (1),
если при x R ряд сходится абсолютно и расходится при x R . Радиус сходимости ряда (1) находят по формуле
R lim |
|
an |
|
. |
(3) |
|
an 1 |
||||||
n |
|
|
Интервал (-R, R) — называется интервалом сходимости ряда. Интервалом сходимости для ряда (2) служит интервал
x x0 R , с центром в точке x x0 , внутри которого ряд сходится абсолютно; при x x0 R — ряд расходится.
3°. Под областью сходимости рядов (1), (2) понимают один интервал числовой оси, симметричный относительно точки
x=0 для ряда (1) и точки x x0 для ряда (2), который может
быть закрытым, открытым и полуоткрытым. Область сходимости степенных рядов обычно определяют с помощью признака Даламбера, применяя его к ряду, членами которого являются абсолютные величины членов исследуемого ряда. Граничные точки x, для которых признак Даламбера не решает вопрос о сходимости ряда ( D 1), исследуются особо, с помощью других достаточных признаков сходимости.
4.1. Найти область сходимости рядов:
|
|
|
5 |
x |
2n |
|
( 1) |
n 1 |
x |
n |
|
|
|
( 1) |
n |
x |
2n |
|
||||
а) |
n 1 |
|
; б) |
|
|
|
; |
в) |
|
|
|
; |
||||||||||
2n 1 |
|
n |
|
|
|
n |
n 1 |
|
n 1 |
|||||||||||||
n 0 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|||||||||||
|
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
|
|
|
x 5 2n 1 ; |
д) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 (n 1)! |
|
|
|
n 1 |
|
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
а) Используем признак Даламбера: |
|
|
|
|
136
a |
n 1 5 x2n |
; |
|
|
a |
|
n 2 5 x2n 2 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
2n 3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
an 1 |
|
lim |
|
x2n 2 |
|
n 2 5 2n 1 |
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2n 3 n 1 5 |
|||||||||||
n |
|
|
an |
|
n |
|
x2n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и определяем, при каких значениях х этот предел меньше 1;
x2 1, отсюда |
1 x 1. В |
этом |
интервале ряд сходится |
||||||||
абсолютно. |
При |
|
x |
|
1 |
ряд |
расходится. Граничные |
точки |
|||
|
|
||||||||||
x 1 исследуем особо. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Пусть |
x 1 , тогда |
получим |
числовой ряд |
n 1 |
, |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
2n 1 |
который расходится, т.к. не выполняется необходимый
признак сходимости ряда lim n 1 5 . При х = 1 ряд имеет
n 2n 1
тот же вид и также расходится, следовательно, областью сходимости является открытый интервал 1 x 1.
б) Используем признак Даламбера
an |
1 n 1 xn |
; |
|
an 1 |
1 n xn 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
a |
n 1 |
|
lim |
|
xn 1 |
|
n |
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
an |
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и определяем, при каких значениях х этот предел меньше единицы x 1; 1 x 1. В этом интервале ряд сходится
абсолютно.
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||
При |
x 1 |
получаем ряд |
|
1 |
|
, который сходится по |
||||||
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
||
признаку |
Лейбница |
lim |
0 . |
При |
x 1 |
получим |
||||||
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
расходящийся |
гармонический |
ряд |
|
1 |
, |
все числа |
||||||
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
137
которого отрицательны. Таким образом, областью сходимости
данного ряда является полуоткрытый интервал |
1 x 1. |
|||||||||||||||
в) По признаку Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
an |
1 n x2n |
; |
an 1 |
|
1 n 1 x2n 2 |
; |
||||||||||
3n n 1 |
|
n 1 |
3n 1 n 2 |
n 2 |
||||||||||||
|
lim |
|
an 1 |
|
|
x2 |
|
lim |
n 1 |
n 1 |
|
x2 |
. |
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n 2 |
n 2 |
|
|
|||||||||
|
n |
|
an |
|
3 |
|
n |
3 |
|
|
|
|
Ряд сходится абсолютно при |
|
3 x |
3 . На границах |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 ряд примет вид |
|
1 |
|
|
, который сходится по |
||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
признаку |
Лейбница |
lim |
1 |
|
|
|
|
0 . |
Следовательно, |
||||||||||||||
|
|
|
n |
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n (n 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
областью |
сходимости |
|
будет |
|
закрытый |
|
интервал |
||||||||||||||||
|
3 x |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
г) По признаку Даламбера имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
an 1 |
|
lim |
n 1 5 |
|
x 5 |
|
2n 3 n 1 ! |
x 5 2 |
lim |
1 |
|
0 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
an |
|
n n 2 ! |
n5 |
x 5 |
2n 1 |
|
|
|
n n 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ряд сходится при любом значении х, то его интервал сходимости есть вся числовая ось x .
д) По признаку Даламбера
lim |
|
an 1 |
|
lim |
|
x 3 n 1 n5n |
|
|
|
x 3 |
|
|
lim |
n |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n 1 5n 1 x 3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
an |
|
n |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
n n 1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
Ряд сходится абсолютно при |
|
|
x 3 |
|
|
|
1 или |
5 x 3 5 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
2 x 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8 ряд имеет |
|||||||||||||||||
Граничные точки исследуем особо. |
При |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
вид |
1 и расходится. При x 2 |
|
ряд имеет вид |
1 |
, и |
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
138
по признаку Лейбница сходится: |
lim 1 0 . Таким образом, |
||
|
|
n n |
|
областью сходимости |
является |
полуоткрытый |
интервал |
2 x 8 . |
|
|
|
2.5. Функциональные ряды |
|
|
|
1°. Ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
an x a1(x) a2 (x) a3 (x) ..., |
(1) |
||
n 1 |
|
|
|
где a1 (x), a2 (x), a3 (x),... — |
некоторые функции переменной х, |
называется функциональным.
Под областью сходимости понимают множество значений аргумента х, при которых ряд (1) сходится. При определении области сходимости обычно используют признак Даламбера, а граничные точки, в которых D 1 исследуют с помощью других достаточных признаков сходимости рядов.
2°. Равномерная сходимость. Функция S(x) lim Sn (x)
n
называется суммой ряда (1), а разность Rn (x) S(x) Sn (x) —
остатком ряда. Ряд (1) сходится равномерно на промежутке [а,b], если для любого 0 , можно найти такое N, что при n N для всех x из данного промежутка выполняется
неравенство Rn (x) .
Функциональный ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на промежутке [а,b], если существует такой
сходящийся положительный числовой ряд cn , что
n 1
an (x) cn при a x b (признак Вейерштрасса).
Если a1(x),a2 (x),a3 (x) ,…— непрерывные функции в
области их определения и ряд (1) равномерно сходится в этой области, то его сумма f(x) есть функция непрерывная. Если ряд
139
из непрерывных функций сходится, но неравномерно, то его сумма может оказаться разрывной функцией.
5.1. Определить область сходимости: а) ( 1)n 1 1 ;
nln x
n 1
|
x |
|
|
|
|
|
б) 2n sin |
; в) lg(x 4) lg2 |
(x 4) ... lgn (x 4) ... |
||||
n |
||||||
n 0 |
3 |
|
|
|
|
|
Решение. а) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
величин |
исходного ряда |
|
и для определения |
|||
ln n |
||||||
|
|
|
n 1 |
n |
сходимости сравним его со сходящимся рядом Дирихле 1p .
n 1 n
При x e ; |
p ln x 1, следовательно, наш ряд на основании |
|||
признака Вейерштрасса сходится абсолютно. |
|
|||
При x e ряд имеет вид |
|
1 |
и является по |
|
1 n 1 |
||||
|
|
n 1 |
n |
|
признаку Лейбница условно сходящимся рядом. При 1 x e ; 0 ln x 1 и ряд по признаку Лейбница сходится, а сравнивая ряд с членами из абсолютных величин с рядом Дирихле
убеждаемся, что он сходится неабсолютно. При |
|
|
0 x 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
ln x 0 и |
ряд расходится, |
|
т.к. не выполнен |
необходимый |
|||||||||||||||||||||||||||
признак сходимости |
lim |
|
1 |
|
|
. Следовательно, |
|
|
при x e |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n nln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ряд сходится абсолютно, при 1 x e |
|
сходится условно, при |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 x 1 расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Используем признак Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D lim |
|
an 1 |
lim |
2 |
|
sin |
3n 1 |
|
2 lim |
|
|
3n 1 |
|
3n |
sin |
3n 1 |
|
|
2 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
an |
n |
|
2n sin |
x |
|
|
|
n |
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Предел D меньше 1 и ряд сходится при любом значении х, область сходимости x .
140