2398
.pdf9.Дайте три определения непрерывности функции в точке.
10.Перечислите типы точек разрыва функции и опишите каждый из них.
11.Каковы основные теоремы о непрерывных в точке функци-
ях?
12.Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрез-
ке.
13.Какова геометрическая интерпретация теоремы о нуле непрерывной функции?
3.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1. Дифференцируемость функции
Пусть имеется функция y f x , определенная и непрерывная в точке a и ее окрестности. Тогда некоторому приращению ар-
гумента |
x |
будет соответствовать приращение |
функции |
|
y f a x f a . |
|
|
||
Функция y f x называется дифференцируемой в точке a , |
||||
если приращение функции y |
имеет вид y A x x , где A |
|||
является |
только |
функцией a |
и не зависит от x , |
а x - |
бесконечно малая величина более высокого порядка малости по
сравнению с приращением аргумента x , т.е. lim x 0 . Глав-
x a x
ная линейная по x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df a . Диф-
ференциалом независимой переменной величины x является ее приращение x , т.е. условно полагается , что dx x .
|
Рассмотрим предел отношения приращения функции |
y к |
|||||||||
приращению |
аргумента x |
при x a |
для |
дифференцируемой |
|||||||
функции |
A x x |
|
|
x |
|
x |
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
lim |
|
|
lim A |
|
A lim |
|
A . |
||
|
|
|
|
|
|||||||
x a x |
x a |
x |
|
x a |
x |
|
x a |
x |
|
Величина A , определенная как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при x a ( x 0 ) играет
30
очень важную роль, называется производной функции y f x по
независимой переменной x при данном ее значении x a и обозна- |
||||||||
чается y , |
f a , |
dy |
или |
df a |
. Дифференциал |
dy записывается |
||
dx |
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
следующим образом: dy = y dx . Операцию нахождения производ-
ной называют дифференцированием.
Легко выяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции. Введем сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1
(рис. 12).
y |
|
|
|
|
dy |
M1 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
M |
|
y |
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x x |
x |
Рис. 12
Прямую MM1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1 двигаясь вдоль кривой L , неограниченно при-
ближается к точке M . Тогда секущая, поворачиваясь около точки M , стремиться к некоторому предельному положению .
Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей MM1 , проходящей через точку М,
когда вторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M . Касательная к графику функции образует угол с осью Ох. Секущая MM1 образует с осью Ox угол .
Угловой коэффициент секущей kсек = tg = yx . При приближении
точки M1 к точке M секущая, поворачиваясь около точки M , переходит в касательную. Угол наклона секущей стремится к углу
наклона касательной , т.е. lim . Поэтому угловой коэффи-
x a
31
циент касательной равен производной от ординаты y по абсциссе x
k |
кас |
= tg = lim tg |
= lim y |
= y . |
|
x a |
x a x |
|
|
|
|
|
||
Из рис.12 становится понятным геометрический смысл диф- |
ференциала dy , представляющего приращение ординаты касатель-
ной при переходе от точки a к точке a x .
Для выяснения физического смысла производной рассмотрим движение материальной точки по оси Oy . Координата материальной точки y является дифференцируемой функцией времени t . В
момент времени t0 материальная точка имеет координату y t0 . В
момент времени t0 t |
материальная точка приобрела координату |
|||||||||
y t0 t . Средняя скорость перемещения материальной точки за |
||||||||||
промежуток времени t равна |
|
|
|
|||||||
|
|
Vср |
|
y t0 t y t |
|
y |
. |
|||
|
|
|
t |
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если устремить t |
к нулю и рассмотреть lim Vср , равный |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
мгновенной скорости материальной точки Vм гн, то можно заметить, |
||||||||||
что lim V |
= lim y = |
dy |
, т.е. предел отношения приращения ко- |
|||||||
|
||||||||||
t 0 |
ср |
t 0 t |
dt |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ординаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.
Связь непрерывности и дифференцируемости функции устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Если функция y f x дифференцируема в некоторой точке x0 , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.
Пример 3.1. Функция f(x) определена на промежутке 0, следующим образом (рис.13):
32
|
x, |
0 x 1, |
f (x) |
2x 1, |
1 x . |
|
y
y 2x 1
y x
|
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
При |
x=1 |
функция |
непрерывна, |
так |
как |
lim f (x) |
lim f (x) f (1) 1, но не дифференцируема. |
|
|||
x 1 0 |
x 1 0 |
|
|
|
|
3.2. Правила дифференцирования
Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.е. если y c , где c const, то y 0 .
Теорема 2. Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.
u x v x u x v x .
Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
|
|
y'= lim |
(u(x x) v(x x)) (u(x) v(x)) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x x) u(x) |
|
v(x x) v(x) |
|
|
u |
|
u |
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
u' v'. |
|
|
x |
x |
v |
v |
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
33
Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на пер-
вую, т.е.
u x v x u x v x u x v x .
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
u x v x |
lim |
u(x x) v(x x) u(x) v(x) |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
lim |
|
v(x x)u(x x) u(x x)v x u x x v x u(x)v(x) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
v x x v x |
v x |
u x x u x |
|||||||
|
|
lim u(x x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
v |
|
|
x |
|
||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u(x) lim |
v |
v(x) lim |
u |
v x u x u x v x . |
||||||||
|
|
|
x 0 |
x |
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак |
|||||||||||||
производной, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cu x cu x . |
|
|
|
|
|
||||
|
Доказательство. |
По теореме о производной |
произведения |
cu x c u x cu x . Поскольку производная постоянной вели-
чины равна нулю c 0 , то получаем cu x cu x .
Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.
u x |
|
u x v x u x v x |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
v |
x |
|
||
v x |
|
|
|
34
|
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x x) |
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x x) |
|
|
v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
lim |
u(x x)v(x) v(x x)u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
xv(x x)v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
u(x x)v(x) u x v x u x v x v(x x)u x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
xv(x x)v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
u(x x)v(x) u x v x |
|
|
lim |
v x x u x v x u x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xv x x v x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
xv(x x)v(x) |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
u(x x) u x |
v x |
|
|
|
|
|
|
|
v x x v x |
|
u x |
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
v x v x x |
|
x 0 |
x |
|
|
|
v x v x x |
|
|||||||||||||||||||||
lim |
u x v(x) v (x)u x |
|
u x v x u x v x |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
v(x x)v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.3.Производная степенной, показательной
итригонометрических функций
1.Степенная функция y xn , n R .
Найдем приращение функции y , придав аргументу x при-
ращение x : y x x n xn . Поэтому в соответствии с определением производной имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
x n lim |
y |
|
x x |
n |
n |
|
|
|
|
x |
|
|
||
lim |
|
x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x n |
lim |
|
|
|
|
|
nxn 1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|||
|
|
Покажем, что бесконечно малые величины |
|
|
|
1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
||||||
|
|
являются эквивалентными. Пусть |
|
|
|
|
, а 1 |
|
|
|
|
1 z , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
z |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
1 n 1 z , |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
z 1 1 n , |
а |
|||||||||||||||||||||||
ln 1 z n ln 1 . Так как бесконечно малая величина |
|
ln 1 z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эквивалентна величине z , |
|
а бесконечно малая величина |
|
ln 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эквивалентна величине , то |
ln 1 z |
|
|
|
|
|
n ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
z |
lim |
|
lim |
|
1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n ln 1 |
n ln 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, производная степенной функции равна |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn nxn 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2. Показательная функция y a x , a 0, a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найдем приращение функции y , придав аргументу |
x |
при- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ращение x : y a x x a x . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
a x x a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a x |
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
a x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
В пределе перейдем к новой переменной |
|
|
y a x 1, |
которая |
тоже является бесконечно малой величиной. Используя второй за-
36
мечательный предел
x loga 1 y , имеем:
a x lim |
a x 1 |
a x |
||
x |
|
|||
x 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
lim 1 y |
|
|
e |
и |
соотношение |
||||
|
y |
|||||||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
y |
a x lim |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
y 0 loga 1 y |
y 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
loga 1 |
y y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a x lim |
1 |
|
|
a x ln a . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y 0 loga e |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, производная показательной функции равна
a x == a x ln a .
При a = e имеем:
e x e x .
3. Тригонометрические функции y sin x, y cos x, y tgx, y ctgx .
Для функции y sin x имеем:
sin x
2 lim
x 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
sin x x sin x |
|
|
2 sin |
cos x |
|
|
||||||||
lim |
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
cos x lim |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
cos x , |
|
|||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
т.е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||
|
Для функции y cos x имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
||
|
|
cos x x cos x |
|
|
sin x |
2 sin |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos x |
|
lim |
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
37
|
|
x |
|
x |
|
|
|
sin x |
sin |
|
|
||
- 2 lim |
|
2 |
|
2 |
|
- sin x lim |
|
x |
|
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- sin x . |
|
|
|
|
cos x |
|
x |
|
|
sin |
|
|
|
|
2 |
- sin x , |
|
x |
|||
|
|||
2 |
|
|
Для нахождения производных функций y tgx, |
y ctgx вос- |
||||||||||||||||||||||||||||
пользуемся формулой производной частного: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
2 |
sin x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
sin x |
cos x sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
cos x 2 |
|
|
|
cos2 |
|
|
||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos x |
|
|
cos x sin x cos x sin x |
|
|
sin x 2 |
cos x 2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
sin x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x 2 |
|
|
|
|
sin 2 |
|
||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Обратные функции. Производная обратной функции
Пусть задана функция y f x с областью определения D и множеством значений E . Если каждому значению y E ставится в соответствие единственное значение x D , то определена функция x y с областью определения E и областью значений D , называемая обратной по отношению к функции y f x . Про функции y f x и x y говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение y f x относительно x , то по исходной функции можно найти обратную функцию. Например, для функции
38
y 3x обратной функцией будет функция x 31y . Однако, если,
как обычно, независимую переменную обозначить через x , а зависимую переменную через y , то функция, обратная функции
y f x , запишется в виде y x . В последнем примере для функции y 3x обратной будет функция y 31x .
Для существования взаимно однозначного соответствия между множествами E и D необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обрат-
ных функций y f x и x y совпадают, то графики функций y f x и y x симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.
Теорема. Если функция y f x строго монотонна на промежутке a,b и имеет неравную нулю производную f x в любой точке этого промежутка, то обратная ей функция x y также имеет производную y в соответствующей точке, определяемую
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенством x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Рассмотрим |
|
обратную функцию x y . |
|||||||||||||
Пусть аргумент y и функция x испытывают приращения y |
и x . |
||||||||||||||
Поэтому можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x lim |
x |
lim |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
||
y |
|
y |
|
y |
f |
x |
|
||||||||
|
y 0 |
y 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.
Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической функции y loga x .
Рассмотрим функцию y a x с известной |
|
производной |
||
|
a x ln a . Тогда для обратной функции |
x log |
|
y можно ука- |
a x |
a |
|||
|
|
|
|
39