2539
.pdfРешение. а) Переходим к обобщенным полярным
координатам x = aρ cosϕ, y = bρsinϕ . |
|
|
|||
Якобиан будет |
|
|
|
||
I (ρ,ϕ)= |
|
a cosϕ |
−aρsinϕ |
|
= abρ . |
|
|
||||
|
|
bsinϕ |
bρ cosϕ |
|
|
Пределы интегрирования: |
0 ≤ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤1. Таким |
образом, интеграл в обобщенных полярных координатах примет вид
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2π |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
∫∫ |
|
1− |
|
− |
y |
dxdy = ab ∫ dϕ∫ρ |
1− ρ2 d ρ = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
2π |
2 πab. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= − ab ∫ |
(1− ρ2 )2 |
|
dϕ = ab |
ϕ |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) Переходим |
|
к |
|
новым |
переменным y = ux3 , y2 = ux , |
||||||||||||||||||||
тогда |
x = u |
−2 |
1 |
y = u |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5 v5 , |
|
5 v5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычисляем якобиан преобразования |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
−7 1 |
1 |
|
−2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− |
|
u |
5v5 |
|
|
u |
|
5v |
5 |
|
6 |
|
8 1 |
8 1 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I (u,v)= |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
=− |
u−5v−5 + |
1 |
u−5v−5 |
=− |
. |
||||||
|
|
−6 3 |
|
−1 − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
25 |
|
|
25 |
|
55 u8v |
||||||||||||
|
|
− |
|
u |
5v5 |
|
|
u |
|
5v 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения линий принимают вид:
u = a, u = b, v = p, v = q .
Область S плоскости Оху преобразуется в прямоугольник G плоскости Ouv′ . Тогда по формуле (3) будем иметь
∫∫xydxdy = −1 |
b |
q |
|
2 1 |
|
|
1 3 |
|
|
|
8 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
q |
|
11 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫du∫u |
−5 v5u− |
5 v5u− |
5v−5 dv = − |
∫du∫u− 5 v5 dv = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
5 a |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 a |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 b |
|
− |
11 |
|
8 |
|
q |
|
5 |
|
1 |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
− |
6 |
|
b |
|
5 |
|
|
− |
6 |
|
− |
6 |
|
8 |
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= − |
9 ∫a |
u |
|
5 v5 |
du = |
|
|
|
q5 − p5 |
u |
|
5 |
|
|
|
= |
|
b |
|
5 −a |
|
5 |
q5 − p5 |
. |
||||||||||||||||
|
8 |
8 |
|
|
|
|
48 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
1.3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности
1°. Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, ограниченная областью D, находится по формуле
|
|
|
|
|
S = ∫∫dxdy . |
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
область D определена |
неравенствами a ≤ x ≤ b , |
|||||||||||||
ϕ(x)≤ y ≤ψ (x), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ (x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S = ∫b dx ∫ |
dy |
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a ϕ(x) |
|
|
||||||
2°. Площадь плоской фигуры в криволинейных |
|||||||||||||||
координатах находится по формуле |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S ∫∫ |
|
I |
|
dudv , |
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
I = |
|
∂u |
|
∂v |
≠ 0 |
, в области G. |
|
||||||
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если область G задана в полярных |
|||||||||||||||
координатах и |
определена |
|
|
неравенствами |
α ≤ϕ ≤ β , |
||||||||||
f (ϕ)≤ ρ ≤ψ (ϕ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
ψ (ϕ) |
|
|||
|
S = ∫∫ρdϕd ρ = ∫dϕ ∫ ρd ρ . |
(4) |
|||||||||||||
|
|
G |
|
α f (ϕ) |
|
||||||||||
3°. |
Если |
гладкая |
поверхность задана |
уравнением |
|||||||||||
z = z (x, y), то площадь поверхности находится по формуле |
|||||||||||||||
|
S ∫∫ |
|
|
∂z |
2 |
|
∂z 2 |
|
(5) |
||||||
|
1+ |
+ |
|
|
|
|
|
dxdy , |
|||||||
|
D |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
где D - проекция данной поверхности на плоскость Оху.
22
Аналогично, если поверхность задана уравнением x = x (y, z), то
S = ∫∫ |
|
∂x 2 |
|
∂x 2 |
(6) |
|
1+ |
|
+ |
|
dydz |
||
D |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
где D - проекция поверхности на плоскость Oyz; если поверхность
S = ∫∫ |
|
∂y 2 |
|
∂y 2 |
(7) |
|
1+ |
|
+ |
|
dxdz |
||
D |
|
∂x |
|
∂z |
|
|
здесь D - проекция поверхности на плоскость Oxz.
3.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y = x, y = 4 x и x =1; б) y = ln x, x − y =1, x = 0 и y = −2 .
Решение. а) Построим параболы и прямую (рис. 1.15.).
|
|
|
Рис. 1.15 |
|
|
|
Согласно формуле (2) имеем |
|
1 |
||||
1 |
4 |
x |
1 |
3 |
|
|
|
||||||
S = ∫dx |
∫ |
dy = 3∫ |
xdx = 2x2 |
|
= 2 . |
|
0 |
|
x |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
б) Построим область, ограниченную линиями (рис. 1.16.). 23
Рис. 1.16
Поскольку область ограничена линиями, имеющими различный аналитический вид, то при вычислении площади ее следует разбить на две части прямой у =- 1. Вся площадь равна сумме интегралов
S = ∫0 |
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy e∫ dx + −∫1 dye∫dx = ∫0 (ey −(1+ y))dy + −∫1 ey dy = |
|||||||||||||||||
−1 |
1+y |
|
−2 |
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
||||
|
|
|
y |
|
y2 |
|
0 |
y |
|
−1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
e |
|
− y − |
|
|
|
+e |
|
|
|
= |
|
− |
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
−2 |
2 |
e |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Вычислить площадь, ограниченную линиями: а) ρ = a (1−cosϕ), ρ = a и расположенную вне круга.
б) (x2 + y2 )3 = x4 + y4 ; в) x2 + y2 = 4, xy = 3 (x > 0, y > 0) в
полярной системе координат; г) x4 = a2 (x2 −3y2 ). Решение. а) Представим кардиоиду и круг на рис. 1.17.
Рис. 1.17
24
В силу симметрии относительно полярной оси достаточно найти половину искомой площади. Для этого воспользуемся формулой (4)
1 |
|
|
|
|
π |
a(1−cosϕ) |
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S = ∫dϕ |
∫ ρdρ = |
∫(a2 (1−cosϕ)2 −a2 )dϕ = |
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
= |
|
|
∫(−2cosϕ +cos2 ϕ)dϕ = |
|
|
|
|
−2sinϕ |
π0 |
+ |
∫(1+cos 2ϕ)dϕ |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
ϕ + |
|
|
sin 2ϕ |
|
|
|
= |
|
π. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Таким образом |
S = 1 πa2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Так как переменные x и y |
четных степенях, то фигура |
симметрична относительно координатных осей. Запишем уравнение линии в полярной системе координат x = ρ cosϕ ,
y = ρsinϕ : ρ6 = ρ4 (cos4 ϕ +sin4 ϕ) или ρ2 = cos4 ϕ +sin4 ϕ .
Для нахождения площади воспользуемся формулой (4)
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π (cos4 ϕ+sin4 ϕ)2 |
ρd ρ = 1 |
2π |
(cos4 ϕ +sin4 ϕ)dϕ = |
|
|||||||||
S = ∫ dϕ |
|
∫ |
∫ |
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
2∫π ((1+cos 2ϕ)2 +(1−cos 2ϕ)2 )dϕ = |
1 |
2∫π (1+cos2 2ϕ)= |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|||
= |
1 |
|
1 2π |
|
|
|
= |
1 |
|
1 |
|
= |
3π |
. |
|
4 |
2π + |
2 ∫0 |
(1+cos 4ϕ)dϕ |
4 |
2π + |
2 |
2π |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Представим площадь, ограниченную заданными кривыми, на рис. 1.18. Из совместного решения уравнений кривых находим координаты точек А и В:
x2 + y2 = 4, xy = 3 x2 + x32 = 4 x4 −4x2 +3 = 0
x1,2 = ± 3, x3,4 = ±1 A(1, 3), B ( 3,1).
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Зная |
|
|
|
координаты |
|
|
точек |
|
|
А и |
В, |
|
из |
|
выражений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg β = |
y |
|
= |
|
|
|
3 |
|
и tg α = |
|
1 |
|
|
|
|
|
находим, |
что |
|
полярный угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
меняется от |
π |
до |
π |
. Полярный радиус меняется от кривой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xy = |
|
|
3 |
|
|
|
до |
окружности, |
|
|
т. е. от |
|
ρ cosϕρ sinϕ = |
3 |
или от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до 2. Отсюда по формуле (4) будем иметь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sinϕ cosϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S = ∫3 dϕ ∫2 |
|
|
|
|
|
ρdρ = |
1 |
∫3 ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sinϕcosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕcosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
dϕ |
|
|
|
|
π |
|
3 |
3 |
d tgϕ |
|
||||||||||||
= |
|
∫ |
|
4 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
− |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
∫ |
|
= |
||||||||||||
2 |
|
sin |
ϕcosϕ |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
tgϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π sinϕcosϕ |
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
tgϕ |
|
3 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
ln |
3 −ln |
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
ln 3. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
г) |
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
левая |
|
часть |
|
уравнения |
|
кривой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 = a2 (x2 −3y2 ) |
всегда |
|
|
|
|
положительна, |
|
|
то |
|
x2 ≥ 3y2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся полярными координатами ρ2 cos2 ϕ ≥ 3ρ2 sin2 ϕ
или tg2ϕ ≤ 13 . Откуда tg ≤ ± 33 и − π6 ≤ϕ ≤ π6 (рис. 1.19).
Рис. 1.19
В силу симметрии лемнискаты относительно координатных осей достаточно найти площадь одной четвертой части
при 0 ≤ϕ ≤ |
π . Уравнение кривой в полярной системе будет |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 = |
a2 (cos2 ϕ −3sin2 ϕ) |
. Таким образом, площадь будет |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
cos4 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
a(cos2 ϕ−3sin2 ϕ)2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
cos2 ϕ |
|
2 |
6 |
cos2 ϕ −3sin2 ϕ |
|
|||||||
|
|
∫ |
ρd ρ = 2a |
dϕ = |
|||||||||||
|
S = 4∫dϕ |
|
∫ |
cos |
2 |
ϕ cos |
2 |
ϕ |
|
||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
= 2a2 ∫6 (1−3tg2ϕ)dtgϕ =2a2 (tgϕ − tg3ϕ) |
= 4 |
|
3a2 . |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Вычислить площади, ограниченные линиями: |
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) x3 + y3 = a3 ; б) xy = a2 , xy = b2 , x =α y, x = β y, x > 0, y > 0 , a > b, α > β .
Решение. а) При вычислении площади, ограниченной астроидой, переходим к обобщенным полярным координатам
x = ρ cos3 ϕ, y = ρsin3 ϕ и вычисляем якобиан
27
I = |
cos3 |
ϕ −3ρ cos2 sinϕ |
= |
|||
sin3 |
ϕ |
3ρ sin2 ϕ cosϕ |
||||
|
|
= 3ρ (cos4 ϕsin2 ϕ +cos2 ϕsin4 ϕ)= 3ρsin2 ϕ cos2 ϕ.
Площадь, расположенная в первом квадранте, согласно формуле (3) будет равна
|
|
π |
dϕ∫a ρ sin2 ϕ cos2 ϕd ρ = |
|
π |
|
|||||||||||
1 S = 3∫2 |
3a2 |
∫2 sin2 2ϕdϕ = |
|||||||||||||||
4 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3a2 |
− 1 |
∫2 (1−cos 4ϕ)dϕ = |
3 a |
2 π . |
|
||||||||||
|
|
8 |
2 |
0 |
π |
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
|
|||
Таким образом S = |
πa2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Введем новые переменные u, v по формулам xy = u2 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||
x = uy .Откуда x = uv2 , y = uv |
|
2 . Вычислим якобиан |
|
||||||||||||||
|
|
v |
1 |
|
1 uv− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
= − 1 (uv−1 |
|
|
|
|
|||||||
I = |
|
1 |
2 |
|
3 |
+uv−1 )= −uv−1 . |
|||||||||||
|
v−2 |
− 1 uv−2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ≤ u ≤ a и |
|
Пределы |
|
изменения |
новых |
переменных: |
|||||||||||||
β ≤ v ≤α . Согласно формуле (3) площадь будет равна |
|||||||||||||||||
S = ∫a duα∫uv−1dv |
= u2 |
|
a ln v |
|
αβ = |
1 (a2 −b2 )ln α . |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
b |
|
|
β |
|
|
|
|
2 |
|
b |
2 |
β |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.4. Найти площадь поверхности: а) конуса x2 = y2 + z2 , |
|||||||||||||||||
расположенного |
внутри |
|
цилиндра |
|
x2 + y2 = a2 ; |
б) Сферы |
|||||||||||
x2 + y2 + z2 = 2a2 , расположенной внутри конуса y2 |
= x2 + z2 ; |
||||||||||||||||
в) x2 + y2 + z2 = a2 , |
|
|
вырезанной |
поверхностью |
|||||||||||||
(x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Решение. а) Из |
уравнения конуса имеем |
|
|
|||||||||||||||||
z = x2 − y2 , |
∂z |
= |
|
x |
|
|
, |
∂z |
= − |
|
|
y |
, |
|
||||||
∂y |
|
x2 − y2 |
∂y |
|
x2 |
− y2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂z 2 |
|
∂z |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
2x |
|
|
1+ |
+ |
|
= |
1+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||
∂y |
x |
2 |
− y |
2 |
x |
2 |
− y |
2 |
|
x2 − y2 |
||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть конуса, расположенная в первом октанте, проектируется на четверть круга, ограниченного окружностью х2 + у2 = а2 и осями координат Ох, Оу. Эта четверть круга является четвертой частью области интегрирования D. Поскольку поверхность конуса расположена в восьми октантах, то искомая площадь равна
|
|
|
|
|
|
S =8 |
2 ∫∫ |
|
xdxdy |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
x |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем |
|
|
|
|
к |
|
|
|
полярным |
|
|
координатам |
||||||||||
x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
4 |
a |
ρ2 cosϕd ρ |
|
|
|
|
|
|
2 4 |
cosϕdϕ |
|
|
||||||||||
S =8 2 ∫dϕ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 2a |
∫ |
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
cos |
2 |
ϕ |
−sin |
2 |
ϕ |
1−2sin |
2 |
|
|||||||||||||
0 |
0 ρ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ϕ |
|||||||||||
|
2sin2 ϕ = t2 , |
|
|
x = 0, t = 0 |
|
|
|
1 |
dt |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
π |
|
|
= 4a2 ∫0 |
|
= |
|
|||||||||||
4sinϕ cosϕdϕ = 2tdt, |
x = |
, t =1 |
|
1−t2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4a2 arcsin t |
|
|
1 = 2a2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Поскольку конус расположен вдоль оси Оу, то |
||||||||||||||||||||||
площадь заданной |
поверхности |
y = |
2a2 − x2 − z2 |
|
будем |
находить по формуле (7), где D — проекция поверхности на плоскость Oxz.
Приравнивая у в уравнениях сферы и конуса, находим
проекцию поверхности на плоскость Oxz x2 + z2 |
= a2 . Частные |
|||||
производные |
равны |
∂y |
= − |
x |
, |
|
∂x |
2a2 − x2 − z2 |
|||||
|
|
|
|
29
∂y |
= − |
|
|
z |
|
|
. Так как конус в сфере вырезает две |
||||||||||||||||||||||||||
∂z |
2a2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
− x2 − z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
равные поверхности, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
S = 2∫∫ 1+ |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
z2 |
|
|
|
dx dz = |
||||||||||
|
|
|
2a |
2 |
− x |
2 |
− z |
2 |
|
2a |
2 |
− x |
2 |
− z |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= 2a |
2 ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
dx dz |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2a |
2 |
− x |
2 |
− z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Переходя к полярным координатам, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2π a |
ρdρdϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
S = 2a 2 ∫ ∫ |
|
|
= −2a 2 2π |
∫(2a2 −ρ2 )− |
|
d |
(2a2 −ρ2 )= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
2a −ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= −4 2aπ (2a2 −ρ2 )2 |
|
0 |
= 4a2π (2 − 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − x2 − y2 |
||
в) Запишем уравнение поверхности в виде z = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
и найдем частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= − |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
∂z |
= − |
|
|
y |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
a2 − x2 − y2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
a2 − x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как направляющей цилиндра является лемниската, то в сечении со сферой имеем четыре равных лепестка и площадь поверхности будет равна
S = 4∫∫ |
1+ |
|
|
x2 |
|
|
+ |
|
|
y2 |
|
|
dxdy = 4a∫∫ |
|
|
dxdy |
|
. |
||||
a |
2 |
− x |
2 |
− y |
2 |
a |
2 |
− x |
2 |
− y |
2 |
a |
2 |
− x |
2 |
− y |
2 |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
Переходя к полярным координатам, уравнение лемнискаты примет вид ρ2 = a2 cos 2ϕ , а площадь поверхности вычисляется интегралом
π |
a |
cos 2ϕ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
a |
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
ρd |
ρdϕ |
4 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
S =8a∫ ∫ |
= −8a ∫(a |
− ρ |
)2 |
|
|
|
dϕ = |
|||||||||
a |
2 |
− ρ |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30