2893
.pdfточку ω0 , лежащую выше прямой y =14 , то приходим к выводу: круг z + 2i < 2 отображается на полуплоскость
Im z >14 .
Образ границы z + 2i = 2 можно было найти и другим способом, показанным на следующем примере.
Задача 8.15. В какую область переходит круг z +i < 3
при отображении ω =1 z ? |
|
Решение. Найдем образ окружности |
z +i = 3. |
Поскольку z = 0 не принадлежит этой окружности, то ни одна из ее точек не перейдет в ω = ∞. Значит, образом будет окружность конечного радиуса. Для отыскания ее центра и
радиуса |
положим |
z = x +i y , |
|
ω = u +i υ и представим |
||||||||
уравнение |
|
z +i |
|
= 3 в виде |
|
2 |
= 9 , x 2 + y 2 + 2 y −8 = 0 . |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
x +i u +1 |
|
|
= 3 |
, или |
x 2 + |
y +1 |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
Равенство ω =1 z дает z =1ω , или
1u −i υ
x+i y = u +i υ = u 2 +υ2 ,
Подставим эти выражения в уравнение окружности:
1 |
|
2 υ |
−8 = 0 , 8(u |
2 |
2 |
)+ 2υ−1= 0 , |
|
+ |
|
|
+υ |
||
u 2 + υ2 |
u 2 + υ2 |
|
u 2 +υ2 + υ4 −18 = 0 .
Дополним выражение υ2 +υ4 до полного квадрата:
2 2 υ |
|
1 2 |
1 |
|
1 2 |
|
2 |
|
|
1 2 |
9 |
|
|
u +υ + + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
= 0 , |
|
υ+ |
= . |
|||||||||
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
211
Итак, |
окружность |
|
z +i |
|
|
= 3 |
переходит в |
окружность с |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
центром ω0 = (0,−1 8) |
|
и |
|
|
радиусом |
R = 3 8 . |
Точка |
|
|
z → 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||
лежащая внутри круга |
|
z +i |
|
< 3 , |
переходит в точку |
ω = ∞. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значит, при отображении ω =1 z |
круг |
|
|
z +i |
|
< 3 переходит во |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внешность круга с центром ω0 = −i |
8 |
|
|
|
и радиусом |
|
R = 3 8 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Это множество можно задать неравенством ω0 +i 8 > 3 8 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 8.16. Найти конформное отображение |
ω = f (z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
круга |
|
z |
|
<1 |
на круг |
|
|
|
ω |
|
<1 , |
удовлетворяющее |
условиям |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ω(−i |
2)= 0 , |
arg ω′(−i 2)= π 4 . |
Указать |
коэффициент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
растяжения в точке z0 = −i 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решение. В примере 4.8 было показано, что дробно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейная функция, отображающая круг |
|
z |
|
<1 на круг |
|
ω |
|
<1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид (формула (4.10)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = eiϕ |
|
z −z0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−z0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z0 — точка, переходящая в точку ω = 0 . В нашем случае z0 = −i2 . Осталось определить значение ϕ, которое найдем из условия arg ω′(−i2)= π4 :
|
iϕ |
|
( |
|
|
0 |
) |
( |
|
|
|
|
|
|
0 )( |
z −z |
0 ) |
|
|
|
|
iϕ |
|
|
|
0 |
z |
|
|
|||||||||||
ω′(z)= e |
|
1 1−z |
z |
− −z |
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
1−z |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−z |
z |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−z |
z |
) |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
Учитывая, что z z0 = |
|
z0 |
|
|
2 , при z0 |
= −i |
2 |
|
получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ω′(z |
0 )= e |
iϕ |
1− |
|
z0 |
|
|
2 |
|
|
= e |
iϕ |
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(1− |
|
z0 |
|
2 ) |
2 |
|
1− |
|
z0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212
|
|
i |
|
|
iϕ |
1 |
|
4 |
|
iϕ |
|
||
|
|
|
|
= e |
|
|
= |
|
e . |
||||
ω′ |
− |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1−1 4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следует, что |
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
( |
|
= 4 3 , |
|
|
|
2 |
= ϕ. |
||||||
ω′ −i 2 |
|
arg ω′ −i |
|
Значит, коэффициент растяжения в точке −i2 равен 43 , и ϕ= π4 . Искомым отображением является функция
ω = ei π 4 |
z +i 2 |
= ei π 4 |
z +i 2 |
|
|
|
|
||
1−i 2 z |
1+i z 2 |
(мы использовали равенство i = −i ).
Задача 8.17. Найти конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на круг ω <1 , удовлетворяющее
условиям ω(2i)= 0 , arg ω′(2i)= π. Указать коэффициент растяжения в точке z0 = 2i .
Решение. В примере 4.7 было показано, что конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг имеет вид
ω = eiϕ z −z0 . z −z0
Определим параметры z0 и ϕ. Поскольку z0 — точка, переходящая в точку ω = 0 , то z0 = 2i . Для определения ϕ найдем ω′(z0 ):
ω′(z)= e |
iϕ 1 (z −z |
0 )−1 (z −z0 ) |
= e |
iϕ z0 −z0 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(z −z0 ) |
2 |
|
(z −z0 ) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
213
|
|
|
|
|
ω′(z |
0 )= e |
iϕ |
|
|
z0 −z0 |
|
= e |
iϕ |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(z0 −z0 ) |
2 |
|
|
z0 |
−z0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ω′(2i)= |
eiϕ |
|
eiϕ |
|
|
|
i eiϕ |
|
1 |
|
iπ |
|
|
i π |
2 |
|
iϕ |
|
|
1 |
|
i(3π 2+ϕ) |
|||||
|
|
|
= 4i = − |
4 = |
4 e |
|
e |
|
|
e |
|
= |
4 e |
|
|
||||||||||||||
2i + 2i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(мы использовали равенства −1= ei π , i = ei π 2 ). Отсюда |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ω′(2i) |
|
1 |
, arg ω |
′(2i)= |
3π |
|
|
|
|
|
= |
|
3π |
+ϕ, |
ϕ |
= − |
π |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 4 |
|
2 +ϕ , т.е. π |
|
2 |
|
2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Итак, искомое отображение дается функцией |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−iπ 2 z −2i |
|
|
z −2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ω = e |
|
|
|
|
= −i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2i |
z + 2i |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент растяжения в точке 2i равен ω′(2i) =1 4 .
Задача 8.18. Найти конформное отображение полосы, заключенной между прямыми y = x +1 и y = x +3 (рис. 8.7),
на единичный круг.
Решение. 1) С помощью линейной функции ω = a z +b
отобразим |
данную полосу на полосу −∞< x < +∞, |
0 < y < π. |
Исходная |
полоса имеет ширину 2 . Чтобы отобразить ее на полосу шириной π, сделаем преобразование подобия с
|
коэффициентом |
π |
2 . |
Это |
|
преобразование задается функцией |
|||
|
ω1 = π z 2 . Точка |
A(−1 2, i 2) |
||
|
перейдет |
|
) |
в |
|
( |
|
|
|
Рис. 8.7 |
A1 −π (2 2), π |
(2 2) . |
|
|
|
|
|
|
214
Затем повернем полученную полосу на угол π4 по
часовой стрелке, чтобы она стала параллельной оси OX . Это преобразование запишется в виде
ω2 = ω1e−i π 4 = π2z e−i π 4 .
Точка A1 (−π(2 2), π(2 2)) перейдет в A2 (0, π2).
Наконец, сделаем параллельный перенос на вектор A2O :
ω3 = ω2 −i2π = π2z e−i π 4 −i2π .
Вместо точки A(−12, i2) можно было взять любую другую точку на прямой y = x +1 (например, точку (0,1) ). Используя
равенство e−i π 4 =1 |
2 −i |
2 можно записать полученное |
|||
преобразование в такой форме: |
|
|
|||
|
|
π 1−i |
) |
|
|
ω |
3 = |
|
( |
z −i π . |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
2 |
2)Отобразим полученную полосу на верхнюю
полуплоскость |
Im z > 0 . |
Было показано, что показательная |
функция ω =e z |
отображает полосу 0 < Im z < π на верхнюю |
|
полуплоскость. |
Поэтому |
нужным преобразованием будет |
ω4 =e ω3 . |
|
|
3)Отобразим верхнюю полуплоскость на единичный
круг |
с |
|
помощью |
дробно-линейного |
отображения |
|
ω = eiϕ |
z −z |
0 |
, Im z0 > 0 . Поскольку никаких дополнительных |
|||
z −z |
0 |
|||||
|
|
|
|
условий не задано, то параметры ϕ и z0 с Im z0 > 0 можно
215
выбрать произвольно. Например, возьмем ϕ0 = 0 , z0 = i .
Тогда получим ω = ω4 −i .
ω4 +i
4) Искомое отображение будет композицией указанных выше отображений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 1−i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
iπ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ω3 |
|
|
exp |
|
|
− |
|
−i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ω4 −i |
|
e |
|
−i |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
ω = |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
ω |
4 |
+i |
e |
ω3 |
+i |
|
π 1−i |
) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
iπ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
− |
|
|
+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8.19. Найти все значения степени (− 3 +i)−6i .
Решение. Согласно определению общей степенной функции
(− 3 +i)−6i = e−6i Ln(− 3+i) .
Значения логарифма найдем по формуле:
|
Ln(− 3 +i)= Ln |
|
− 3 +i |
|
+i(arg(− 3 +i)+ 2πk); |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
− 3 +i |
|
= (− 3)2 +1 = 2 ; cosϕ= − |
3 |
, sin ϕ= |
1 |
, |
||||
|
|
||||||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ϕ= arg(− 3 +i). Поэтому ϕ лежит во второй четверти. Следовательно, ϕ= 5π6 . Получаем
(− 3 +i)−6t =
216