2894
.pdf∞ |
|
|
|
|
|
∑cn (z − z0 )n |
аналитична в V. По |
|
свойству 4.5, этот ряд |
||
n=0 |
|
|
|
|
|
равномерно сходится в любом круге |
|
z − z0 |
|
< R′, где R' < R. |
|
|
|
||||
Рассмотрим теперь второй ряд в правой части (6.16), а |
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
именно ряд |
∑cn (z − z0 )n . Сделаем замену переменных, |
n=−1
положив Z = z −1z0 , k = −n . Тогда изучаемый ряд примет вид
∞
∑c−k Z k . Этот ряд является степенным рядом относительно
k =1
переменного Z с центром Z0 = 0; он сходится в некотором круге Z < R0 , расходится вне его, и его сумма является
аналитической функцией в этом круге. В круге Z < R0′ с R'0 < R0 этот ряд сходится равномерно (свойство 4.5).
Возвратимся теперь к |
переменному |
z. Тогда круг |
|
Z |
|
< R0 |
||||||
|
|
|||||||||||
перейдет в множество |
|
1 |
|
< R , или |
z − z |
0 |
>1 R , т.е. во |
|||||
|
|
|||||||||||
|
||||||||||||
|
|
z − z0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешность круга с центром z0 радиуса 1R0 . Таким образом,
−∞ |
|
|
ряд ∑cn (z − z0 )n сходится при |
z − z0 |
>1 R0 к аналитической |
n=−1 |
|
|
функции S2(z) и расходится при |
z − z0 |
<1 R0 . Поскольку этот |
ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в области сходимости z − z0 >1 R0 этого ряда. При этом в области z − z0 >1 R0′ с R'0 < Ro сходимость будет равномерной. В частности, ряд равномерно сходится при z − z0 > r′, если r′ > r .
Итак, оба ряда в правой части (6.16) сходятся в кольце V и их суммы S1(z) и S2(z) аналитичны в V. Значит, функция f(z) = =S1(z) + S2(z) аналитична в V.
141
Покажем, что коэффициенты сп разложения определяются однозначно по формулам (6.18). Возьмем
окружность Γ ={z − z0 = ρ}, где r < ρ < R . Подберем числа r' и R' так, чтобы r < r' < ρ < R' < R. Оба ряда в правой части (6.16) равномерно сходятся в кольце V ′ ={r′< z − z0 < R′}.
Значит, и ряд
∞
∑ ck (z − z0 )k = f (z)
k =−∞
сходится в нем равномерно. Это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень
(z − z0 )−n−1, n = 0, ±1, ±2,..., так как каждая из этих степеней является функцией, ограниченной в V' (см. замечание 3.5):
∞ |
f (z) |
|
|
∑ ck (z − z0 )k −n−1 = f (z)(z − z0 )−n−1 = |
. |
||
n+1 |
|||
k =−∞ |
(z − z0 ) |
В силу теоремы 3.4 полученный ряд можно почленно интегрировать вдоль Г:
∞ |
|
k −n−1 |
|
|
|
f (z)dz |
|
||
∑ ck ∫(z − z0 ) |
dz = ∫ |
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
(6.27) |
||||
|
|
|
n+1 |
||||||
k =−∞ Γ |
|
|
|
Γ (z − z0 ) |
|
|
|
||
Воспользуемся теперь равенством: |
|
|
m ≠ −1, |
|
|||||
∫(z − z0 )m dz = |
0 |
|
при |
|
|||||
|
|
при |
m = −1, |
|
|||||
Γ |
2πi |
|
согласно которому все интегралы в левой части (6.27) равны нулю, кроме одного, для которого к - п - 1 = - 1 (т.е. k = п) и который равен 2πi . Поэтому в сумме из (6.27) остается лишь одно слагаемое при k = n, и мы получаем
f (z)dz
2πicn = ∫Γ (z − z0 )n+1 , n = 0, ±1, ±2,...,
что равносильно равенствам (6.18). Теорема 4.2 доказана. При доказательстве теоремы 4.2 мы установили, что ряд
(6.17) сводится к объединению двух степенных рядов, один из которых сходится внутри некоторого круга с центром z0, а
142
другой — вне круга меньшего радиуса с тем же центром (если бы радиус второго круга был больше, то множество сходимости ряда (6.17) было бы пустым). Обозначим радиусы этих кругов R и r соответственно (здесь не утверждается, что эти числа совпадают с внешним и внутренним радиусами кольца V в теоремах4.1,4.2). Отсюда и из свойств степенных рядов вытекают следующие свойства ряда (6.17).
Свойство 4.3. Множеством сходимости ряда (6.17)
является кольцо V ={r < |
|
z − z0 |
|
< R} |
с возможным |
|
|
добавлением некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи r = 0 и R = ∞.
Свойство 4.4. Сумма S(z) ряда (6.17) является аналитической функцией внутри кольца V.
Свойство 4.5. Ряд (6.17) можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать внутри кольца V любое число раз. Полученные при этом ряды имеют то же кольцо сходимости V, что и исходный ряд (6.17); сходимость в граничных точках может не сохраняться.
Свойство 4.6. Если V ={r < z − z0 < R} является кольцом
сходимости ряда Лорана функции f(z) и 0 < r < R < ∞, то и на внутренней, и на внешней границах кольца V лежат особые
точки функции f(z). |
|
|
|
f(z) есть |
|||||||
|
Доказательство. |
Ряд Лорана |
функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
объедине-ние двух степенных рядов ∑cn (z − z0 )n |
и ∑c−k Z k , |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n=0 |
|
|
k =1 |
|
где Z = |
|
. Кругами |
сходимости |
этих |
рядов являются |
||||||
z − z0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z − z0 |
|
< R |
и |
Z <1 r . Согласно замечанию |
2.2, |
на границе |
||||
|
|
круга сходимости степенного ряда лежат особые точки его суммы. Значит, на окружностях z − z0 = R и Z =1 r (т.е.
∞
z − z0 = r ) лежат особые точки функций S1 (z) = ∑cn (z − z0 )n
n=0
143
−∞
и S2 (z) = ∑cn (z − z0 )n соответственно. Следовательно, на
n=−1
этих окружностях лежат особые точки функции f(z) = S1(z) + +S2(z) , что и требовалось доказать.
Для нахождения разложений в ряд Лорана широко используются те же приемы, что и для разложения в ряд Тейлора, а именно метод подстановки, почленное интегрирование и дифференцирование рядов и т.д.
Пример 4.7. Найти все лорановские разложения
функции |
f (z) = |
z +1 |
|
по степеням (z −1) . |
|
||||||||||
z(z −1) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Сделаем замену переменного: w = z −1, т.е. |
||||||||||||||
z = w +1. Выполнив |
|
подстановку, |
получим |
функцию |
|||||||||||
g(w) = |
|
w +2 |
. |
Разложим |
полученную |
дробь |
в сумму |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
(w +1)w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
простейших дробей. Разложение будем искать в виде |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
w +2 |
|
= |
A |
+ |
|
B |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(w +1)w |
|
|
w +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
где А и В — числа, которые предстоит найти. С этой целью приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю:
w +2 |
= |
A(w +1) + Bw |
. |
(w +1)w |
|
w(w +1) |
|
Отсюда следует, что w + 2 = A(w + 1) + Bw, причем равенство выполнено при всех значениях w, включая w = 0 и w = -1 (это следует из непрерывности левой и правой частей этого
равенства). При w = 0 получаем 2 = А, т.е. А = 2; |
подставляя |
|||||||||||||
w = - 1, имеем 1 = -В, т.е. В = -1. |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
g(w) = |
w +2 |
|
= |
2 |
− |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(w +1)w |
|
w +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта функция |
имеет особые |
точки |
w = |
0, |
{ |
w |
= - 1 |
и, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
} |
|
|||
следовательно, |
аналитична в |
|
кольцах |
V = |
|
0 |
< |
w |
<1 |
и |
144
V2 ={1 < w < ∞}. Найдем лорановские разложения в каждом из
этих колец.
При w <1 справедлива формула (2.14), которая дает.
|
2 |
∞ |
2 |
∞ |
|||||
g(w) = |
−∑(−1)n wn = |
+∑(−1)n+1 wn , 0 < |
|
w |
|
<1 |
|||
|
|
||||||||
w |
w |
||||||||
|
n=0 |
n=0 |
При w >1 полученный ряд перестает сходиться. Поэтому для
разложения функции g(w) в кольце V2 следует преобразовать дробь:
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
= − |
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
w +1 |
w |
|
+ |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
w |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
|
w |
|
>1 будет |
|
|
. Поэтому применима формула (2.14), |
|||||||||||
|
|
|
|
<1 |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
w |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если вместо z подставить в нее 1/w. Выполняя указанные подстановки, получим
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
||||
g(w) = |
− |
|
|
= |
|
− |
|
|
= |
|
− |
|
|
∑(−1)n |
= |
||||||||||||||||
|
w +1 |
|
|
|
|
1+1 w |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
w |
|
w w |
|
|
w w n=0 |
w |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|||||||||
|
= |
|
+∑(−1)n+1 w− |
(n+1) = |
− |
|
+∑(−1)n+1 w−(n+1) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
w |
n=1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ ∑(−1)k wk , 1 < |
|
w |
|
< ∞ . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(мы сделали замену k = -(n + 1) и воспользовались равенством (-1)к = (-1)-k). Возвращаясь к переменному z = w + 1, получаем искомые разложения функции f(z):
|
|
2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
+∑(−1)n+1 (z −1)n , |
0 < |
|
z −1 |
|
<1; |
(6.28) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
z −1 |
|||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
+ ∑(−1)k (z −1)k , |
1 < |
|
z −1 |
|
< ∞. |
(6.29) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
z −1 |
||||||||||||||
|
|
k =−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145
При 0 < z −1 <1 главная часть разложения состоит только из
одного члена |
|
2 |
|
(все остальные |
коэффициенты главной |
|
z −1 |
||||
|
|
|
|
||
части равны |
нулю), |
а ряд в (6.28) |
дает правильную часть |
разложения. При 1 < z −1 < ∞ разложение состоит только из
главной части, а все коэффициенты правильной части обращаются в нуль. По теореме 4.2 полученные разложения единственны (хотя их можно находить и другим способом). Заметим, что каждая граница рассматриваемых колец (т.е.
окружности z −1 = 0 с радиусом 0 и z −1 =1 с радиусом 1) содержат особые точки функции f(z).
7. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
7.1. Классификация изолированных особых точек
Пусть z0 — особая точка функции f(z), т.е. f(z) не является аналитической в этой точке (в частности, может быть не определена в ней). Если найдется такая проколотая
окрестность точки z0 (т.е. множество 0 < z − z0 < R ), в которой f(z) аналитична, то z0 называется изолированной особой точкой
функции |
f(z). Данное определение сохраняется и в |
случае |
z0 = ∞ , |
если под проколотой окрестностью точки |
z0 = ∞ |
понимать множество z > R — внешность некоторого круга с
центром в начале координат. Другими словами, особая точка z0 называется изолированной, если найдется такая окрестность этой точки, в которой нет других особых точек, отличных от z0. Всюду в дальнейшем мы рассматриваем только особые точки однозначного характера (функция f(z) предполагается однозначной).
В зависимости от поведения функции f(z) при z → z0
различают три типа особых точек. Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется:
146
1) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
lim f (z) = A;
z→z0
2) полюсом, если существует предел
lim f (z) = ∞;
z→z0
3) существенно особой точкой, если f(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → z0 .
Пример 7.1. Покажем, что все три типа особых точек реализуются. Рассмотрим f1 (z) = sinz z . Точка z0 = 0 является
изолированной особой точкой этой функции. Используя формулу (2.12), получим разложение
|
|
sin z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
z |
4 |
|
∞ |
z |
2n |
|
|
|||
f1 (z) = |
=1 |
− |
|
|
+ |
|
− ... = ∑(−1)n |
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
||||||||||||
|
|
z |
|
|
3! |
|
5! |
|
n=0 |
|
|
|||||||||
из которого следует, |
что |
существует lim f (z) =1. |
Поэтому |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 1 |
|
|
|
|
|
z0= 0 является устранимой особой точкой функции f1(z). |
|
|||||||||||||||||||
Функция |
|
f2 (z) = |
1 |
|
|
|
имеет |
полюс в точке |
z0 = |
1, |
||||||||||
|
|
z −1 |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поскольку lim |
|
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3 (z) = e1 z |
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим теперь функцию |
и покажем, |
что |
z0 = 0 является существенно особой точкой этой функции. При стремлении z к нулю по действительной оси левый и правый
пределы функции f3(z) различны: lim e1 x = 0 , |
lim e1 x = ∞ . |
x→0−0 |
x→0+0 |
Отсюда следует, что f3(z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → 0 , т.е. z0 = 0 — существенно особая точка этой функции. (Заметим, что при стремлении точки z = iy к нулю по мнимой оси функция
e1 z = e−i y = cos 1y −i sin 1y
вообще не имеет предела.)
147
|
|
Существуют, |
конечно, и неизолированные |
особые |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
точки. Например, функция |
|
|
имеет полюсы в точках |
||||
sin(π z) |
|||||||
zn = |
1 |
, n = ±1, ±2,... |
Следовательно, |
z0 = 0 |
является |
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
неизолированной особой точкой этой функции: в любой (сколь угодно малой) окрестности этой точки имеются другие особые
точки zn.
Пусть z0 — конечная изолированная особая точка функции f(z). Тогда f(z) аналитична в некоторой проколотой
окрестности 0 < z − z0 < R точки z0; эту окрестность можно
рассматривать как кольцо с внутренним радиусом r = 0. По теореме 4.1 в рассматриваемой окрестности функцию f(z) можно разложить в ряд Лорана (6.17). Мы покажем, что поведение функции при z → z0 (т.е. тип особой точки z0)
зависит от вида главной части разложения (6.17); этим обстоятельством и объясняется происхождение термина "главная часть".
Теорема 7.2. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки имеет вид
∞ |
|
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , |
(7.1) |
n=0
т.е. состоит только из правильной части, а все коэффициенты главной части равны нулю.
Доказательство. 1. Пусть z0 — устранимая особая точка. Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид (7.1). Так как особая точка z0 устранимая, то
существует конечный предел lim f (z) = A . Следовательно, f(z) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
→z0 |
|
|||
ограничена |
в |
некоторой |
|
проколотой |
окрестности |
||||||
0 < |
|
z − z0 |
|
< R1 |
точки z0, т.е. |
|
f (z) |
|
< M для |
всех z из этой |
|
|
|
|
|
148
окрестности. Возьмем любое ρ , 0 < ρ < R1 , и воспользуемся формулами (6.18) для коэффициентов ряда Лорана:
|
cn |
|
= |
1 |
|
ζ −∫z0 |
|
|
f (ζ )dζ |
|
≤ |
1 |
|
|
|
ζ −z∫0 |
|
=ρ |
|
|
f (ζ ) |
|
|
|
dζ |
|
≤ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2πi |
|
|
|
(ζ − z0 )n+1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
ζ − z0 |
|
n+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
≤ |
M |
|
∫ |
|
|
dζ |
|
|
= |
|
|
|
M |
2πρ = M |
ρ |
−n |
, |
n = 0, ±1, ±2,... |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2πρn+1 |
|
|
|
|
|
2πρn+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ −z0 |
=ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для коэффициентов главной части разложения п = - 1, - 2,...
Для таких значений п имеем ρ−n → 0 при ρ → 0 . Так как значение может быть выбрано сколь угодно малым, то и M ρ−n
может быть сколь угодно малым. Поскольку |
|
c |
|
≤ M ρ−n и c |
|
|
|||
|
|
n |
|
n |
не зависят от ρ , то сп = 0 при п = - 1,- 2,..., что и требовалось
доказать.
2. Предположим теперь, что лорановское разложение имеет вид (26.1). Ряд (7.1) является степенным рядом и, следовательно, сходится не только в проколотой, но и во всей
окрестности z − z0 < R , включая и точку z0; его сумма S(z)
аналитична при z < R и S(z) = f(z) при 0 < \z — zo\ < R.
Поэтому существует конечный предел lim f (z) = lim S(z) = |
|
z→z0 |
z→z0 |
= S(z0 ) . Следовательно, особая точка z0 устранимая. Теорема
доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы следует, что в проколотой окрестности 0 < z − z0 < R устранимой особой точки функция f(z) совпадает с функцией S(z), аналитической во всей окрестности z − z0 < R . Поэтому, если мы положим
f(z0) = S(z0), то, не меняя значений функции f(z) ни в каких точках проколотой окрестности, мы сделаем эту функцию аналитической в z0, т.е. "устраним" особенность. Этим и объясняется термин "устранимая особенность". Такие точки естественно считать правильными, а не особыми точками функции f(z).
149
Рассмотрим, например, функцию
f (z) = sin z . |
|
1 |
z |
|
В примере 7.1 было показано, что lim f1 (z) =1, т.е. особая
z→0
точка z0 = 0 устранимая. Полагая f1(0) = 1, мы тем самым устраним особенность и получим функцию, аналитическую в точке z0 = 0 (и во всей плоскости ).
Дадим теперь характеристику полюсов в терминах лорановских разложений.
Теорема 7.3. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложения Лорана с центром z0 имеет лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов сп:
∞ |
|
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n , N > 0 . |
(7.2) |
n=−N |
|
Доказательство. 1. Пусть z0 — полюс, т.е. |
lim f (z) = ∞ . |
|
z→z0 |
Докажем, что лорановское разложение функции f(z) имеет вид
(7.2). Так как lim f (z) = ∞ , то существует проколотая
z→z0
окрестность точки z0, в которой f(z) аналитична и не имеет нулей. Тогда функция g(z) = 1/f(z) тоже будет аналитической в
этой проколотой окрестности, причем lim g(z) = 0 .
z→z0
Следовательно, z0 является устранимой особой точкой функции g(z). Доопределим g(z) в точке z0, положив g(z0) = 0. Тогда g(z) станет аналитической во всей окрестности (не проколотой) точки z0, причем z0 будет ее изолированным нулем. Обозначим через N кратность (порядок) этого нуля. Как было показано в окрестности точки z0 функция g(z) представима в виде (см. (3.2))
g(z) = (z − z0 )N ϕ(z) ,
причем ϕ(z0 ) ≠ 0 и ϕ(z) аналитична в некоторой окрестности точки z0. Так как ϕ(z) непрерывна в точке z0 и ϕ(z0 ) ≠ 0 , то
150