3358
.pdf(k 1) |
(k) |
|
(k) |
(k) |
|
|
|
|
x1 |
b11x1 |
b12x2 |
|
b1nxn |
c1, |
|
||
x2(k 1) b21x1(k 1) |
b22x2(k) b2n xn(k) c2, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k 1) |
b x(k 1) |
b |
x(k 1) b |
|
x(k 1) |
b x(k) c . |
||
n |
n1 1 |
|
n2 |
2 |
n,n 1 |
n 1 |
nn n n |
Рассматривая данную модификацию применительно к итерациям метода Якоби (2.12), получим
(k 1) |
|
(k) |
|
(k) |
|
(k) |
|
|
|
|
|||
x1 |
(b1 a12x2 |
|
a13x3 |
|
a1nxn |
|
) a11 , |
|
|
||||
x2(k 1) (b2 a21x1(k 1) a23x3(k) a2n xn(k) ) a22 , |
|
(2.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k 1) |
(b a |
x(k 1) a |
x(k 1) |
a |
n,n 1 |
x(k 1)) a |
nn |
, |
|||||
n |
n |
n1 1 |
|
|
n2 2 |
|
n 1 |
|
|||||
где k = 0, 1, 2,…, а x(0) |
(x(0) |
, x |
(0),..., x(0))T |
задается. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
Заметим, что итерационный процесс (2.13) укладывается в общее представление (2.11), при этом
B = – (L+D)–1 R; c = (L+D)–1 b.
Точные формулировки условий сходимости методов Якоби и Зейделя можно найти в литературе по численным методам (см., например, [2, 5]). Отметим здесь лишь, что для определенного класса матриц эти методы непременно сходятся, а именно для матриц A с диагональным преобладанием, т.е. таких, для которых справедливо
n
|aii | |aij | для всех i = 1, 2, …, n.
j1, i j
Кроме того, метод Зейделя сходится для систем с симметричными положительно определенными матрицами, а это значит, что им можно решать системы общего вида (2.12), но применяя к видоизмененной форме ATAx=ATb (сходимость при этом может сильно замедляться).
Ниже приводится текст программы по реализации метода Зейделя типа (2.13). Для счёта используется система
50
4x1 2x2 x3 |
|
|
9, |
|||||
|
2x1 |
4x2 |
2x3 |
x4 |
11, |
|||
|
||||||||
x 2x |
2 |
8x |
3 |
4x |
4 |
7, |
||
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
x2 |
4x3 |
10x4 28. |
||||
|
|
>restart;
>with(linalg);
>A:=matrix([[4.,2,-1,0],[2,4,2,1],[-1,2,8,4], [0,1,4,10]]);
> b:=vector([9.,11,7,28]); # 1)
>x:=vector(4); x0:=vector(4); x:=[0.,0.,0.,0.];# 2)
>eps:=1.0e-5: n:=4: k:=0:
>r:=evalm(1.*A&*x-b);
>while sqrt(dotprod(r,r))>eps do
for i from 1 to n do s:=0.; x0[i]:=x[i]; for j from 1 to n do
if i<>j then s:=(s+A[i,j]*x[j]);fi; od; x[i]:=(b[i]-s)/A[i,i];
r[i]:=x[i]-x0[i]; od;
k:=k+1;
if k>1000 then
print(`метод не сходитсЯ`); `stop`(1); fi;
od:
> evalm(x); k;
[1.000004396, 1.999996252, -0.9999981812, 2.999999647 ]
Указание. Если в процессе счета наблюдается зацикливание (т.е. метод не сходится), рекомендуется провести аналогичный расчет для эквивалентной системы Wx=g, где W=ATA, g=ATb. Для этого между строками 1 и 2 в данной программе нужно вставить
>W:= evalm(transpose(A)&*A);
>g:= evalm(transpose(A)&*b);
а в остальном тексте программы вместо матрицы A и вектора b вставить соответственно W и g.
51
2.2.2.2. Метод сопряженных градиентов
Еще один класс методов итерационного решения СЛАУ – это так называемые методы вариационного типа. К ним относятся методы минимальных невязок, минимальных ошибок, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и др. Их главная особенность в том, что непосредственное решение системы подменяется решением эквивалентной экстремальной задачи.
Например, один из наиболее популярных и хорошо разработанных методов подобного типа – метод сопряженных градиентов (МСГ) – минимизирует квадратичный функционал
F(x) 12 (Ax,x) (b,x).
Можно показать, что если матрица A симметричная и положительно определенная, то вектор x, для которого F(x) достигает минимума, одновременно является решением систе-
мы Ax=b.
Приведем без вывода алгоритм МСГ.
1.Задать x(0) (начальный вектор) и число (уровень допустимых погрешностей).
2.Вычислить вектор r(0) = Ax(0) –b (невязка начального
приближения–разностьмеждулевойиправойчастьюсистемы). 3. Положить v(0) = r(0), k = 0 (номер итерации).
|
|
|
|
|
r(k),v(k) |
||
4. |
Вычислить число |
k |
|
r(k),Av(k) |
. |
||
5. |
Вычислить вектор x(k+1) = x(k) + kv(k) (новое приближе- |
||||||
ние). |
Вычислить вектор r(k+1) = Ax(k+1) – b (невязка (k+1)-го |
||||||
6. |
|||||||
приближения). |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить число |
k |
|
(r(k 1),r(k 1) ) |
. |
|
|
(r(k),r(k) ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
8.Вычислить вектор v(k+1) = r(k+1) + kv(k).
9.Положить k k+1.
10.Проверить условие ||r(k+1)||< ; если “да”, остановить счёт и вывести результаты, если “нет”, перейти к шагу 4.
52
Интересно отметить, что МСГ занимает особое положение среди методов решения СЛАУ, ибо доказано, что векторы невязок {r(k), k = 0, 1, 2, …} образуют ортогональную систему векторов, следовательно, нулевая невязка r(k) =0 (что равносильно точному решению) должна появиться не позднее n-й итерации, где n – порядок системы уравнений. Таким образом, МСГ должен быть отнесен к прямым методам. Те не менее на практике он применяется именно как итерационный метод, поскольку реальный вычислительный процесс не идеален из-за неизбежных ошибок округления, и на n-м шаге может быть не достигнута нужная точность. Кроме того, для систем большой размерности для получения решения с приемлемой точностью может понадобиться значительно меньшее, чем n, число итераций. Поэтому в силу указанных обстоятельств к МСГ иногда употребляют термин «полуитерационный метод».
Запрограммируем алгоритм МСГ в системе Maple (на примере той же системы, что была решена методом Зейделя).
>restart;
>with(linalg);
>A:=matrix([[4.,2,-1,0],[2,4,2,1],[-1,2,8,4], [0,1,4,10]]);
>b:=vector([9.,11,7,28]); r:=vector(4):
>x:=eval(b): eps:=0.0001: k:=0:
>r:=evalm(A&*x-b); v:=eval(r); t1:=dotprod(r,r);
>while sqrt(t1)>eps do
alpha:=-evalf(dotprod(r,v)/dotprod(A&*v,v)); x:=evalm(x+alpha*v): print(eval(x)); t2:=t1; r:=evalm(A&*x-b); t1:=dotprod(r,r); beta:=t1/t2;
v:=evalm(r+beta*v);
k:=k+1;
if k>1000 then print(`метод не сходитсЯ`); `stop`(1); fi;
od:
> eval(x); k;
[1.000000001, 2.000000000, -1.000000006, 2.999999991 ]
4
53
Замечание. Для успешной работы программы необходимо отслеживать, чтобы все вычисления проводились в числовом формате (а не в символьном). Прямым указанием на такой режим счёта, как обычно, является явная запись чисел с точкой. Обратите внимание, что здесь так записаны по одному элементу матрицы A и вектора b. В качестве дополнительной меры можно рекомендовать видоизменить команды вычисления r:
r:=evalm(1.0*A&*x-b);
а также все вычисления производить посредством evalf. Если матрица системы не симметричная и не положи-
тельно определенная, сходимость МСГ не гарантируется. В этом случае предлагается применить алгоритм метода сопряженных градиентов к эквивалентной системе ATAx=ATb, у которой матрица W=ATA обладает необходимыми свойствами. Скорость сходимости при этом может быть низкой. Для реализации этого алгоритма в приведенной программе сразу после задания матрицы A и вектора b следует вставить команды
>W:=evalm(inverse(A)&*A);
>g:=evalm(inverse(A)&*b);
а далее по тексту везде поменять символ A на символ W, а символ b – на g.
Упражнения
1. В качестве A, b взять матрицу и вектор правых частей системы уравнений из таблицы; B задать произвольно.
2. а) Вычислить определитель матрицы A, её ранг, обратную матрицу, транспонированную матрицу, а также миноры элементов какой-либо строки (столбца) данной матрицы.
б) Используя встроенную функцию norm, определить норму вектора b и матрицы A, а также число обусловленности A в различных смыслах. Провести вычисление указанных величин непосредственным применением формул.
54
3. а) Вычислить след матриц AB и BA.
б) Ввести прямоугольную матрицу C подходящего размера и найти ATBA, AC, BAC, (AB)C, bTAb.
4. а) Решить задачу на собственные векторы и собственные значения матрицы A. Сделать проверку.
б) Решить обобщенную задачу на собственные значения
Ax= Bx.
5. Решить систему Ax=b уравнений: по правилу Крамера и путем вычисления обратной матрицы. Выполнить проверку.
6. а) Решить систему Ax=b с помощью программы, реализующей метод Гаусса с выбором главного элемента. Попутно найти определитель матрицы detA и выписать явно матрицы L и U. Проверить равенство A = LU.
б) Используя LU-разложение, найти решение матричного уравнения AX=B. Проверить результат подстановкой.
в) На основе LU-разложения вычислить матрицу, обратную к A. Проверить равенство A–1A=E.
7. а) Получить разложение Холесского симметричной положительно определенной матрицы W=ATA. На основе это-
го разложения решить систему Wx=ATb (и/или уравнение
WX=ATB).
б) Задать матрицу S, элементы которой sij представляют собой скалярные произведения векторов: sij (xi,xj ), где x1,
x2, … – произвольные линейно независимые ненулевые векторы одинаковой размерности. Убедившись в положительной определенности S, решить систему Sx=b методом Холесского.
8. а) Ввести три произвольных некомпланарных вектора x1, x2, x3 трехмерного евклидова пространства. Найти смешанное ([x1, x2], x3) и двойное векторное произведение [x1, [x2, x3]] этих векторов. Вычислить углы, которые векторы образуют друг с другом, а также угол между x1 и плоскостью x2x3.
б) К уже введенным в № 8а векторам добавить еще один вектор x4, который разложить по базису =(x1, x2, x3).
55
9. Применить один из итерационных методов (простой итерации, Якоби, Гаусса–Зейделя) к решению системы из таблицы. В случае отсутствия сходимости добиться диагонального преобладания путем комбинирования уравнений, либо применить метод к эквивалентной системе ATAx=ATb.
|
|
10. Решить СЛАУ методом сопряженных градиентов. В |
|||||||||||||||||||||||||||||
качестве системы взять |
|
|
Sx=b с матрицей |
S, введенной в |
|||||||||||||||||||||||||||
№7б, либо Wx g, где W=ATA и |
g ATb. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
№ |
|
|
СЛАУ |
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
СЛАУ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
0,21x |
0,45x |
2 |
|
0,20x |
3 |
|
1,97 |
2 |
14,38x 2,41x |
2 |
1,39x |
3 |
|
5,86 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,25x2 |
|
0,43x3 |
|
0,32 |
|
|
25,36x2 |
3,31x3 |
|
2,28 |
||||||||||||||||||
|
|
0,30x1 |
|
|
|
1,84x1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,35x2 |
|
0,25x3 |
|
1,83 |
|
|
|
3,49x2 |
|
16,37x3 |
4,47 |
|||||||||||||||||
|
|
0,60x1 |
|
|
|
2,46x1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1,53x |
1,65x |
2 |
0,76x |
3 |
2,18 |
4 |
2,34x |
4,21x |
2 |
11,61x |
|
14,41 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
1,17x2 |
1,84x3 |
|
1,95 |
|
|
5,22x2 |
0,27x3 |
6,44 |
||||||||||||||||||||
|
|
0,86x1 |
|
|
8,04x1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,65x2 1,11x3 |
0,47 |
|
|
|
7,99x2 |
8,37x3 |
55,56 |
|||||||||||||||||||||
|
|
0,32x1 |
|
3,92x1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
0,45x |
0,94x |
2 |
0,15x |
3 |
|
0,15 |
6 |
1,02x |
0,73x |
2 |
9,11x |
3 |
|
1,25 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0,34x2 |
0,06x3 |
0,31 |
|
|
|
|
|
|
7,62x3 |
2,33 |
|||||||||||||||||
|
|
0,01x1 |
|
6,25x1 2,32x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,05x2 |
0,65x3 |
0,37 |
|
|
|
8,88x2 |
4,64x3 |
3,75 |
|||||||||||||||||||
|
|
0,35x1 |
|
1,13x1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
0,63x |
0,05x |
2 |
|
0,15x |
3 |
|
0,34 |
8 |
0,62x |
0,92x |
2 |
|
0,03x |
|
|
0,82 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
0,10x2 |
0,71x3 |
0,42 |
|
|
0,01x2 |
0,07x3 |
0,66 |
|||||||||||||||||||||
|
|
0,15x1 |
|
0,99x1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,34x2 |
|
0,10x3 |
|
0,32 |
|
|
|
0,02x2 |
0,99x3 |
|
0,98 |
|||||||||||||||||
|
|
0,03x1 |
|
|
|
1,01x1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
9 |
0,20x |
1,60x |
2 |
0,10x |
3 |
0,30 |
10 |
0,10x |
0,07x |
2 |
0,96x |
3 |
2,04 |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0,10x |
|
|
1,50x |
|
|
0,40 |
|
|
0,99x |
|
|
0,85x |
|
3,73 |
||||||||||||||
|
|
0,30x |
2 |
3 |
|
0,04x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
0,20x2 |
0,30x3 |
0,60 |
|
|
|
1,04x2 |
0,19x3 |
1,67 |
||||||||||||||||||||
|
|
1,20x1 |
|
0,91x1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
0,30x |
1,20x |
2 |
0,20x |
3 |
|
0,60 |
12 |
0,62x |
0,84x |
2 |
|
0,77x |
3 |
|
8,18 |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,20x |
|
1,60x |
|
0,30 |
|
|
1,11x |
|
|
1,08x |
|
|
|
0,08 |
|||||||||||||
|
|
0,10x |
2 |
3 |
|
0,03x |
2 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,34x2 |
|
0,10x3 |
|
0,32 |
|
|
|
0,02x2 |
|
1,08x3 |
0,06 |
|||||||||||||||||
|
|
0,50x1 |
|
|
|
0,97x1 |
|
56
№ |
|
|
|
|
|
СЛАУ |
|
|
|
|
№ |
|
|
СЛАУ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13 |
0,20x |
|
0,44x |
2 |
0,81x |
3 |
0,74 |
14 |
0,63x |
0,37x |
2 |
|
1,76x |
|
9,29 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
0,29x2 |
0,05x3 |
0,02 |
|
|
0,99x2 |
|
0,05x3 0,12 |
||||||||||||||||
|
0,58x1 |
|
0,90x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,34x2 |
0,10x3 |
0,32 |
|
|
|
0,95x2 |
|
0,69x3 |
0,69 |
|||||||||||||
|
0,05x1 |
|
0,13x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
15 |
6,34x |
11,75x |
|
|
10x |
41,40 |
16 |
0,98x |
0,88x |
2 |
|
0,24x |
|
1,36 |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
19,03x2 11,75x3 49,49 |
|
|
0,44x2 |
|
0,88x3 |
1,27 |
||||||||||||||||||
|
7,42x1 |
|
0,16x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7,48x2 6,36x3 27,67 |
|
|
|
10x2 1,74x3 |
5,31 |
||||||||||||||||||
|
5,57x1 |
|
9,74x1 |
||||||||||||||||||||||||
17 |
0,13x |
|
0,14x |
2 |
|
2,00x |
3 |
0,15 |
18 |
0,21x |
0,94x |
2 |
|
0,94x |
3 |
0,25 |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0,18x2 |
0,77x3 |
0,11 |
|
|
0,19x2 |
|
0,93x3 |
0,23 |
|||||||||||||||
|
0,75x1 |
|
0,98x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,17x2 |
0,39x3 |
0,12 |
|
|
|
0,56x2 |
|
0,14x3 |
0,33 |
|||||||||||||
|
0,28x1 |
|
0,87x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
19 |
56,43x |
|
8,54x |
2 |
6,36x |
|
9,76 |
20 |
3,43x |
4,07x |
2 |
1,06x |
3 |
46,08 |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
49,87x2 9,18x3 |
43,48 |
|
|
|
|
|
|
|
1,85x3 |
26,5 |
|||||||||||||
|
4,34x1 |
|
|
74,4x1 1,84x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8,93x2 |
|
48,88x3 |
56,92 |
|
|
|
94,3x2 |
|
1,02x3 |
92,3 |
||||||||||||
|
6,75x1 |
|
|
|
3,34x1 |
|
|||||||||||||||||||||
21 |
0,66x |
|
0,44x |
2 |
0,22x |
3 |
0,58 |
22 |
0,72x |
3,54x |
2 |
|
7,28x |
|
0,33 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
0,74x2 |
|
1,54x3 |
|
0,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1,54x1 |
|
|
|
|
0,28x1 0,72x2 3,04x3 0,22 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,42х2 |
|
0,86x3 |
|
0,83 |
|
|
|
0,35x2 |
|
0,78x3 |
|
1,12 |
||||||||||
|
1,42x1 |
|
|
|
|
1,00x1 |
|
|
|||||||||||||||||||
23 |
0,78x |
|
0,02x |
|
|
0,12x |
|
|
0,56 |
24 |
0,34x |
0,71x |
|
|
|
0,63x |
2,08 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
0,86x2 |
|
0,04x3 |
0,77 |
|
|
0,65x2 |
|
0,17x3 |
0,18 |
||||||||||||||
|
0,02x1 |
|
|
0,71x1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,44x2 |
|
0,72x3 |
|
1,01 |
|
|
|
|
|
|
|
0,75x3 |
1,28 |
|||||||||
|
0,12x1 |
|
|
|
|
1,18x1 2,35x2 |
|
||||||||||||||||||||
25 |
3x 0,5x 0,5x |
56,5 |
26 |
0,21x 0,18x |
|
|
|
|
0,75x |
|
0,11 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
2,01 |
|||
|
0,5x1 |
6x2 0,5x3 |
100 |
|
0,13x1 0,75x2 |
|
0,11x3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0,6x2 3x3 |
210 |
|
|
|
0,33x2 |
|
0,11x3 |
0,13 |
||||||||||||||||
|
6,5x1 |
|
3,01x1 |
|
|||||||||||||||||||||||
27 |
0,92x |
|
0,83x |
|
|
0,62x |
|
|
2,15 |
28 |
3,75x |
0,28x |
|
|
0,17x |
|
0,75 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
0,54x2 |
0,43x3 |
0,62 |
|
|
0,11x2 |
|
0,12x3 |
|
1,11 |
||||||||||||||
|
0,24x1 |
|
2,11x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,81x2 |
|
0,67x3 |
|
0,88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,81x3 |
|
0,05 |
|||||||
|
0,73x1 |
|
|
|
|
0,22x1 3,17x2 |
|
|
57
№ |
|
|
СЛАУ |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
СЛАУ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
29 |
1,02x |
0,72x |
0,65x |
1,27 |
30 |
3,14x |
2,12x |
|
1,17x |
1,27 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
1,24x2 |
1,73x3 0,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0,74x1 |
|
2,12x1 1,32x2 2,45x3 2,13 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2,32x2 |
0,74x3 |
1,16 |
|
|
|
2,45x2 |
1,18x3 |
3,14 |
|||||||||||
|
1,78x1 |
|
1,17x1 |
|||||||||||||||||||
31 |
4,03x |
2,71x |
|
2,32x |
1,60 |
32 |
1,65x |
2,27x |
|
0,18x |
|
2,25 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,36 |
|
2,27x 1,73x |
0,46x |
0,93 |
||||||||
|
2,45x 5,28x 0,36x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
||||
|
|
|
2,91x2 |
12,37x3 |
5,75 |
|
|
|
|
0,46x2 |
2,16x3 |
|
1,33 |
|||||||||
|
1,42x1 |
|
0,18x1 |
|
||||||||||||||||||
33 |
3,45x 1,25x |
|
0,38x |
5,01 |
34 |
2,45х |
1,75x |
|
3,24x |
1,23 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,16x2 2,18x3 3,43 |
||||||||
|
2,15x1 7,24x2 0,39x3 3,56 |
|
1,75x1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22,92x |
|
4,72 |
|
|
|
|
|
|
|
1,85x |
|
0,16 |
|||
|
8,61x 12,94x |
|
|
|
3,24x 2,18x |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|||
35 |
5,24x 2,66x 2,39x |
9,11 |
36 |
3,23х |
1,62x |
2 |
0,65x |
|
|
1,28 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
8,20x2 |
|
2,31x3 |
7,76 |
|
|
2,33x2 |
1,43x3 |
|
0,87 |
|||||||||||
|
2,47x1 |
|
|
1,62x1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
6,27x2 |
|
9x3 |
|
9,37 |
|
|
|
|
|
2,18x3 |
2,87 |
||||||||
|
5,45x1 |
|
|
|
0,65x1 1,43x2 |
|||||||||||||||||
37 |
3,3x 2,1x |
4,3x |
|
0,21 |
38 |
5,4x 2,46x |
|
3,9x 5,51 |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4,45 |
||||||
|
4x1 |
3,2x2 5x3 6 |
|
|
|
|
|
2,57x1 6,28x2 1,3x3 |
||||||||||||||
|
|
1,23x2 |
3,5x3 1,2 |
|
|
|
0,76x2 1,59x3 |
|
3,57 |
|||||||||||||
|
2x1 |
|
2,71x1 |
|
||||||||||||||||||
39 |
7,6x 5,8x |
|
4,7x |
10,01 |
40 |
0,9x 2,7x 3,9x 2,41 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
3,96 |
||||
|
3,8x1 4,1x2 |
2,7x3 9,7 |
|
2,51x1 |
5,86x2 |
0,5x3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
3,89x3 |
|
7,37 |
|
|
|
|
|
|
3,9x3 |
|
1,28 |
|||||||
|
2,9x1 2,1x2 |
|
|
4,45x1 2,57x2 |
|
11*. Написать программу, реализующую:
а) метод AAT-минимальных итераций (А произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы ошибки).
Инициализация: x0 – произвольно, r0 Ax0 b, s1 AT r0 ;
Цикл: ri ri 1 |
i Asi , si 1 |
ATri isi , xi |
xi 1 isi , |
|||||||||
где i |
|
(ri 1,ri 1) |
|
|
(ri 1,ri 1) |
, |
i |
|
(ri ,Asi ) |
|
(ri, ri ) |
; |
(Asi,ri 1) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(si,si ) |
|
|
(si ,si ) |
(ri 1, ri 1) |
58
б) метод ATA-минимальных итераций (А произвольная матрица; минимизируется квадрат евклидовой нормы вектора невязки). Алгоритм счета такой же, как в предыдущем методе, но с числами
i |
(ATr |
, AT r |
) |
, i |
|
(ATr, ATr) |
|
. |
||
i 1 |
i 1 |
|
|
i |
i |
|
||||
(As , As ) |
|
T |
|
T |
) |
|||||
|
|
|
|
(A r |
, A r |
|
||||
|
i |
i |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
12*. Пусть Ax=b решаемая система. Применить метод сопряженных градиентов к эквивалентной системе (L–1AL–T)u=g, где u=LTx, g=L–1b, L – предообусловленная, например, диагональная с элементами lii aii , матрица. Ис-
следовать обусловленность старой и новой систем.
13*. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для систем уравнений
|
x1 2x2 4x3 3x4 0, |
|
3x1 4x2 x3 2x4 3x5 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6x3 4x4 0, |
|
|
|
7x2 |
x3 3x4 4x5 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x1 5x2 |
|
5x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x 5x |
2 |
2x |
3 |
3x |
4 |
0, |
|
4x 5x |
2 |
2x |
3 |
x |
4 |
|
5x |
5 |
|
|
0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3x 8x |
2 |
24x |
3 |
19x |
4 |
0; |
7x 10x |
2 |
x |
3 |
6x |
4 |
5x |
5 |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
14*. Исследовать совместность и найти общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 x2 3x3 2x4 3x5 1, |
x1 2x2 3x3 2x4 x5 4, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 4x3 x4 3x5 2, |
|
|
6x2 5x3 4x4 3x5 5, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 |
3x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x |
3x |
2 |
5x |
3 |
2x |
4 |
3x |
5 |
1, |
x |
2x |
2 |
7x |
3 |
4x |
4 |
|
x |
5 |
11, |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x 2x |
2 |
|
8x |
3 |
3x |
4 |
9x |
5 |
2; |
2x 4x |
2 |
2x |
3 |
3x |
4 |
3x |
5 |
|
6. |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59