3447
.pdfЕсли это дифференциальное уравнение является либо
уравнением |
с |
разделяющимися |
переменными |
(т.е. |
f (x, z) f1(x) f2 (z)), либо однородным уравнением |
(т.е. |
f (x, z) f (z x)) , или приводящимся к однородному, либо
линейным уравнением (т.е. |
f (x, z) |
p(x)z |
q(x)), |
либо |
||
уравнением |
Бернулли (т.е. |
f (x, z) |
p(x)z q(x)z n ), |
либо |
||
уравнением |
в |
полных |
дифференциалах |
(т.е. |
||
dz f (x, z)dx dU), |
то мы |
можем построить |
его |
общее |
решение, применяя описанные в гл. 2 процедуры. Предположим, нам удалось найти общее решение
уравнения (3.51)
z (x,C1) .
Это означает, что далее нам необходимо решить дифференциальное уравнение вида:
dy
dx (x, C1).
Разделяя переменные и интегрируя, получим его общее решение:
y |
(x,C1)dx |
C2. |
|
(3.52) |
Рассмотрим примеры интегрирования уравнений вида |
||||
(3.50). |
|
|
|
|
Пример. Решить уравнение x3 y |
x2 y |
1. |
||
Решение. Вводим новую функцию |
z y , |
тогда y z . |
||
Подставив ее в уравнение, имеем |
|
|
|
|
|
x3z x2 z |
1. |
|
|
Это линейное уравнение первого порядка относительно p и его решение разыскиваем в виде произведения z uv
x3 (u v uv ) x2uv 1.
_______________________________________________________
1) Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям.
120
Учитывая требования u(x3v |
|
|
|
x2v) |
0 , |
v(x) |
0 , находим |
|||||||||||||||||||||||
функцию v(x) : |
|
dv |
|
|
|
|
|
dx |
, |
|
v |
1 |
, подставляем в |
уравнение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для определения |
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3u |
1 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
dx |
, |
|
|
u |
1 |
|
|
C . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
|
p |
|
|
C1 |
|
|
1 |
, и можно найти функцию y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
y C |
|
dx |
|
|
dx |
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y C ln |
x |
C |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex y 2 . |
|||||||||||
Пример. Проинтегрировать уравнение |
|
y |
2y |
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Применяя подстановку |
|
z |
|
y , относительно |
|||||||||||||||||||||||||
z получим уравнение Бернулли: |
z |
2z |
|
e x z 2 . Очевидно, |
||||||||||||||||||||||||||
последнее уравнение допускает решение z |
0 , откуда y C . |
Найдем общее решение уравнения Бернулли, применив метод
Бернулли. Ищем |
решение уравнения в виде произведения |
||
z u v , |
z |
u v uv . Подставим в уравнение эти выражения, |
|
имеем: |
u v |
uv |
2uv e xu2v2. Потребовав, чтобы одна из |
введенных |
функций удовлетворяла однородному уравнению, |
получим систему уравнений с разделяющимися переменными
|
|
|
dv |
2v 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
e xu 2v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя первое уравнение, получим |
|
|
||||
|
dv |
2 dx, |
|
|
~ |
|
|
|
ln v |
2x |
C1. |
||
|
v |
|||||
|
|
|
|
|
|
121
Частное решение берем в виде: |
v e 2x . |
||
Подставим эту функцию во второе уравнение системы. |
|||
Получаем следующее дифференциальное уравнение |
|||
|
du |
e |
xu 2 . |
|
|
||
|
dx |
||
|
|
|
Разделяя переменные и интегрируя, имеем:
du |
e |
x dx C , |
1 |
e |
x C , u |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
u 2 |
|
1 |
u |
|
1 |
e |
x |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая замену, получим общее решение уравнения
Бернулли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
C e2x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
y |
|
dx |
|
|
C2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
|
e x |
|
C1e2x |
|
|
e x C1e2x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Преобразуем интеграл к дробному виду |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x (1 C e x ) |
|
|
|
e2x (1 C e x ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
и обозначим |
e x |
|
t . Подынтегральную функцию разложим на |
||||||||||||||||||||||
сумму простых дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
A B |
|
|
D |
|
|
At(1 C t) B(1 C t) Dt 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
t 2 (1 C t) |
|
|
t |
|
t 2 |
1 C1t |
|
|
|
|
|
t 2 |
(1 C t) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
Коэффициенты |
разложения найдем |
комбинированным |
||||||||||||||||||||||
методом. Из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
At(1 |
C t) |
|
B(1 |
|
C t) |
Dt 2 |
1, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
положив t |
0 , |
|
найдем |
B |
1; |
|
|
положив |
t |
1 C1 , найдем |
D C 2 |
. Далее, приравнивая коэффициенты при t 2 в правой и |
|||
1 |
|
|
|
|
левой частях этого равенства, получим C A |
C2 |
0, A |
C . |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
122
Таким образом, получено разложение подынтегральной функции на простые дроби:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C |
1 |
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e2x (1 C e x ) |
|
e x |
|
e2x |
|
1 C e x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислив интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dx |
|
|
|
C |
|
|
dex |
|
|
dex |
|
C |
2 |
|
dex |
|
|
|
C ln e x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e2x (1 C e x ) |
|
1 |
|
e x |
(e x )2 |
1 |
1 C e x |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d (1 |
|
|
C e x ) |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
C e x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
C x |
|
|
C ln1 |
C |
2 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
e x |
1 |
|
1 |
|
C e x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
общее |
решение уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
e |
|
x C ln |
1 C e x |
|
|
x C |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решением уравнения является также функция |
|
y C и |
это решение не входит в семейство, описываемое общим решением.
Пример. Рассмотрим задачу геометрического характера. Найти все кривые, кривизна которых в любой точке равна единице.
Решение. Воспользуемся известным из математического анализа выражением для кривизны линии y(x) и приравняем кривизну единице. Получаем:
|
|
|
|
|
y |
1 |
, или y |
|
(1 |
y 2 )3 2 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 |
y 2 )3 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задача привела к дифференциальному уравнению 2-го |
|||||||||||||
порядка вида (3.50). Применяя подстановку y |
z , получим |
|||||||||||||
z |
(1 |
z 2 )3 2 . Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
x |
C1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1 |
z 2 )3 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Интеграл |
вычисляем |
с помощью |
замены |
переменной |
|||||||||
z |
tgt ; |
dz |
dt |
cos2 t , |
1 |
z 2 1 cos2 t . Получаем: |
123
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
dt |
(cos2 t) |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
costdt sin t. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(1 |
|
z 2 )3 2 |
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Возвращаясь |
|
к |
переменной |
z , |
используем формулу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, получили общий |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 tg 2t |
1 |
|
z 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
интеграл уравнения для функции z (первый интеграл) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
C1 , откуда |
|
z |
|
|
|
|
x C1 |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x |
C )2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
или |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
x |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 (x C1 ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интегрируя, |
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2(x C1)d (x C1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y C |
|
|
|
|
|
|
|
1 (x C )2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
(x |
C )2 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возведем обе части равенства в квадрат, получим уравнение семейства искомых кривых:
(x C1)2 ( y C2 )2 1.
Искомые линии – окружности с радиусом, равным единице.
4. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
а)* Общий вид таких уравнений, разрешенных относительно старшей производной, следующий
y(n) f ( y, y , y , , y(n 1) ). |
(3.53) |
|
Введем новую неизвестную функцию, |
зависящую от x |
|
посредством y : |
|
|
z( y) y . |
(3.54) |
|
Выразим производные по x |
функции |
y через функцию |
z и ее производные по y . |
Имеем, используя правило |
дифференцирования сложной функции: |
|
|
|
||||||||
y |
dy |
|
dz |
|
dz |
|
dy |
|
z |
dz |
, |
dx |
|
dx |
|
dy |
|
dx |
dy |
||||
|
|
|
|
|
|
124
y |
|
dy |
|
|
|
d |
|
|
|
dz |
|
z |
|
d |
|
|
|
dz |
|
z |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
d 2 z |
z |
|
|
|
dz |
|
2 |
z, |
|
|||||||||||||||||||||
|
dx |
|
dx |
|
dy |
|
dy |
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy2 |
|
|
|
dy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По индукции заключаем, что производная порядка |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
y |
|
|
|
выражается |
|
через |
|
|
|
новую |
|
функцию |
|
z |
|
и |
ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производные |
|
|
по |
|
|
y |
|
|
до |
(n 1) |
|
|
|
- |
|
го порядка включительно. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, получили выражения производных |
от |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
dz |
|
, |
|
y |
|
|
|
|
z |
2 |
|
d |
2 z |
|
|
z |
|
|
dz |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy2 |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
3 d 3 z |
|
|
|
|
|
2 dz |
|
|
d 2 z |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy3 |
|
|
|
|
dy |
|
|
dy2 |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(3.55) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
(n) |
z |
n 1 d n 1z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z, |
dz |
, , |
d n 2 z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
dyn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В результате подстановки выражений (3.54), (3.55) в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение (3.53), оно преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d n |
1z |
|
|
|
|
|
F |
y, z, |
dz |
|
, , |
|
d n |
|
2 z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.56) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F y, z, |
dz |
|
, , |
d n 2 z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f y, z, |
dz |
|
, , |
d n 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z, |
dz |
|
, , |
d n 2 z |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
dy |
dy |
n 2 |
|
|
|
|
z |
n 1 |
dy |
dy |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
dy |
n 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное уравнение (3.56) имеет порядок, на единицу меньший порядка дифференциального уравнения (3.53). Если, интегрируя уравнение (3.56), удастся найти общее решение
z ( y, C1, , Cn 1) ,
то, возвращаясь к исходной функции y , получим уравнение:
125
|
y |
( y, C1, , Cn |
|
1) . |
(3.57) |
|
Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения |
||||||
(3.53), выраженный в квадратурах |
|
|
|
|||
|
|
dy |
x |
Cn . |
(3.57) |
|
|
|
|
|
|||
|
( y, C1, ,Cn 1) |
|||||
|
|
|
|
|||
В заключении |
отметим следующее. Принимая |
y за |
независимую переменную в (3.54), мы могли потерять решение
вида y |
const . Поэтому в уравнении (3.53) нужно положить |
y C . |
В результате получим f (C,0, ,0) 0 . Если это |
уравнение имеет корни C(1) , ,C(m) , то уравнение (3.53)
допускает решения вида y C(k) (k 1,2, , m) , которые могут оказаться особыми решениями.
Далее, особые решения уравнения (3.56) могут привести к особым решениям уравнения (3.53) в силу подстановки (3.54). И, наконец, особые решения могут возникать при интегрировании уравнения (3.57).
|
б)1) Рассмотрим частный случай – уравнения второго |
||||||
порядка, не содержащие независимое переменное: |
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
f ( y, y ). |
(3.59) |
Выполним подстановку |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z( y) y (x), |
(3.60) |
|
откуда y |
z |
dz |
. В результате подстановки уравнение (3.59) |
||||
|
|||||||
|
|
|
dy |
|
|
||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
dz |
f ( y, z). |
(3.61) |
|
|
|
|
dy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
|
уравнение |
(3.61) найдем общее |
решение |
||
z |
( y,C1) , являющееся первым интегралом (3.59). |
|
_______________________________________________________
1) Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям.
126
Используя |
(3.60), |
|
|
|
|
получаем |
дифференциальное |
|||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
( y, C1) . |
|
|
|
|
|
(3.62) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделяя переменные и интегрируя, получим общий |
||||||||||||||||||||||||||||
интеграл уравнения (3.59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x |
|
C2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y, C1) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. Найти решения уравнения |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 y2 ) yy |
|
(3y2 |
1) y 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
Это |
|
|
дифференциальное |
уравнения 2-го |
||||||||||||||||||||||
порядка, не содержащее независимой |
переменной. |
Полагая |
||||||||||||||||||||||||||
y z( y), |
т.е. |
принимая |
|
|
y за |
независимую |
переменную, |
|||||||||||||||||||||
имеем: y |
z |
dz |
. Уравнение принимает вид: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
y 2 ) yz |
dz |
|
|
|
(3y 2 |
|
1)z 2. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда видно, |
что |
z |
|
0 , |
т.е. y |
0 и |
y |
C , |
является |
|||||||||||||||||||
решением |
|
уравнения. |
Разыскиваем |
ненулевые |
решения |
|||||||||||||||||||||||
уравнения для z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y(1 |
|
|
y |
2 |
) |
|
dz |
|
|
(3y |
2 |
|
1)z. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разделяя переменные, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
3y 2 |
1 |
dy. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
y(1 |
|
|
y 2 ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разложим подынтегральную функцию |
в правой части |
|||||||||||||||||||||||||||
равенства на простые дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3y 2 1 |
|
|
A By D A(1 y 2 ) y(By D) |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(1 y 2 ) y |
|
|
|
1 y 2 |
|
|
|
|
y(1 y 2 ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, приравнивая числители, получим равенство:
A(1 y2 ) By 2 Dy 3y2 1.
127
Полагая |
y 0 , |
получаем |
A |
1. |
Приравнивая |
||||||
коэффициенты при y и y 2 , получим: |
|
|
|
|
|||||||
|
A B 3, D 0, |
B |
4. |
|
|||||||
Итак, разложение имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3y 2 |
1 |
|
1 |
|
|
4 y |
|
. |
|
|
|
y(1 |
y 2 ) |
|
y 1 |
y 2 |
|
Подставив разложение под интеграл, имеем:
|
|
|
|
ln |
|
z |
|
ln |
|
y |
|
|
2 |
|
2 ydy |
|
ln |
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
d (1 |
y 2 ) |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
1 |
y 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
z |
|
|
|
|
ln |
y |
|
2 ln(1 |
|
|
ln |
|
C |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
zy |
|
|
|
C1 , |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
C1 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 y 2 )2 |
|
|
(1 |
|
|
y 2 )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Итак, |
|
|
первый интеграл уравнения получен. Интегрируя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
еще раз, найдем общий интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 ydy |
|
C1 |
dx C2 , |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C1x C2 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
(1 |
|
|
y 2 )2 |
|
2 1 |
|
|
y 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
C1x C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
|
|
2C1 |
, |
|
|
|
|
|
2C2 . Из общего интеграла решение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
C1 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
C получается, если |
|
положить |
~ |
|
|
0 . Решение y 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
получается при |
~ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример. |
Найти |
|
решение |
задачи |
|
|
|
Коши: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y |
|
y |
1, |
y(0) |
|
|
1, |
|
|
y (0) |
1. |
|
Решение. Это уравнение не содержит х и, следовательно,
относится к типу (3.53). Делая замену y z( y), y z dydz и
подставляя в уравнение, получим
128
|
|
|
|
|
dy |
|
|
2z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
C . |
||||||||||
|
4zdz |
|
|
|
, |
2 |
|
|
y |
2C , |
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя начальные данные |
y(0) |
1 |
y (0) |
|
|
z(1) |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
найдем C |
0 . Поскольку y (0) |
|
|
|
1 |
0 , |
то |
z |
|
y . Имеем |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 y , |
|
|
|
|
|
dx, |
|
|
x C |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
|
4 y |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
x0 0 , |
|
y(0) |
1, |
|
получим |
C2 |
|
|
4 |
|
, после |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чего найдем |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
1 |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля
1.Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n - го порядка. Как эта теорема формулируется для уравнения 2-го порядка.
2.Изложите метод решения дифференциального
уравнения вида y(n) f (x) . Напишите формулу общего решения уравнения yf (x) . Приведите пример.
3.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида yf (x, y ) . Приведите пример.
4.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида yf ( y, y ) . Приведите пример.
5.Напишите пример линейного дифференциального уравнения.
Задачи для практических занятий и самостоятельного решения
1. y x, y(1) 1, y (1) 2 . |
Ответ: |
y |
x3 |
|
3 |
x |
2 |
. |
|
6 |
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
129