3750
.pdfбудем считать, что луч |
arg z |
0 (т.е. положительная полуось на |
|
плоскости z ) отображается на верхний, а луч arg z |
– на |
||
нижний берег этого разреза. |
|
|
|
Итак, функция w |
z2 |
однолистна в верхней полуплоско- |
сти и отображает эту область на плоскость w с разрезом вдоль положительной действительной полуоси (рис. П.1.3). Отметим
еще, |
что при отображении w z2 , полуокружность |
z |
ei ( |
||||
|
|
|
|
2 |
|
||
0 |
|
) перейдет в незамкнутую окружность |
w |
|
(точки |
||
w |
2 |
и w |
2e2 i , являющиеся образами точек |
z |
и |
||
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
z2 |
ei |
|
, совпадают, но лежат на разных берегах указан- |
ного выше разреза).
z
argz=
argz=2 -
w=z2 w
Рис. П.1.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
arg |
|
|
|
|
0 |
argw |
|
- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
=2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Функция w |
z2 является однолистной и в нижней полу- |
|||
плоскости и отображает область Im z 0 на плоскость |
w с |
|||
разрезом вдоль |
положительной |
действительной полуоси |
||
(рис. П.1.4). При этом отображении лучи arg z |
и arg z |
2 |
||
, образующие границу области Im z |
0 , переходят соответст- |
венно в верхний и нижний берега разреза. В самом деле, луч
arg z |
( |
0 , – достаточно малó), который примыка- |
|||
ет к лучу |
arg z |
, переходит в луч |
arg w |
2 |
2 , располо- |
женный |
выше верхнего берега разреза. Аналогично, луч |
||||
arg z 2 |
переходит в луч arg w |
4 |
2 |
, примыкающий |
к нижнему берегу разреза.
181
Отметим еще, что при отображении w z2 |
правая полу- |
плоскость ( Re z 0 ) и левая полуплоскость ( Re z |
0 ) перехо- |
дят в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.
Пример 4. Рассмотрим отображение |
|
w ez . |
(П.1.8) |
Найдем условие, которому должна удовлетворять область D , чтобы отображение (П.1.8) было однолистным в этой области.
Если ez1 ez2 , т.е. |
ez1 z2 |
1, то |
|
z1 z2 |
2k i |
( k 0, 1, 2, ). |
(П.1.9) |
Следовательно, для однолистности отображения (П.1.8) необходимо и достаточно, чтобы область D не содержала никакой пары различных точек, удовлетворяющих условию (П.1.9). В
частности, отображение w |
ez |
является однолистным в гори- |
зонтальной полосе a Im z |
b , |
0 b a 2 . |
z y
2 i |
|
|
|
D |
w=ez |
z=x+iC |
1 |
|
|
|
0C1 x
w
arg w = C
y
C eC1
0x
|
|
|
Рис. П.1.5 |
|
|
|
|
Рассмотрим полосу D1 : 0 |
Im z 2 |
(рис. П.1.5). При |
|||
отображении |
(П.1.8) |
прямая z |
x iC |
( C |
– фиксировано, |
|
0 C |
2 , |
x |
), параллельная действительной оси и |
|||
лежащая в полосе D ,переходит в линию |
w |
ex iC exeiC , т.е. |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
в луч |
arg w |
C . Будем двигать прямую z |
x |
iC параллельно |
182
действительной оси, |
непрерывно увеличивая C от |
0 |
до |
2 . |
Тогда луч arg w C , |
являющийся образом прямой |
z |
x |
iC , |
поворачиваясь против часовой стрелки, опишет всю плоскость
w . При этом прямые |
z |
x |
и |
z |
x |
i2 |
( |
x |
), обра- |
зующие границу полосы |
D1 , |
отобразятся соответственно на |
|||||||
лучи arg w 0 и arg w |
2 |
|
. Таким образом, функция |
w ez , |
|||||
однолистная в полосе D1 : 0 |
Im z |
2 |
, |
отображает эту полосу |
|||||
на плоскость с разрезом по лучу |
0, |
|
так, что нижний край |
полосы переходит в верхний берег разреза, а верхний край полосы – в нижний берег разреза. Заметим, что при отображении
(П.1.8) отрезок |
z |
|
C1 |
iy ( C1 |
– фиксировано, 0 |
y 2 |
), ле- |
||||
жащий в полосе D1 и параллельный мнимой оси, переходит в |
|||||||||||
незамкнутую окружность w |
eC1 eiy ( 0 |
y |
2 ) радиуса eC1 |
||||||||
(точке z |
C |
соответствует |
точка |
w |
eC1 |
верхнего |
берега |
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
разреза, а точке z |
2 |
C |
i2 |
– точка |
w |
eC1 e2 |
i , лежащая на |
||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
нижнем берегу разреза и совпадающая геометрически с точкой
w1 ). |
|
|
|
|
Аналогично |
можно показать, |
что |
полоса |
D2 : |
2 Im z 4 отобразится функцией w |
ez |
на плоскость с |
||
разрезом по лучу 0, |
так, что нижний край полосы D2 |
пе- |
рейдет в верхний берег разреза, а верхний край полосы – в нижний берег разреза. Точно также можно установить, что
функция |
w |
ez однолистна в полосе |
D |
: 2(k |
1) |
Im z 2k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
( k – целое) и отображает эту полосу на плоскость |
w с разре- |
|||||||||
зом по лучу |
0, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Рассмотрим отображение |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
w |
Ln z . |
|
|
|
(П.1.10) |
Все значения этой функции в точке z |
даются формулой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2, . |
||
Ln z |
ln z |
i2k |
ln |
z |
|
i arg z 2k |
k |
0, 1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183
Следовательно, |
Ln z – бесконечнозначная функция, т.е. в каж- |
дой точке z 0, |
эта функция имеет бесконечно много зна- |
чений. Многозначные аналитические функции могут иметь особые точки нового типа по сравнению с рассмотренными в п. 4.6 – точки ветвления.
Определение 2. Пусть функция F (z) аналитична в проколотой окрестности точки a и неоднозначна в этой окрестно-
сти. Тогда точка a |
называется изолированной точкой ветвле- |
||||||||||
ния функции F (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, точки 0 |
и |
являются изолированными точками |
|||||||||
ветвления функции Ln z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем другое определение точки ветвления. Пусть |
|||||||||||
функция F (z) аналитична в кольце 0 |
|
z a |
|
r .Возьмем точ- |
|||||||
|
|
||||||||||
ку z0 из этого кольца и элемент f0 (z) |
в точке z0 |
|
и аналитиче- |
||||||||
ски продолжим этот элемент вдоль окружности |
|
z a |
|
z0 a |
|
||||||
|
|
|
с началом и концом в точке z0 . Коротко эту процедуру будем
называть так: совершим обход вокруг точки a в положительном или в отрицательном направлении в зависимости от ориентации окружности. Если элемент f1(z) , полученный в результате аналитического продолжения, не совпадает с исход-
ным элементом |
f0 (z) , то точка |
a |
является |
изолированной |
|||
точкой ветвления функции F (z) . |
|
|
|
|
|
||
Логарифм обладает следующим свойством. При обходе |
|||||||
вокруг точки z |
0 в положительном направлении |
||||||
|
Ln z |
Ln z |
2 |
i , |
(П.1.11) |
||
т.е. элемент логарифма получает приращение |
2 i . При обхо- |
||||||
де вокруг точки z 0 в отрицательном направлении |
|||||||
|
Ln z |
Ln z |
2 |
i . |
(П.1.12) |
||
Это свойство следует из соотношения |
|
|
|
||||
|
Ln z |
Ln z0 |
|
d |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
184
где кривая соединяет точки z0 и z .
Функция Ln z , как и всякая многозначная аналитическая
функция «составлена» (или «склеена») из однозначных аналитических функций, а именно, из своих элементов. Всякий элемент логарифма называется однозначной (или регулярной) ветвью логарифма. Аналогично, однозначной ветвью много-
значной аналитической функции называется любой ее эле-
мент. |
Можно |
по-разному выбирать элементы, |
из которых |
||||
«склеена» аналитическая функция. |
|
|
|
||||
Пусть D – произвольная односвязная область, не содер- |
|||||||
жащая точек 0 |
и |
. Фиксируем точку |
z0 |
D |
и значение |
||
Ln z0 . |
Аналитически продолжив элемент |
f (z) |
логарифма ( |
||||
f (z0 ) |
Ln z0 ) по всем путям, которые выходят из точки z0 и |
||||||
лежат в области D , получим однозначную в области D функ- |
|||||||
цию |
f (z) . Полученная однозначная аналитическая функция |
||||||
называется регулярной ветвью логарифма в области D . Вы- |
|||||||
брав в точке z0 |
другое значение логарифма, получим другую |
||||||
регулярную ветвь логарифма в этой области. |
|
|
|||||
Выберем в качестве D плоскость с разрезом по лучу |
|||||||
, 0 . Функция Ln z в этой области распадается на беско- |
|||||||
нечное число однозначных ветвей. Эти ветви имеют вид |
|||||||
|
|
|
|
|
2, . |
||
|
fk (z) |
ln |
z |
i arg z 2k i k 0, |
1, |
Вместо того, чтобы рассматривать бесконечно много регулярных функций в одной области D , возьмем бесконечно много идентичных экземпляров этой области. Обозначим эти области
Dk ( k 0, 1, |
2, |
) и будем считать, что в области Dk |
задана |
|
регулярная функция |
fk (z) . Теперь склеим области Dk |
(«лис- |
||
ты») в одну поверхность. Пусть lk – разрез |
, 0 на листе |
|||
Dk и пусть lk , |
lk – верхний и нижний берега разреза соответ- |
|||
ственно. Если z |
x |
0 , то |
|
|
185
|
fk (x) ln |
x |
|
(2k 1) i , |
x lk , |
|||
|
|
|
(2k 1) i , |
x lk , |
||||
|
fk (x) ln |
x |
|
|||||
так как arg x |
, x lk |
. Следовательно, |
||||||
|
fk |
(x) |
|
fk (x) |
|
. |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lk |
|
|
lk |
1 |
Поэтому будем склеивать нижний берег разреза lk 1 с верхним берегом разреза lk , тогда функция Ln z будет однозначна на
полученной бесконечнолистной поверхности. Построенная поверхность изображена на рис. П.1.6. Она называется римановой поверхностью логарифма. Эта поверхность напоминает по форме бесконечную в обе стороны винтовую лестницу. Заметим, что риманова поверхность логарифма односвязна.
0
lk+
lk-+1
Рис. П.1.6
Замечание. Можно по-другому «разрезать» логарифм на регулярные ветви. Именно, в качестве D можно взять плоскость с разрезом по любой простой кривой, соединяющей точки 0 и . Выбор разреза определяется конкретной задачей.
Например, при вычислении интегралов вида 0 R(x) ln x dx , где
R(x) – рациональная функция, оказывается удобным провести
разрез 0, |
. |
|
Пример 6. Рассмотрим отображение |
|
|
|
w z . |
(П.1.13) |
186
Если таково, что z – бесконечнозначная функция, то ее риманова поверхность будет точно такой же, как и риманова поверхность логарифма. Новый тип римановой поверхности
возникает в случае, когда функция z |
является конечнознач- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ной. Рассмотрим риманову поверхность функции |
|
z . Пусть D |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– плоскость с разрезом по лучу |
|
, 0 . Тогда функция z |
||||||||||||||||
распадается в |
|
D на две однозначные ветви |
f1(z) |
|
и f2 (z) , та- |
|||||||||||||
кие, что f1(1) |
|
1 и |
f2 (z) |
|
|
|
f1(z) . Возьмем два экземпляра D1 , |
|||||||||||
D2 области D и будем считать, что функция |
fk (z) определена |
|||||||||||||||||
в области Dk . Тогда при z |
Dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
rei |
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
rei |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть lk – разрез на листе Dk , |
а lk |
и lk |
– соответственно |
|||||||||||||||
верхний и нижний берега разреза. Так как |
|
|
на lk , то |
|||||||||||||||
f1(z) |
|
z l1 |
f2 (z) |
|
z l2 |
, |
|
f1(z) |
|
|
f2 (z) |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z l1 |
|
|
z l2 |
Поэтому для того, чтобы получить поверхность, на которой
|
|
|
|
|
функция |
|
z однозначна, необходимо склеить верхний берег |
||
разреза l1 |
с нижним берегом разреза l2 |
и, аналогично, склеить |
||
l1 с l2 |
(крест-накрест). Получится |
риманова поверхность |
функции z (рис. П.1.7), имеющая самопересечение.
Рис. П.1.7
187
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Аналогично строится риманова поверхность функции n z |
||||||||||||||||||||||||||||
. Возьмем n экземпляров D0 , |
|
, Dn 1 области D (плоскость |
||||||||||||||||||||||||||||
с разрезом по лучу |
|
, 0 |
). В области |
Dk |
рассмотрим регу- |
|||||||||||||||||||||||||
лярную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
2k ) n |
|
z rei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f |
k |
(z) |
rei( |
, |
, |
|
|
|
|
|
, |
k 0, 1, 2, . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
fk (z) |
|
|
|
fk |
1(z) |
|
. |
Склеим берег |
l0 |
с берегом |
l1 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
lk |
|
|
z lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
затем l1 с l2 |
и т.д., |
и, наконец, |
|
ln 1 |
с l0 . Тогда мы получим |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
риманову поверхность функции |
n z , которая имеет самопере- |
|||||||||||||||||||||||||||||
сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Заметим, что |
риманова |
поверхность |
функции |
n z |
при |
|||||||||||||||||||||||
любом целом n односвязна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пример 7. Вычислим все значения функции z z |
в точке i |
|||||||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ii |
eiLni |
|
ei[ln |
|
i |
|
|
i( |
2 2k |
)] |
e |
|
2 |
, |
k |
0, |
1, |
2, . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показывают приведенные ниже примеры, не всякое выражение, содержащее знак корня или логарифма, является многозначной функцией.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 8. Функция |
F (z) |
cos |
z аналитична в области |
|||||||||
0 |
|
z |
|
. Покажем, что эта функция однозначна. Известно, |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
что функция |
z распадается на две однозначные ветви f1(z) и |
||||||||||||||
f2 (z) , |
такие, |
что f2 (z) |
f1(z) . |
В силу |
четности косинуса |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos f1(z) cos f2 (z) , поэтому функция cos |
z однозначна. Точ- |
||||||||||||||
ка |
z |
0 является устранимой особой точкой, следовательно, |
|||||||||||||
|
|
|
|
– целая функция. Единственной ее особой точкой явля- |
|||||||||||
cos |
|
|
z |
||||||||||||
ется существенно особая точка z |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 9. Функция |
F (z) |
(sin |
|
z ) |
|
z также является |
||||||
целой функцией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
188
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПОНЯТИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
|
1. Сохранение угла между кривыми. Пусть функция |
|||||
w |
f (z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 |
|||||
и пусть |
f (z0 ) |
0 . Рассмотрим гладкую кривую |
: z |
(t) , |
||
|
t |
(рис. |
П.2.1), |
проходящую через точку |
z0 |
(t0 ) , |
t0 |
, |
. Обозначим |
угол, образуемой касательной к кри- |
|||
вой |
|
в точке |
z0 и положительным направлением действи- |
тельной оси (касательная считается направленной в ту же сто-
рону, что и кривая). Тогда |
arg |
(t0 ) . |
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z0 |
|
|
|
|
w=f(z) |
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Рис. П.2.1 |
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
– образ кривой |
при отображении |
|
w f (z) , |
|||||||||
т.е. |
: |
w |
w(t) |
f [ |
(t)] , |
t |
|
, а точка |
w0 – образ точки |
|||||
z0 |
( w0 |
f [ (t0 )] |
|
f (z0 ) ). |
По |
правилу |
дифференцирования |
|||||||
сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
w (t0 ) |
f (z0 ) |
(t0 ) . |
|
|
|
(П.2.1) |
|||
Так как по условию |
f (z0 ) 0 |
и |
(t0 ) |
0 |
(см. п. 1.4), то |
|||||||||
w (t0 ) 0 , т.е. кривая |
имеет касательную в точке |
w0 . Пусть |
||||||||||||
arg w (t0 ) |
. Тогда из (П.2.1) находим |
|
|
|
|
|
189
|
arg w (t0 ) arg f (z0 ) arg |
(t0 ) , |
|
т.е. |
|
|
|
|
arg f (z0 ) . |
(П.2.2) |
|
Величина |
называется углом поворота кривой |
в |
точке z0 при отображении w f (z) . Из формулы (П.2.2) сле-
дует, что если f |
(z0 ) |
0 , |
то угол поворота в точке z0 не зави- |
||
сит от кривой и равен |
arg f (z0 ) , т.е. все кривые, прохо- |
||||
дящие через точку |
z0 , |
поворачиваются при отображении |
|||
w f (z) ( f (z0 ) |
0 ) на один и тот же угол, равный аргумен- |
||||
ту производной в точке z0 . |
|
|
|||
Таким образом, отображение w |
f (z) , где |
f (z) – диф- |
|||
ференцируемая в окрестности точки z0 |
функция и |
f (z0 ) 0 , |
сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку z0 ,
не только по величине, но и по направлению отсчета (рис.
П.2.2).
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
’ |
|
|
|
1 |
|
|
|
w=f(z) |
|
|
|
|
w0 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
Рис. П.2.2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Найдем угол поворота |
|
при отображении |
||||||||||
w |
f (z) в точке z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Пусть f (z) |
z |
z0 |
, где Im z |
0 |
y |
0 . Тогда |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
z0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
190