752

Вестник СГУПСа. Выпуск 23

	4	1				tg c
					z		.
	cos

Приравнивая правые части (1) и (2), с учетом выражений (4) имеем

Kz

4EJ H0 A1A0 B1B0 D1 M0 A1B0 B1C0 C1

			4		1
							z tg c
													.
			cos
Далее введем относительные величины:
H H	2		M M			3						c
		,							,						.
0 b					0		b

(5)

(6)

(7)

Выражая абсолютные значения величин H0 и M0 через относительные параметры, приводим уравнение (6) с учетом (3) к виду:

H A A B B

D M A B

BC

C

4sin

4

.

(8)

1 0

1 0

1

1 0

1 0

1

cos2

cos

z

Запишем уравнение (8) в форме:

HФH + MФM = Ф,

(9)

где

ФH ФH

,

A1A0 B1B0 D1,

h

z

ФM ФM

,

A1B0 B1C0 C1,

h

z

4sin

4

(10)

Ф Ф z, ,

.

cos2

cos

z

Таким образом, речь может идти о несущей способности сваи на совместное действие горизонтальной и моментной нагрузки, и характеризоваться эта несущая способность будет двумя величинами: FdH и FdM. При действии на сваю горизонтальной силы H необходимо установить предельное значение (несущую способность) FdM при FdH = H. Или при действии на сваю моментаM необходимо

найти FdH при FdM = M.

Из формулы (8) определим относительные величины Н и М:

H	Ф MФM	,	M	Ф HФH	.	(11)
	Ф			Ф

Рассматривая эти величины как функции относительной координаты z, можно записать выражения для расчета несущей способности FdH и FdM:

F

b

H ,

H

min

H ;

F

b

M

,

M

min

M .

(12)

dH

2 m

m

z

dM

3 m

m

z

Численное исследование характера взаимосвязи показателей несущей способности Hm и Mm продемонстрировало линейную зависимость между ними. Для примера на рисунке показан график зависимости между указанными величинами.

36

К.В. Королев, А.Г. Полянкин

Hm

H

Mm

M

График зависимости Нт от Мт

Исходными данными для приведенного графика являются параметры h, ,, а также условия заделки сваи в грунте. График может быть заменен двумя

величинами:

H

и

M

. Показатели несущей способности рассчитываем по

0

0

формулам:

Hm

.

H

M0 Mm

M

H0

m

H

и

M

(13)

0

M0

m

0

H0

Для выполнения практических расчетов показателей несущей способности

параметры H0 и M0 были определены для широкого диапазона исходных

данных. Результаты вычислений (для иллюстрации) частично приведены в табл. 1–4 (расчеты для висячей сваи).

																Таблица 1
		Значения
				H0 (над чертой) и				M0 (под чертой) при = 10°
										h
	0,5		1,0		1,5		2,0						2,5	3,0	3,5	4,0
0	0,0102		0,0403		0,0892		0,1523						0,2165	0,2644	0,2882	0,2954
	0,0038		0,0302		0,0985		0,2115						0,3329	0,4117	0,4412	0,4466
0,5	0,3205		0,6791		1,0742		1,5017						1,9400	2,3220	2,5601	2,6522
	0,1343		0,5659		1,3333		2,4476						3,7696	4,8466	5,3424	5,4493
1	0,6218		1,2820		1,9815		2,7185						3,4702	4,1372	4,5650	4,7349
	0,2614		1,0743		2,4796		4,4846						6,8689	8,8496	9,7782	9,9810
1,5	0,9229		1,8844		2,8866		3,9309						4,9924	5,9416	6,5580	6,8056
	0,3886		1,5825		3,6238		6,5153						9,9566	12,836	14,197	14,496
2	1,2239		2,4863		3,7913		5,1417						6,5124	7,7428	8,5472	8,8725
	0,5155		2,0902		4,7672		8,5440						13,040	16,818	18,611	19,006
2,5	1,5248		3,0882		4,6955		6,3522						8,0312	9,5424	10,535	10,937
	0,6425		2,5980		5,9106		10,572						16,122	20,799	23,023	23,515
3	1,8257		3,6902		5,5995		7,5620						9,5496	11,341	12,521	13,001
	0,7695		3,1058		7,0540		12,599						19,203	24,779	27,435	28,022
3,5	2,1266		4,2921		6,5035		8,7719						11,067	13,139	14,508	15,065
	0,8965		3,6136		8,1972		14,627						22,285	28,757	31,846	32,5282
4	2,4275		4,8940		7,4075		9,9817						12,585	14,938	16,493	17,129
	1,0235		4,1214		9,3400		16,654						25,366	32,735	36,255	37,0344

37

Вестник СГУПСа. Выпуск 23

																Таблица 2
		Значения
				H0 (над чертой) и				M0 (под чертой) при = 20°
										h
	0,5		1,0		1,5		2,0						2,5	3,0	3,5		4,0
0	0,0221		0,0871		0,1930		0,3294						0,4684	0,5719	0,6234		0,6391
	0,0083		0,0653		0,2131		0,4576						0,7201	0,8907	0,9545		0,9662
0,5	0,3572		0,7935		1,3033		1,8735						2,4607	2,9595	3,2588		3,3704
	0,1488		0,6546		1,5966		2,9982						4,6512	5,9602	6,5460		6,6703
1	0,6730		1,4283		2,2626		3,1664						4,0931	4,9000	5,4023		5,5963
	0,2820		1,1898		2,8070		5,1573						7,9451	10,213	11,257		11,482
1,5	0,9888		2,0606		3,2149		4,4444						5,7015	6,8089	7,5105		7,7861
	0,4152		1,7228		4,0099		7,2960						11,200	14,418	15,916		16,241
2	1,3047		2,6923		4,1647		5,7177						7,3018	8,7068	9,6067		9,9639
	0,5485		2,2557		5,2100		9,4281						14,443	18,607	20,558		20,983
2,5	1,6205		3,3240		5,1137		6,9889						8,8986	10,599	11,697		12,136
	0,6817		2,7886		6,4099		11,556						17,681	22,787	25,191		25,718
3	1,9358		3,9549		6,0619		8,2591						10,493	12,489	13,785		14,304
	0,8149		3,3208		7,6085		13,685						20,916	26,964	29,821		30,449
3,5	2,2512		4,5858		7,0101		9,5284						12,086	14,378	15,870		16,471
	0,9480		3,8530		8,8068		15,811						24,148	31,139	34,449		35,177
4	2,5666		5,2166		7,9583		10,797						13,679	16,265	17,955		18,637
	1,0811		4,3852		10,005		17,937						27,380	35,313	39,075		39,9032
																Таблица 3
		Значения
				H0 (над чертой) и				M0 (под чертой) при = 30°
										h
	0,5		1,0		1,5		2,0						2,5	3,0	3,5		4,0
0	0,0380		0,1499		0,3322		0,5670						0,8063	0,9844	1,0729		1,1000
	0,0143		0,1123		0,3668		0,7875						1,2395	1,5331	1,6428		1,6629
0,5	0,4129		0,9576		1,6216		2,3809						3,1634	3,8161	4,1976		4,3363
	0,1710		0,7835		1,9661		3,7566						5,8556	7,4813	8,1947		8,3433
1	0,7566		1,6515		2,6763		3,8100						4,9761	5,9755	6,5828		6,8121
	0,3158		1,3678		3,2944		6,1367						9,4972	12,185	13,399		13,658
1,5	1,0993		2,3399		3,7157		5,2095						6,7423	8,0747	8,9012		9,2197
	0,4604		1,9478		4,6056		8,4750						13,062	16,790	18,500		18,868
2	1,4420		3,0267		4,7500		6,5988						8,4916	10,151	11,195		11,602
	0,6050		2,5265		5,9119		10,798						16,601	21,360	23,564		24,041
2,5	1,7846		3,7121		5,7823		7,9832						10,232	12,216	13,476		13,972
	0,7496		3,1048		7,2163		13,116						20,128	25,914	28,611		29,197
3	2,1273		4,3975		6,8127		9,3650						11,969	14,276	15,751		16,335
	0,8941		3,6830		8,5182		15,429						23,647	30,459	33,647		34,343
3,5	2,4700		5,0830		7,8430		10,745						13,703	16,332	18,021		18,694
	1,0387		4,2612		9,8202		17,740						27,162	34,998	38,677		39,483
4	2,8126		5,7684		8,8724		12,124						15,435	18,384	20,289		21,050
	1,1833		4,8394		11,122		20,050						30,674	39,533	43,705		44,619

38

К.В. Королев, А.Г. Полянкин

															Таблица 4
		Значения
				H0 (над чертой) и				M0 (под чертой) при = 40°
									h
	0,5		1,0		1,5		2,0					2,5	3,0	3,5	4,0
0	0,0625		0,2463		0,5458		0,9316					1,3248	1,6174	1,7629	1,8073
	0,0235		0,1846		0,6026		1,2940					2,0365	2,5190	2,6992	2,7323
0,5	0,5014		1,2112		2,1080		3,1506					4,2247	5,1078	5,6129	5,7929
	0,2063		0,9832		2,5323		4,9102					7,6805	9,7867	10,694	10,882
1	0,8917		2,0043		3,3219		4,8056					6,3341	7,6254	8,3937	8,6780
	0,3708		1,6499		4,0572		7,6581					11,898	15,233	16,717	17,030
1,5	1,2793		2,7864		4,5073		6,4085					8,3635	10,041	11,062	11,448
	0,5342		2,3085		5,5513		10,330					15,982	20,508	22,557	22,994
2	1,6667		3,5647		5,6832		7,9923					10,362	12,417	13,686	14,173
	0,6976		2,9642		7,0346		12,975					20,017	25,718	28,328	28,889
2,5	2,0541		4,3417		6,8541		9,5659					12,345	14,772	16,287	16,875
	0,8611		3,6195		8,5137		15,607					24,026	30,897	34,065	34,749
3	2,4415		5,1175		8,0223		11,134					14,320	17,115	18,875	19,563
	1,0245		4,2732		9,9887		18,231					28,022	36,058	39,783	40,589
3,5	2,8289		5,8924		9,1895		12,699					16,288	19,450	21,455	22,243
	1,1879		4,9269		11,463		20,852					32,009	41,206	45,488	46,419
4	3,2163		6,6673		10,354		14,262					18,253	21,781	24,029	24,917
	1,3514		5,5806		12,935		23,467					35,990	46,346	51,184	52,240

На основании выполненных расчетов можно сделать следующие выводы. Несущая способность сваи на горизонтальную и моментную нагрузки должна рассматриваться совместно. При полученных усилиях в свае (в уровне поверхности грунта) — поперечной силе Н и изгибающем моменте М — следует вычислить соответствующие этим усилиямих предельные значения по приведен-

ным в данной статье формулам (12) и (13). Параметры H0 и M0 можно

установить по таблицам, образец которых приведен в данной работе. Разработанная методика оценки несущей способности сваи на горизонталь-

ную и моментную нагрузки предлагается для практического использования при проектировании свайных фундаментов, в том числе транспортных сооружений.

Библиографический список

1.СНиП 2.02.03–85. Свайные фундаменты. М., 1986.

2.СП 50-102–2003. Проектирование и устройство свайных фундаментов. М., 2004.

3.Силин К.С., Глотов Н.М., Завриев К.С. Проектирование фундаментов глубокого

заложения. М.: Транспорт, 1981. 252 с.

39

К.В. Королев, Сонг Ен Ун, А.М. Караулов

УДК 624.131

К.В. КОРОЛЕВ, СОНГ ЕН УН, А.М. КАРАУЛОВ

ПРЕДЕЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НАСЫПИ НА СЛАБОЕ КОНСОЛИДИРУЮЩЕЕСЯ ОСНОВАНИЕ

Актуальность оценки устойчивости слабых оснований насыпей обусловлена практической необходимостью обеспечения надежности земляного полотна железных и автомобильных дорог при строительстве на слабых грунтах.

Одним из распространенных типов слабых оснований являются консолидирующиеся основания. Эти основания, сложенные полностью водонасыщенными глинистыми грунтами, медленно уплотняются под действием постоянной нагрузки. По мере уплотнения таких оснований постепенно повышается их несущая способность. Расчет устойчивости оснований в нестабилизированном состоянии необходим для планирования сроков возведения насыпи, а также для определения нагрузки, прикладываемой к насыпи кратковременно.

Внастоящее время расчет устойчивости основания и насыпи осуществляется, как правило, приближенными методами определения предельного равновесия, преимущественно методом круглоцилиндрических поверхностей скольжения. Учет нестабилизированного состояния при этом выражается в использовании параметров прочности грунта, определяемых по схеме быстрого сдвига.

Наиболее обоснованная оценка несущей способности грунтовых оснований может быть получена статическим методом теории предельного равновесия грунта. На основе этой теории, применительно к консолидирующимся грунтам, было предложено приближенное решение, основанное на осреднении параметров прочности консолидирующегося грунта в области предельного равновесия

восновании насыпи, т.е. в области предполагаемого бокового выпора грунта [1].

Вданной статье приводится решение задачи по установлению предельного давления насыпи на консолидирующееся основание, полученное статическим методом специальной теории предельного равновесия консолидирующихся грунтов, разработанной Ю.И. Соловьевым [2]. Это решение подходит для определения давления на консолидирующееся основание, в котором предполагается: во-первых, произвольное значение коэффициента порового давления 0 < 1, во-вторых, наличие начального эффективного напряженного состояния грунта, вызванного некоторой уплотняющей нагрузкой.

На рис. 1 показана правая половина симметричной расчетной схемы насыпи на слабом консолидирующемся основании. Насыпь характеризуется следующими геометрическими параметрами: высота насыпи h, ширина основной площад-

ки 2b, заложение откоса a. Удельный вес грунта насыпи — н.

Цель решения заключается в определении предельного давления z (z = 0) с трапецеидальной эпюрой нормальной компоненты, вызывающего в консолидирующемся основании состояние предельного равновесия в некоторой области ABDO. При этом для получения решения, которое бы могло широко применяться на практике, предполагается, что на основание предварительно действовало уплотняющее нормальное давление, подобное предельной нагрузке, с максимальной ординатой р* (см. рис. 1).

27

Вестник СГУПСа. Выпуск 23
	b		a
h		Эпюра z	Уплотняющее
		(z=0)	давление
pu	p		A	B	x
	O
	осьсимметрии
	Ось
	z	D
Рис.1. Расчетная схема насыпи на консолидирующемся основании

Граничные условия задачи имеют вид:

z = pu при z = 0, b x b,

		x b
z	pu 1		при z = 0, b < x a + b,	(1)
		a

z = 0 при z = 0, x > a + b,

zx = 0 при x = 0.

Предельное напряженное состояние в консолидирующемся основании определяется системой уравнений статического метода теории предельного равновесия консолидирующегося грунта для условий плоской деформации:

z

zx

Z,

z

x

zx

x

X,

z

x

(2)

2

z

x

z

x

2zx

kctg sin ,

2

2

где Z и X — массовые силы; k и — параметры мгновенной прочности консолидирующегося грунта (удельное сцепление и угол внутреннего трения).

Параметры мгновенной прочности консолидирующегося грунта определяются по теории мгновенной прочности Ю.И. Соловьева [3] следующими зависимостями:

sin = (1 – )sin ;	k	sin	*э	сctg ,	(3)
		cos

где *э — среднее эффективное напряжение, действующее в рассматриваемый момент времени; — коэффициент порового давления; c и — параметры прочности грунта (удельное сцепление и угол внутреннего трения), определенные в консолидированно-дренированных испытаниях, т.е. отнесенные к скелету грунта.

28

К.В. Королев, Сонг Ен Ун, А.М. Караулов

Коэффициент порового давления определяется отношением

	u	,	(4)

где u — мгновенное приращение порового давления при мгновенном приложении приращения среднего полного напряжения .

Коэффициент порового давления определяется также опытным путем в стабилометрических испытаниях при мгновенном обжатии полностью водонасыщенного образца грунта гидростатическим давлением с одновременной фиксацией величины порового давления.

Следует заметить, что угол внутреннего трения, образующийся при данном мгновенном сжатии, = const, а удельное сцепление k, в общем случае, изменяется по координатам z и x.

Основная система уравнений (2) приводится к канонической системе дифференциальных уравнений, отнесенных к линиям скольжения:

dx = dztg( ± ),

,

(5)

2

4

k

k

d 2 tg d Z

ctg dz dx tg

X

ctg

dx dz tg ,

z

x

где 2 — угол между линиями скольжения;

z

x

kctg — среднее

2

приведенное напряжение; — угол наклона первой главной оси тензора предельных напряжений к оси 0z.

Верхние знаки в уравнениях (5) относятся к линиям скольжения первого семейства, нижние — к линиям скольжения второго семейства. Компоненты

тензора предельных напряжений определяются формулами:
x = (1 – sin cos2 ) – kctg ;
x = (1 – sin cos2 ) – kctg ;	(6)
zx = sin cos2 .

В рассматриваемом случае в основании действует одна массовая сила — удельный вес грунта основания : Z = , X = 0. Тогда с учетом выражений (3),

из которых определяются параметры k и , уравнения (5) примут вид:

dx = dztg( ± ),

(7)

*

dz dxtg

*

dx dztg .

d 2 tg d

э

э

1

1 x

z

При решении задачи с применением теории линейно деформируемой среды выражение для определения среднего напряжения *э, полученного от воздействия трапецеидальной уплотняющей нагрузки с максимальной ординатой р*, можно записать так:

*э = р*А + z,

A

1

a(

) b

x

zln

cos 2

cos 3

,

2

1

3

3

1

3

1

cos 1

cos 4

a

1

arctg

x b a

;

2

arctg

x b

;

3

arctg

x b

;

4

arctg

x b a

, (8)

z

z

z

z

1 = 1 – 2; 2 = 2 – 3; 3 = 3 – 4.

29

Вестник СГУПСа. Выпуск 23

Предельное напряженное состояние в основании определяется в соответствии с граничными условиями (1) численным интегрированием системы канонических уравнений (7) методом конечных разностей по характеристикам. Обозначим символами , , z и х значения этих переменных в некоторой искомой точке, лежащей на пересечении линий скольжения различных семейств или на пересечении линии скольжения одного из семейств с границей. Обозначения 1,1, z1, х1 и 2, 2, z2, х2 будут соответствовать параметрам , , z, х в точках близлежащих от искомой на линиях скольжения первого и второго семейства соответственно. В численном решении принята следующая конечно-разностная форма дифференциальных уравнений (7):

для линий скольжения первого семейства

																																								1
																					x x						(z z )tg																	,
																																					2
																										1				1
																					– 1						+ ( + 1)tg ( – 1) = р1,																												(9)
										*									z z (x x )tg																						*							x x					(z z )tg ;
p											э																																	э
	1									z													1						1			1											x							1					1
						1									1																																1
	для линий скольжения второго семейства
																					x x					2	(z z )tg								2									,
																														2							2
																					– 2						+ ( + 2)tg ( – 2) = р2,																												(10)
							*											z z (x x												)tg												*						x x				(z z )tg .
p											э																																	э							2
2										z											2								2			1												x											2
				1										2																																		2
											*													*
														э											э				в формулах (9) определяются из выражения
	Производные										z										и			x
																	1										1
											z z											x x																						*э						*э
																			1								1
(8) для координат														2							и		2						, а производные															z					и	x					в формулах
																																															2							2
(10) — для координат																				z z2					и			x x2			также из выражения (8).
																					2								2

Численное интегрирование в области предельного равновесия выполняется в рамках решения краевых задач статики сыпучей среды. На рис. 2 показана схема зон предельного равновесия в основании насыпи и обозначены соответствующие решениям в этих зонах номера краевых задач.

Перейдем к описанию решений по зонам. В зоне ABC имеет место максимальное напряженное состояние. Здесь решается первая краевая задача. На свободной границе AB имеем следующие условия:

z = 0,					c ctg		(11)
			,			.
		2			1 1 sin

30

К.В. Королев, Сонг Ен Ун, А.М. Караулов

b

a

Эпюра z (z=0)

p

u

			A	B
	O	G	F	x
				D
	Осьсимметрииось		J
			E	C
		H

z

Рис. 2. Расчетная схема области предельного равновесия в основании насыпи

Далее, в зоне AJF решается также первая краевая задача, но имеющая особенность, заключающуюся в обеспечении линейности эпюры нормального давления на границе AF в соответствии с граничными условиями (1). Для граничных точек решение дается следующей системой пяти уравнений:

x	2	x z	2	tg	1		,
		1			2

2 1 ( 2 1)tg ( 1) p1,

		x x2 z2 tg ,				(12)
			2 p2,
p 1	x b		1 sin cos 2 kctg .
u	a
Здесь при заданной величине неизвестными являются z2, х2, 2,						x и . В
крайней точке F этой зоны имеет место равенство					.
				2

В зоне GFE решается третья краевая задача при известных параметрах , , z и x на линии скольжения FE. Для точек на границе решение дается системой трех уравнений:

								1
			x x1			z1 tg			,
							2
		1		( 1)tg ( 1) p1,						(13)
p	1		x b			1 sin cos 2 kctg .
u			a

Зона DCHG дается решением второй краевой задачи статики сыпучей среды при известных параметрах , , z, x на линиях скольжения GH первого семейства DEG и второго семейства GH. Интегрирование осуществляется по уравнениям (9), (10).

31

Вестник СГУПСа. Выпуск 23

В последней зоне OGH решается третья краевая задача при известных значениях параметров , , z, x на линии скольжения GH и граничном условии

(1) для участка OG. Для точек на границе OG решение дается системой трех уравнений:

				1
x x1	z1	tg				,
			2
1 ( 1)tg ( 1) p1,							(14)

pu 1 sin cos 2 k ctg .

Приведенные системы конечно-разностных уравнений являются нелинейными относительно неизвестных. Решение этих систем достигается методом итераций.

Далее реализация изложенного алгоритма предполагает предварительное назначение величины pu. В результате решения в точке O на оси симметрии должно иметь место равенство

o = = 0.

(15)

Таким образом, величины ри и о однозначно связаны между собой. Искомая величина ри находится из условия (15) также методом последовательных приближений.

Изложенный алгоритм позволяет осуществлять строгое статическое решение теории предельного равновесия задачи о предельном давлении насыпи на консолидирующееся основание для общего случая наличия коэффициента порового давления, отличного от нуля, и для условий предварительного уплотнения основания.

На рис. 3 показан пример сетки линий скольжения в консолидирующемся основании насыпи, рассчитанный для следующих исходных данных:

30 ; 0,7; 1,0; b 0,3; p* 1,0. a

p	a + b =
	a+b=1,3
8	bb=0,3
6
4
2		2	3
	A			B
0

z

Рис. 3. Пример сетки линий скольжения в консолидирующемся основании насыпи

32