Группа 1(1–11)
Понятие числового ряда и сходимости ряда
Пусть дана бесконечная последовательность U1, U2, U3, …, Un, …
Тогда выражение U1+U2+U3+…+Un+… – называется рядом, а U1, U2, U3, …, Un, … - члены ряда.
Выражение для Un при произвольном n – общий член
Сходимость.
Пусть дан ряд U1+U2+U3+…+Un+…, тогда Sn – частичная сумма ряда Sn=U1+U2+…+Un.
Последовательность сумм S1=U1; S2=U1+U2; Sn=U1+U2+…+Un.
Если при n существует предел последовательности частичных сумм членов , то ряд сходится, а S – сумма ряда.
Если последовательность Sn не стремится к пределу, то ряд расходится:
Если Sn
Если Sn – колеблющаяся
Разность между суммой ряда S и его n-ой частичной суммой – остаток ряда Rn
Простейшие свойства сходящихся рядов. Гармонический ряд
Если U1+U2+U3+…+Un+…=S сх-ся, то λU1+λU2+λU3+…+λUn+…=λS, тоже сх-ся
Если S’= U1+U2+U3+…+Un+… и S’’=V1+V2+V3+…+Vn+… сх-ся, то (U1+V1) + (U2+V2) + (U3+V3) +…+(Un+Vn) +…=(S’+S’’) сх-ся (так же для ряда с минусом)
Если ряд сходится, то сходится и ряд полученный из данного, путём приписывания или отбрасывания конечного числа его членов.
ряд – сх-ся, то последовательность Rn = является бесконечно малой.
Гармонический ряд
1+
Необходимый признак сх-ти
Для сх-ти ряда необходимо, чтобы
Д-во: Sn=U1+U2+…+Un=Sn-1 + Un; если ряд сх-ся, то , тогда
Достаточный признак расх-ти. Если , ряд рас-ся
Абсолютная и условная сх-ть ряда
Рассмотрим ряд, члены которого могут иметь любой знак
Ряд называется абсолютно сх-мся., если сх-ся ряд
Ряд называется условно сх-мся, если этот сх-ся, а соотв. ряд из модулей – расх-ся.
Примеры:
абсолютно сходящийся при α>1
условно сходящийся при α≤1
Бесконечные произведения (БП). Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.
Пусть U1, U2, U3, …, Uk, … бесконечная последовательность, тогда выражение вида:
U1*U2*U3*…*Uk*…= – бесконечное числовое произведение, Uk – члены данного произведения.
Частичным произведением ряда называют произведение его k членов: Pk
Бесконечное произведение явл-ся сх-мся, если последовательность частичных произведений Pk имеет конечный предел P, причём
(P значение БП)
Для сходимости бесконечного произведение необходимым условием является, чтобы Uk , при k
Док-во: пусть сх-ся к P, тогда , поскольку , то существует и
Связь сходимости бесконечных произведений и рядов.
БП с положительными членами явл-ся сх-мся тогда и только тогда, когда сх-ся числовой ряд:
, при этом сумма ряда S и значение P БП связаны
Док-во:
Sn=
Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
Последовательность функций f1(x), f2(x), f3(x), …, fn(x), …, где x ϵ X, т. е. каждому n ϵ N ставится в соответствии по определённому закону функция fn(x).
Множество «занумерованных» функций называется функциональной последовательностью.
Сумма членов функциональной последовательности называется функциональным рядом:
, где fn(x) – фун-ии, опред. на некотором множестве X. X – область сходимости ряда.
Понятие степенного ряда (СР). Условие абсолютной сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где a0, a1, …, an, … постоянные, коэффициенты степенного ряда.
чаще всего СР рассматривают при
Всякий СР сх-ся в точке x=0
Условие абс. сх-ти:
Если СР сх-ся в точке x = x0 ≠ 0, то он сх-ся абсолютно для любого x, удовлетворяющего условию |x|<|x0|, т.е. в интервале (-|x0|, |x0|)
Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.
Радиусом сх-ти СР называется такое число R, что для любого x: |x|<R, СР сх-ся, а для всех x, |x|>R рас-ся.
Интервал (-R, R) называется интервалом (областью) сх-ти ряда.
Для области сх-ти возможно три случая
Обл. сх-ти – одна точка x=0, ряд рас-ся для любых x, кроме x=0 Пример:
Обл. сх-ти состоит из всех точек оси Ox (-∞;+∞). Пример:
Обл. сх-ти имеет больше одной точки, но также имеются те, которые не входят в обл. сх-ти. Пример: сх-ся при |x|<1, рас-ся при |x|>1
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора базисных элементарных функций.
Функция на множестве , где x ϵ (-R, R) может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сх-ся к на указанном интервале. (по сути, )
Для того, чтобы функция могла быть разложена на этом интервале необходимо (но недостаточно), чтобы эта функция имела на этом интервале непрерывные производные любого порядка.
Коэффициенты степенного ряда, в который может быть разложена функция, однозначно определяются формулой. Такой ряд называют ряд Тейлора.
Если функция f(x) может быть разложена на интервале (-R, R) в степенной ряд, то этот ряд явл-ся рядом Тейлора.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в ф-ле Тейлора для этой функции
(формула Тейлора)
элементарные функции при a=0 (ряд Маклорена, частный случай ряда Тейлора:
Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая определена по крайне мере на промежутке [-π, π] (а, возможно, и на большем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке [-π, π], то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где
разложение чётной функции –
разложение нечётной функции –