Математика.-1
.pdfТомский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика Учебное пособие (курс лекций) 2 семестр
для специальности 09.03.03 прикладная информатика в экономике
Томск
ТУСУР
2017
1
Электронное пособие составлено и скорректировано с учѐтом реального проведения лекций на ФСУ в гр. 446-1-2 весной 2017 года.
2
Оглавление по темам |
|
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ. |
5 |
§1. Определения и основные методы. |
5 |
§2. Интегрирование рациональных дробей. |
11 |
§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических |
|
выражений. |
17 |
§4. Определѐнный интеграл и его приложения. |
27 |
§5. Несобственный интеграл. |
38 |
§6. Кратные интегралы. |
46 |
ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. |
60 |
|
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. |
60 |
|
§ 2. |
Дифференциальные уравнения порядка n. |
70 |
§ 3. |
Линейные дифференциальные уравнения порядка n. |
74 |
§ 4. |
Системы дифференциальных уравнений. |
87 |
§ 5. |
Комплексные числа, их связь с дифф.уравнениями. |
90 |
ГЛАВА 3. РЯДЫ. |
104 |
|
§ 1. Числовые ряды. |
104 |
|
§ 2. |
Функциональные ряды. |
117 |
§ 3. |
Степенные ряды. |
120 |
§ 4. |
Ряды Тейлора и Лорана. |
126 |
§ 5. |
Ряды Фурье. |
|
3
Оглавление по номерам лекций |
|
|
Лекция 1. 14.02.2017 |
5 |
- 15 |
Лекция 2. 21.02.2017 |
16 |
- 26 |
Лекция 3. 28.02.2017 |
27 |
- 38 |
Лекция 4. 07.03.2017 |
38 |
- 49 |
Лекция 5. 14.03.2017 |
50 |
- 59 |
Лекция 6. 21.03.2017 |
60 |
- 69 |
Лекция 7. 28.03.2017 |
70 |
- 79 |
Лекция 8. 04.04.2017 |
79 |
- 89 |
Лекция 9. 11.04.2017 |
90 - 101 |
|
Лекция 10. 18.04.2017 |
102 -114 |
|
Лекция 11. 25.04.2017 |
115 -125 |
|
Лекция 12. 02.05.2017 |
126 -134 |
|
Лекция 13. 16.05.2017 |
135 - 143 |
|
Лекция 14. 23.05.2017 |
144 - 152 |
|
Лекция 15. 30.05.2017 |
153 - 154 |
|
Приложение 1. Вопросы на доказательства. |
155 |
|
Приложение 2. Мелкие и устные вопросы на знание теории |
|
|
(для коллоквиумов). |
|
161 |
Приложение 3. Задачи из лекций. |
|
166 |
Литература |
|
172 |
4
ЛЕКЦИЯ № 1. 14. 02. 2017
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Определения и основные методы. Определение. Если F (x) f (x) , то F(x) называется
первообразной от функции f (x) .
Свойство. Если F(x) первообразная, то F(x) C (для любого
C R ) тоже является первообразной для той же самой функции |
f (x) . |
Это легко доказать, действительно, (F(x) C) = f (x) 0 = |
f (x) . |
Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график F(x) , снова будет первообразная.
Свойство. Если F1 (x) и F2 (x) две различные первообразные
функции f (x) , то F1 (x) F2 (x) С .
Доказывается так: (F1 (x) F2 (x)) С , то есть f (x) f (x) 0 . Определение. Множество всех первообразных от одной и той же
функции f (x) называется неопределѐнным интегралом этой функции.
Обозначение: f (x)dx F(x) C .
Свойства линейности.
1.af (x)dx a f (x)dx
2.f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
Замечание.
Для произведения свойство f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2
простейшие функции, например |
f (x) x , |
g(x) x . Тогда: |
||||||||
f (x)g(x)dx x xdx = x2 dx = |
1 |
x3 |
C , в то же время |
|||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 2 |
|
|
|
x 4 |
||||||
|
|
|
|
C = |
|
C . |
||||
f (x)dx g(x)dx xdx xdx = |
2 |
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5
Впрочем, можно даже рассмотреть |
f (x) |
произвольную, g(x) 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда f (x)g(x)dx f (x)dx F(x) C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)dx g(x)dx f (x)dx 1dx = F (x) x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица основных интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0dx C |
x a dx |
x a 1 |
|
C |
( a 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
dx ln | x | C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
dx arctgx C |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
1 |
|
arctg |
x |
|
C |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx arcsin x C |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx arcsin |
|
x |
C |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||
a x dx |
a x |
C |
ex dx ex C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cosxdx sin x C ; |
|
|
sin xdx cosx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx tgx C |
|
|
|
|
1 |
|
dx ctgx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Объяснение причины возникновения модуля в |
1 |
dx ln |
|
x |
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция |
ln x существует только на правой полуоси, тогда как |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на
левой полуоси. Функция ln x является чѐтным продолжением ln x на
левую полуось, и именно она там является первообразной для 1 при x
x 0.
6
Методы интегрирования.
1. Преобразования подынтегральных выражений.
Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,
Пример. x2dx = 13 3x2 dx = 13 x3 C .
Когда сформировали выражение 3x 2 , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или
забыть коэффициент. |
|
|
Аналогично, допустим, что мы помним, |
что (eax ) aeax . |
Тогда |
можно постараться сформировать готовое |
выражение типа |
aeax |
внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:
Пример. eaxdx = 1a aeaxdx = 1a eax C .
Тригонометрические преобразования: Пример. Вычислить cos2 xdx .
Решение. Применим формулу понижения степени. |
||||||||||||||||||
|
|
cos2 |
xdx = |
|
1 cos2x |
dx |
= |
1 |
1dx |
|
cos2xdx = |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
sin 2x |
C |
= |
|
|
|
|
sin 2x C . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
7
Пример. Вычислить |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||
x a |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x a a |
|
|
a |
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
dx = 1 |
|
|
dx = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x a |
|
|
|
|
x a |
|
|
x a |
||||||||||
1dx a |
1 |
|
|
|
dx = x a ln |
|
x a |
|
C . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. x a ln |
|
x a |
|
C . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Замена переменной.
Бывают такие случаи, когда функция имеет вид f (g(x)) , то есть явно видно, что всѐ выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всѐ выражается через sin x или x . Делается замена на t , только нужно не забыть пересчитать dx , потому что dx dt , если только замена не является простым линейным сдвигом t x a .
Пример. |
Вычислить |
|
x |
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Сделаем замену t |
x , тогда x t 2 , |
dx (t 2 ) dt , |
|||||||||||||||||||||||
dx 2tdt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
dx = |
2tdt |
= (2t 2)dt = t 2 2t C . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обратная замена: t 2 2t C = |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
x |
C = |
|
x |
2 |
|
x C . |
|||||||||||||||||
Более того, область определения исходной функции |
(0, ) из-за |
наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля
в ответе является излишним, ответ можно записать так: x 2 x C .
Если в функции присутствуют корни разного порядка, например x и 3 x , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от t .
Если t 6 x , тогда: x t 6 , dx 6t 5 dt .
8
Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени t :
1 |
2 |
= 6 |
|
|
2 t 2 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 x x 3 |
x 6 |
x |
|||||||||||||||
1 |
|
|
3 |
|
= 6 |
|
|
3 t 3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x x 2 |
x 6 |
x |
3. Подведение под знак дифференциала.
Если интеграл имеет вид f (g(x))g (x)dx , то есть в функции
присутствует какой-то множитель, который достаточно легко подлежит интегрированию, а в остальном множителе есть явная зависимость от его первообразной, то это значит, что подынтегральная функция есть производная от композиции f (g(x)) .
Тогда можно g (x)dx объединить и назвать d (g(x)) , и далее g(x)
можно будет повсеместно заменить на t . Рассмотрим, как это действует, на примерах.
Пример. Вычислить sin 2 x cosxdx . |
|
Решение. |
sin 2 x cosxdx = sin 2 xd(sin x) , фактически здесь уже |
подготовлена |
замена t sin x , более того, дифференциал |
пересчитывать не нужно, потому что под дифференциалом и так
сформировано то же самое, что будет |
называться t . То есть, это |
||
частный случай замены переменных, только более простой. |
|||
Итак, вид интеграла получается t 2 dt |
= |
1 |
t 3 C . |
|
|||
|
3 |
Сделаем обратную замену, и вот ответ: 13 sin 3 x C .
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
Проверка: |
|
sin |
|
x |
|
= |
|
3sin |
|
x sin x = sin |
|
x cos x , то есть |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
именно исходную подынтегральную функцию мы и получили.
4. Интегрирование по частям.
Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от
9
того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:
udv uv vdu
Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.
u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx .
Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен v ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, u понижено до производной, а v повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.
Доказательство формулы.
Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: u(x)v(x) =
u (x)v(x) u(x)v (x) . Тогда u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) .
Тогда и неопределѐнные интегралы от этих двух функций совпадают:
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) dx u (x)v(x)dx .
Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.
|
|
|
|
u(x)v(x) dx u(x)v(x) C . |
|
|
|
Поэтому |
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx . |
|
|
Пример. Вычислить xex dx . |
|
|
|
Решение. |
Если обозначить u x , |
v e x , то при переходе к |
u |
степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдѐт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там
не усложняется, остаѐтся точно так же как и было, e x . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!
10