358529

a = −∞; то

|f(x) − a| < " заменяют на f(x) < −

1

;

"

a = ∞; то |f(x) − a| < " заменяют на

1

|f(x)| >

:

"

Например, для функции y = x2

xlim x2 = +∞ " > 0; > 0; x D и x < −

1

: f(x) >

1

:

"

→−∞

Основные свойства пределов функции

Пусть

lim f(x) = a и

lim g(x) = b; тогда

x→x0

x→x0

lim (f(x) + g(x)) = a + b;

x→x0

·

lim (f(x)

g(x)) = ab;

x x0

→

f(x)

a

lim

;

если

b

̸= 0 и

g x

в окрестности

x

:

g(x)

= b

x x0

( ) ̸= 0

0

→

Доказательство см. в учебнике.

Имеют место также свойства, аналогичные следствию 1, которые символически можно записать так:

a · ∞ = ∞; если a ≠ 0; a = 0;

∞

a0 = ∞; если a ≠ 0:

Случаи 00; 0 · ∞; 1∞; ∞ − ∞; 00; ∞0 называют неопределенностями, к ним надо применять особые методы.

Пример 3.1. lim 1 = ∞: Доказать.

x→0 x

По определению Коши надо для " > 0 найти > 0; такое что из неравенства 0 < |x − 0| < будет следовать, что x1 > 1":

Решаем последнее неравенство:

1 > 1 |x| > ":

|x| "

Берем = "; тогда из неравенства |x| < следует x1 > 1":

Пример 3.2. lim 2x = 0: Доказать.

x→−∞

11

Напишем определение Коши применительно к этому случаю:

1

: |2x| < " 2x

< " откуда x < log2 ":

" > 0; > 0;

x <

−

Обозначим log2 " = −

1

;

откуда = −

1

:

log2 "

§ 4. Основные типы примеров на вычисление пределов

Тип 1. Предел многочлена при x → ∞:

3

1

lim (2x3

3x + 1) = lim x3

2

+

=

−

− x2

x3 )

Например, x→∞

x→∞

(

= (−∞ · 2) = −∞:

Общий вывод: при x → ±∞ многочлен стремится туда, куда стре-

мится старший член.

частного двух многочленов при x

Тип 2. Предел

→ ∞

:

3x2

+ x + 1

Например,

lim

= делим числитель и знаменатель на

5x2

−

x + 4

x→∞

1

1

3 +

+

=

3

:

старшую степень = lim

x

x2

1

4

x

5

→∞ 5

−

+

x

x2

Тип 3. x→1

x3

x2 + x

−

1

0

−x2

1

= (0) = разложить многочлены на

lim

−

(x − 1)(x

2

+ 1)

x

2

+ 1

2

множители и сократить = lim

= lim

=

= 1:

(x − 1)(x + 1)

2

x→1

x→1 x + 1

√( )

Тип 4.	lim	1 −	√3	x	=	0	:	Сократить дробь, переведя иррацио-
	x→1	1 −		x		0

нальность из числителя в знаменатель и из знаменателя в числитель. Для

этого умножим числитель и знаменатель на

1+√

(сопряженное к

1

−

√

)

x

x

3

3

√

2

:

(неполный квадрат суммы) и на 1 + √x +

x

Получим

√3

√3

3

2

3

2

)

lim

(1 − √x)(1 + √x)(1 + √x +

x

)

= lim

(1 − x)(1 +

√x +

x

=

√3

2

√

x 1

3

√

3

x

1

(1

→ (1 −

√

√

x +

x )

→

−

x)(1 +

x)

x)(1 +

x)(1 +

√3

3

x

2

3

= lim

1 + √x +

=

:

x

→

1

√

2

1 + x

3

√3

Важное замечание. Если x → 1; то будет ли

√

x →

1?

√3

В более общем случае: если

x → x0

будет ли

3

Для

x → √x0?

√

функции y = 3 x это верно. Но не для всякой функции. Функции, для

12

lim f(x) = f(x

);

x

D

(f);

которых x→x0

0

где

0

называются непрерывными и

для них можно выполнить предельный переход под знаком функции.

Доказано (см. учебник), что все элементарные функции непрерыв-

ны, каждая в своей естественной

области определения. Поэтому,

если

x

f ;

то

lim f(x) = f(x

):

0 D( )

x→x0

0

Например,

lim sin x = sin x0;

x→x0

lim ex = ex0 ;

x→x0

lim x = x0 ;

x→x0

n

n

lim

√

x = √x0

и т. д. x→x0

Приведем пример, где предельный переход под знаком функции

невозможен.

– целая часть x: Для x [1; 2) [x] = 1: Рас-

Рассмотрим y = [x]

смотрим предел слева: x

lim [x] =

lim

1 = 1 = [2] = 2:

2

0

x

2 0

̸

→ −

→ −

Тип 5. Первый замечательный предел.

Известно (см. учебник), что

lim

sin x

= 1 (неопределенность

0

).

0

Откуда lim

x

= 1:

x→0

x

x→0 sin x

1

cos 6x

0

2 x

lim

=

=

1

cos x=2 sin

Пример 4.1. x→0

− x2

(0)

(по формуле

−

2 )

= lim

2 sin2 3x

= lim 2

sin 3x · sin 3x · 9

= 18 (так как lim

sin 3x

= 1; здесь

x→0

x2

x→0

3x · 3x

x→0

3x

3x выступает как новая переменная и 3x → 0 ). Ссылка на первый замечательный предел законна.

−

2 sin

x + a

sin

x − a

cos x − cos a

Пример

4.2.

lim

=

lim

2

2

=

x→a

x − a

x→a

x − a

x + a

sin

x − a

−

2

lim sin

lim

=

sin a:

2

x

a

= − x a

· x a

−

→

→

2

Пример 4.3. Метод замены переменной.

(

−

)

lim

sin

x

3

=

0

:

(0)

x→ 3

1 − 2 cos x

13

Введем новую переменную по формуле t = x −

откуда

и при

;

x = t +

3

3

x →

будет t → 0:

Получим

3

lim

sin t

= lim

sin t

=

√

t

0

t

0

1

3

→

1 − 2 cos

(t + 3 )

→

(cos t

)

1

− 2

·

− sin t ·

2

2

lim

sin t

= lim

sin t

:

= t→0 1 − cos t + √3 sin t

t→0 2 sin2

t

+ √

sin t

3

2

Чтобы получить замечательный предел, поделим числитель и знаменатель

на t: Получим

sin t

lim

t

=

1

:

t

√

t

→

0

t

sin

√

sin t

3

2

sin

·

+

3

2

t

t

2

Тип 6. Второй замечательный предел

1

n

lim

1 +

= e;

n

:

n)x

N

6.1.

n→∞

(

где

lim

1 + 1

= e;

x

:

6.2.

x→∞

(

)

R

Заметим, что символ ∞ допускает,

x

что x → −∞:

1

= e; x

:

6.3.

lim (1 + x)x

R

x 0

Это

→

случая

второго

замечательного

предела, где

три разных

e = 2; 71818::: :

Неопределенность во всех случаях 1∞:

2x + 3

x

lim

:

Пример 4.4.

2x + 1)

x→∞ (

∞

Здесь мы имеем неопределенность

уже внутри скобок:

∞

3

2x + 3

2 +

= 1;

lim

= lim

x

2x + 1

1

x→∞

x→∞ 2 +

x

а в целом неопределенность вида 1∞:

Значит, надо подгонять под второй

замечательный предел:

)

2x + 3 x

2x + 3

x

4

x

lim

= lim

1 +

1

lim

=

2x + 1 −

x→∞ (2x + 1)

x→∞ (

= x→∞ (1 + 2x−+ 1)

14

→∞ (

)

→∞

(

)

2x+1

4

= xlim (

2x+1

)

4x

4 4

·

2x+1

·x

4

4

2x+1

= xlim

1 +

−

1 +

−

:

2x + 1

2x + 1

()2x+1

lim 1 +			−4	4			= e;
x→∞
			2x + 1
по второму замечательному пределу
lim	−4x	= lim		−4			= 2:
x→∞ 2x + 1			x→∞ 2 +		1		−
					x

В силу непрерывности степенно-показательной функции вида (f(x))g(x) при непрерывных f(x) и g(x); получим результат = e−2:

Пример 4.5.

lim (cos 2x)−

1

= (1∞) = lim (1 + cos 2x

−

1)−

1

=

x2

x2

x

0

x

→

0

→

1

1

2 sin2 x

1

= lim

1

2 sin2 x

−

x2

= lim

1

2 sin2 x

2 sin2 x

·

1

·(−

x2

) =

x→0 (

−

)

x→0 (

)

−1

)

2 sin)2 x

−

2 sin2 x

x2

= e−2:

lim

1

2 sin2 x

= x→0

((

У второго замечательного предела есть очень полезные следствия.

6.4. lim

ln(1 + x)

= 1:

x→0

x

x

e

x

6.5. lim

a

− 1

= ln a;

lim

− 1

= 1:

x

x

x→0

− 1

x→0

6.6. lim

(1 + x)

= :

x→0

x

Доказательства можно провести самостоятельно или найти в учебнике. Этими следствиями в дальнейшем пользуются наравне с замечательными пределами.

Пример 4.6. Пусть a > 0; тогда

)

x

x

− 1

ln

1 +

x − a

ln x

ln a

ln a

ln 1 + a

)

(

a

1

lim

−

= lim

= lim

(

= lim

=

x

−

a

x→a

x − a

x→a x − a

x→a

x − a

x→a

·

a

a

a

x − a

(так как

→

0

при

x

→

a;

то применимо следствие 6.4).

a

Пример 4.7. lim

ax − xa

(a > 0): Неопределенность

0

; как и в

0

x→a

x − a

x = a + t: Получим

следствии 6.5. Сделаем замену x − a = t;

15

t a

aa+t + (a + t)a

= lim

aa · at − aa (1 +

)

lim

a

=

t→0

t

t

a

t→0

t

t

a

= lim

aa (at − (1 +

)

)

= aa lim

at − 1 + 1 − (1 +

)

a

a

=

t→0

t

a

t→0

t

t

a ·

aa lim

at − 1

(1 + a) − 1

= (по следствиям 6.5, 6.6) = aa(ln a

−

1):

t

t→0

−

t

a

Пример 4.8.

lim √1 + ax − √1 + bx = lim (1 + ax)m − 1 + 1 − (1 + bx)n =

n

1

1

x→0

m

x

x→0

x

1

−

1

−

(1 + ax)

1

(1 + bx)n

1

a

b

m

x→0 (

ax

·

−

bx

·

) = m

− n

lim

a

b

:

Приведем несколько искусственных приемов вычислений приемов.

Пример 4.9.

√

lim

1 − cos x

cos 2x

= (метод «добавить-отнять») =

x→0

x2

√

= lim

1 − cos x + cos x − cos x

cos 2x

=

x→0

x2

√

= lim

1

cos x

+

cos x(1 −

cos 2x)

:

x2

x→0 (

−x2

)

2x

x

2

cos x

2 sin

sin

1

1

2

2

lim

1 −

= lim

= lim 2

=

:

2

x

2

x

· 4

x→0

x

x→0

x→0

2

2

lim

cos x(1 − √

)

= lim

cos x(1 − √

)(1 + √

)

=

cos 2x

cos 2x

cos 2x

x2

x2(1 + √cos 2x)

x→0

x→0

= lim

cos x(1 − cos 2x)

= lim

cos x

lim

1 − cos 2x

:

x→0

x2(1 +

√cos 2x)

x→0 1 + √cos 2x · x→0

x2

16

Вычислим каждый предел отдельно:

lim

cos x

=

1

;

2

x→0 1 + √cos 2x

lim

1 − cos 2x

= lim

2 sin2 x

= 2:

1

x→0

5

x2

x→0

x2

Ответ:

+ 2 =

:

2

2

Пример 4.10.

√3

√3

− √

lim

x3

x2

x2

x

= lim

x3

x2

x

x

x2

x

x→∞

(

+ 3

− √

− 2 )

1

x→∞

(

+ 3

−

1+

− 2

) =

= xlim

(x (

(

1 + x

− 1) − x (

1 − x

− 1)) =

→∞

)

(

)

3

3

2

2

3

1

2

1

(1 +

)

3

(1 −

)

2

− 1

− 1

lim

x

3

x

:

x ·

= x→∞

· −

x −

= 1 + 1 = 2

1 3

1 ( 2)

(−2)

17

Литература

1.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 2 т. / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Наука, 1981. – Т. 1. – 584 с.

2.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. – М. : Физматлит, 2002. – 558 с.

3.Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. – М. : Наука, 1995. – 592 с.

18

Учебное издание

ПРЕДЕЛ БЕЗ СЕКРЕТОВ

Учебно-методическое пособие

Составители:

Украинский Павел Сергеевич, Виноградова Галина Анатольевна, Шишкина Элина Леонидовна, Шашкин Александр Иванович

В авторской редакции

Подписано в печать 10.04.2015 г. Формат 60×84/16 Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 50. Заказ 156.

Издательский дом ВГУ 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10.

Отпечатано в типографии Издательского дома ВГУ 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3