новая папка 1 / 325476

Задание 2. Провести полное исследование функции, построить ее график.

y = ln

x 2 +1 −1

y =

1

x

,

б)

x2

+3

а)

Вариант 6

Задание 1. Найти производные функций:

2

2a

y = Ln4

1 −8x

y =

в)

y = x sin 2 ln cos sin x .

x8 +1 ;

arctg x ;

а)

б)

Задание 2. Провести полное исследование функции, построить ее график.

		y =	ln x			2
	а)		x ,		б) y = (2 + x 2 )L−x

Раздел № 5. «Теория многочленов»

Вариант 1

x3 + 6

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 +5x −6

x2 + 4

(x + 2)2 x

Задание 2. Найти корни уравнения и разложить многочлен в левой части уравнения на множители.

Вариант 2

2x3 + 25

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 +3x + 2 x2 −1

(x −3)2 (x +3)

Задание 2. Убедиться, что многочлен делится на двучлен

x +1 без остатка и найти частное.

x2 (x +5)

Вариант 3

x3 +1

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 −3x + 2

x+1

x2 (x +5)

Задание 2. Найти корни уравнения

Вариант 4

11

x3 − 2

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 −5x + 6 x2 −3

(x + 2)3

Задание 2. Решить уравнение

Вариант 5

x3 +3

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 + x −6

x + 7

x2 − 2x +1

Задание 2. Разделим многочлен на

Вариант 6

x3 + 4

Задание 1. Разложить дробь на сумму простейших дробей: x2 − 4x +3 x3 + 4

(x − 4)2 x

Задание 2. Найти частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен х-1.

Раздел № 6-7. «Неопределенный интеграл. Определенный интеграл»

Вариант 1

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

а) ∫

3x 2

+ L x

б) ∫

arcng 2x

в) ∫x cos 2xdx;

г) ∫

x3 + 6

dx;

dx;

dx

x

3

+ L

x

1 + 4x

2

x

2

+

5x − 6

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = −x2 + 4x −1, y = −x −1

Задание 3. Вычислить по формуле Ньютона– Лейбница определенный интеграл

2	ln x		2	dx
а) ∫		dx;	б)∫
				3
						x	2
1	x		1	x +

Вариант 2

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

12

3x 2 + 2 sin 2x

sin x

2x3 + 25

∫

dx; ∫ xL7 x dx;

∫

dx;

∫

dx

x

3

− cos 2x

1

+ cos

2

x

2

x

+ 3x + 2

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 2x 2 − 3x,

y = 5

Задание 3.

Вычислить

по

формуле

Ньютона– Лейбница определенный

интеграл

7

− 1

π

3

x

6

dx

∫

dx;

∫

3

1 − sin x

0

x + 1

0

Вариант 3

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

∫

x3

dx;

∫

ln(x + 3)

dx;

∫ x sin 4xdx;

∫

x3 + 1

dx

− x 4

x

2

− 3x + 2

1

x + 3

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = −x 2 + 6x − 5,

y = x − 5

Задание 3. Вычислить по формуле Ньютона– Лейбница определенный интеграл

						π
1			dx			2
∫					;	∫sin 2 xdx
	L	x	+ L	− x
0						0

Вариант 4

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

∫	x2		∫Lsin 3 x cos 3xdx;	∫	ln x		∫	x3 − 2
		dx;				dx;			dx
	1+ x6				x3			x2 − 5x + 6

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x 2 − 6x + 7,

y = x + 1

Задание 3. Вычислить по формуле Ньютона– Лейбница определенный интеграл

					π
1		dx			2
∫				;	∫ cos2 xdx
	1 +
0			x		0

Вариант 5

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

13

4

5x 2

x3 + 2

∫ L − x x3 dx;

∫

dx;

∫ x 4 ln xdx;

∫

dx

x

2

− x − 2

1 − x 6

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = -x 2 + 6x - 5, y = -x +1

Задание 3.

Вычислить

по формуле

Ньютона– Лейбница определенный

интеграл

1

dx

x

∫

dx;

∫

dx

1 +

(x

2

2

0

x

+1)

Вариант 6

Задание 1. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием

∫

3

4 - 5sin 2x

× cos 2xdx;

∫

dx

∫ xL

2 x

∫

x3 + 3

;

dx;

dx

x

2

+ x − 6

x ln x

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x2 - 6x + 7,

y = -x + 7

Задание 3.

Вычислить

по

формуле

Ньютона– Лейбница определенный

интеграл

π

1

x

2

dx

∫

dx;

∫

4

1 + cos x

0

1 + x

−

π

2

Раздел №8. «Функция нескольких переменных переменных»

Вариант 1.

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х, y, z).

и = x3 y2 z+z4 y3 x+y4 x2 z.

Задание 2. Найти частные производные для функции z(x, у) , заданной неявно.

ln(х+у + z ) = х+ y + z

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).

u = (x+y)

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности в точке М0.z -		arctg		0, M0 (1; 1;		).

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум.

14

z= (5 - 2х + у)

Вариант 2

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х, y, z).

и =ln(x+у2 +z)+z4 x5 y3

Задание 2. Найти частные производные и для функции z(x, у) , заданной неявно.

sin(x+y+z)=

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).

u = (x+2y)ex-y

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0.

z = y tg		, М0		.

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум.

2

z = ху (1-х-у).

Вариант 3

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х, y, z).

и =

Задание 2. Найти частные производные заданной неявно.

и

для функции z(x, у) ,

sin(x- y + z) = x 2 + y + 3z.

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).u = x4y5 +

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0.

π π

sin x-cos y = z, М0 ; ; .

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум. z= 3х2 -х3 +3у2 +4у.

Вариант 4

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х,y, z). u = z sin(xy) +

15

Задание 2. Найти частные производные !!" и !#!" для функции z(x, у) ,

заданной неявно.

$ .

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).

u = y sin(2x-y)

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0

z = excos у, M0 (l; π; -e).

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум. z = х3 +3ху2 -15х-12у

Вариант 5

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х, y, z). u = & .

Задание 2. Найти частные производные и для функции z(x, у) ,

заданной неявно.

2 = z - y + x

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).

u = x2exy

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0.

z3 - 4xz + y2 – 4 = 0, M 0 (1; -2; 2).

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум. z= 2х3 -ху2 +5х2 +у2

Вариант 6

Задание 1. Вычислите все частные производные для функции u(х, y, z). u= х - cos(x + у-z).

Задание 2. Найти частные производные и для функции z(x, у) , заданной неявно.

ln(x-2y+z)= x-z

Задание 3. Вычислите дифференциал третьего порядка d3 и функции u для функции u (х, у).

u = ex-y x

Задание 4. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0.

16

z = y + ln , М0 (1; 1; 1).

Задание 5. Исследуйте заданную функцию на экстремум.

z = (2x2 +y2 )

17

Приложение 2

Контрольные вопросы для экзамена

1.Понятие множества. Операции над множествами. Ограниченные множества. Замкнутые множества, их границы. Открытые множества.

2.Множества вещественных чисел. Абсолютная величина действительных чисел. Окрестность точки.

3.Понятие функции. Область ее определения, способы задания функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции. Преобразование графиков.

4.Применение функций в экономике.

5.Интерполирование функций. Основные правила приближенных вычислений.

6.Числовая последовательность. Арифметические операции над числовыми последовательностями. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности

7.Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах функций. Односторонние пределы.

8.Понятие функции, ограниченной на множестве и в окрестности точки. Теоремы об ограниченности функций, имеющих предел.

9.Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении

процентов.

10.Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций. Основные эквивалентности.

11.Понятие функции, непрерывной в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций.

12.Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной функции, производная обратной функции. Производная параметрической и неявно заданной функции. Таблица производных.

13.Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Уравнения касательной и нормали.

14.Дифференциал функции и его свойства. Связь дифференциала функции с производной. Геометрический смысл дифференциала, применение дифференциала в приближенных вычислениях.

15.Производные и дифференциалы высших порядков.

18

16.Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.

17.Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма, Роля, Лагранжа, Коши).

18.Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.

19.Условия монотонности функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Нахождение наибольшего

инаименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

20.Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки

перегиба.

21.Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения графиков.

22.Приложение производной в экономической теории.

23.Многочлены, теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

24.Разложение рациональных дробей на простейшие.

25.Первообразные. Неопределенный интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование, интегрирование путем подведения под знак дифференциала. Метод подстановки: замена переменной, тригонометрические подстановки.

26.Интегрирование по частям.

27.Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

28.Интегрирование рациональных дробей: метод неопределенных коэффициентов, метод Остроградского.

29.Интегрирование иррациональных функций.

30.Интегрирование тригонометрических функций

31.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

32.Вычисление определенного интеграла. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

33.Приложение определенного интеграла.

34.Несобственные интегралы I и II рода, их свойства.

35.Применение понятия определенного интеграла в экономике.

36.Определение функции нескольких переменных. Область определения, предел, непрерывность, геометрическое изображение.

37.Частные производные и их геометрический смысл.

38.Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.

39.Полное приращение полный дифференциал функций, связь с частными производными. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19

40.Производные от сложных функций и от функций, заданных

неявно.

41.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

42.Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость

инормаль к поверхности.

43.Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

44.Понятие эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

45.Функции нескольких переменных в экономических задачах.

46.Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл, как предел интегральных сумм. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.

47.Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

20