новая папка 1 / 590418
.pdfУтверждение 3. Ортогональная матрица S = {s |
}n |
порождает ото- |
||
|
|
ki k ,i=1 |
|
|
бражение A ортонормированного базиса в ортонормированный базис. |
||||
Доказательство. |
|
|
|
|
Пусть E – n -мерное евклидово пространство, {e }n |
– ортонормиро- |
|||
ванный базис, |
|
i i=1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei = i |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Рассмотрим такое отображение A: E → E , что S = {s |
}n |
– матрица |
||
|
|
|
ki k ,i=1 |
|
этого отображения в базисе {ei}in=1 .
Возьмем произвольный элемент x E и разложим его по этому бази-
су:
|
|
ξ |
|
|
|
|
1 |
|
|
x = (ξ1,ξ2 |
, ,ξn )e → |
ξ2 |
= ξ Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξn |
|
|
|
η |
|
|
|
|
1 |
|
|
Пусть y = Ax = (η1,η2 |
, ,ηn )e → η2 |
|
= η Rn , тогда η = Sξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηn |
|
|
Пусть
|
|
0 |
s11 |
s12 |
s13 |
s1n |
0 |
s1i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ei′ = Aei |
→ S |
1 |
i = si1 |
si2 |
si3 |
sin |
1 |
|
= s2i |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
s |
n1 |
s |
s |
s |
0 |
|
s |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n2 |
n3 |
nn |
|
|
|
ni |
|
|
откуда |
|
ei′ = s1ie1 + s2ie2 + + snien . |
(19) |
Аналогично |
|
e′j = Aej = s1 je1 + s2 je2 + + snjen . |
(20) |
11
Из (19) и (20) следует, что
(ei′,e′j ) = (s1ie1 + s2ie2 + + snien , s1 je1 + s2 je2 + + snjen ) =
= s1i s1 j + s2i s2 j + + sni snj ,
а это – произведение i -той строки матрицы S т на j -тый столбец матрицы
1, i = j S , поэтому в силу (17) (ei′,e′j ) = δij = 0, i ≠ j .
Таким образом, {ei′}in=1 – ортонормированный базис пространства E ,
то есть ортогональная матрица S порождает отображение A ортонормированного базиса в ортонормированный базис.
1.6.Проектирование
Пусть E – n -мерное евклидово пространство и L E – k -мерное линейное подпространство пространства E . Возьмем x E , y L . Поло-
жим h = x − y .
Определение 10. Вектор y называется ортогональной проекцией
вектора x на подпространство L , а вектор h = x − y – ортогональной со-
ставляющей, если h L .
Утверждение 4. Ортогональная проекция существует и единственна для любого вектора x E .
Доказательство.
Пусть {ei}ik=1 – базис подпространства L (не обязательно ортонормированный). Возьмем произвольный элемент y L и разложим его по этому базису. Получим
|
y = α1e1 + α2e2 + + αk ek , |
(20) |
где координаты αi будем искать из условия |
|
|
|
h L . |
(21) |
Из (21) следует, что h ei для любого i = 1, , k , поэтому |
||
|
(x − y, ei ) = 0 . |
(22) |
Подставим (20) в (22), получим |
|
|
|
(x − (α1e1 + α2e2 + + αk ek ),ei ) = 0 , |
|
откуда следует, что |
|
|
|
α1(e1,ei ) + α2 (e2 ,ei ) + + αk (ek ,ei ) = (x,ei ) |
|
для любого |
i = 1, , k . |
относительно αi |
Таким |
образом, получена линейная система |
|
(i = 1, , k) : |
|
|
12
α1(e1,e1 ) + α2 (e2 ,ei1) + + αk (ek ,e1) = (x,e1) |
|
|
|||||
α1(e1,e2 ) + α2 (e2 ,e2 ) + + αk |
(ek ,e2 ) = (x,e2 ) |
. |
(23) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
α (e ,e ) + α |
(e ,e ) + + α |
(e ,e ) = (x,e ) |
|
|
|||
1 1 k |
2 |
2 k |
k |
k k |
k |
|
|
Определитель этой системы – определитель матрицы Грама, составленной
для базиса {e }k |
, поэтому определитель Грама отличен от нуля и, следова- |
|||
i i=1 |
|
|
|
|
тельно, по правилу Крамера система (23) имеет единственное решение. |
|
|||
Предположим, что базис {e }k |
|
– ортонормированный, тогда из (23) |
||
|
i i=1 |
|
|
|
получим, что αi |
= (x,ei ) (i = 1, , k) |
и |
|
|
|
y = прL x = (x,e1 )e1 + (x,e2 ,e2 ) + + (x,ek )ek . |
(24) |
||
Формула (24) называется формулой проектирования. |
|
|||
Пусть L – |
линейное подпространство, x0 E . |
|
Определение 11. Множество P = L + x0 называется линейным много-
образием.
Другими словами, линейное многообразие – это параллельный перенос линейного подпространства L на фиксированный вектор xP .
Определение 12. Расстоянием от точки, заданной вектором x , до линейного многообразия P = L + x0 называется минимум расстояний от
данной точки до линейного многообразия, то есть минимум длин векторов x − u , где u – это вектор P .
Утверждение 5. Расстояние от точки, заданной вектором x , до линейного многообразия P = L + x0 равно длине ортогональной составляющей
h вектора x = x − x0 относительно линейного подпространства L , парал-
лельным сдвигом которого получается многообразие P .
№ 1370 [5]. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую h вектора x на линейное подпространство L : x = (4, −1,−3,4) , a1 = (1,1,1,1) , a2 = (1,2,2, −1) , a3 = (1,0,0,3) .
Решение.
1. Проверим линейную независимость системы векторов:
1 |
1 |
1 |
1 −1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
−1 |
→ 0 |
1 |
1 |
−2 . |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
−1 |
−1 2 |
Так как 2-я и 3-я строки пропорциональны, векторы a1 , a2 , a3 линей-
но зависимы. Возьмем в качестве базиса линейного подпространства L векторы a1 , a3 .
13
2. Будем искать ортогональную проекцию y |
в виде линейной комби- |
|
нации векторов a1 , a3 : |
|
|
y = α a1 + β a3 = (α + β , α , α , α + 3β ) . |
|
|
Подберем коэффициенты α и β таким |
образом, чтобы |
вектор |
h = x − y = (4 − (α + β ), − 1− α , − 3 − α , 4 − (α + 3β )) |
был ортогонален |
векто- |
рам a1 и a3 , то есть (h,ai ) = 0 (i = 1, 3) . |
|
|
В результате получим систему |
|
|
(4 − (α + β )) 1+ (−1− α ) 1+ (−3 − α ) 1+ (4 − (α + 3β )) 1 = 0 , |
|
|
(4 − (α + β )) 1+ (4 − (α + 3β )) 3 = 0 |
|
|
откуда следует, что α = −1, β = 2 , поэтому |
|
|
y = −1 (1,1,1,1) + 2 (1,0,0,3) = (1, −1, −1,5) , |
h = (3,0, −2, −1) . |
|
№ 1372 [5]. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую h вектора x на линейное подпространство L: x = (7, −4,−1,2) , L задано системой уравнений
2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0 .
x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0
Решение.
Найдем решение системы:
−3 2 |
1 |
1 |
3 |
2 1 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
1 |
3 |
|
|||
2 3 |
|
|
1 → 0 |
|
|
−7 |
|
||||||||
2 |
2 |
1 |
1 |
→ |
0 |
1 |
1 |
−7 −1 |
→ |
||||||
−2 1 |
2 |
2 |
−9 |
0 |
−3 |
−3 21 : (−3) |
|
|
|
|
|
||||
|
2 0 |
0 |
10 : 2 1 |
0 |
0 |
5 |
x1 = −5x4 |
|
|
||||||
→ 0 1 |
1 |
−7 |
|
→ 0 |
1 |
1 |
−7 |
x = − x + 7x . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
Таким образом, |
a1 = (−5,7,0,1) , a2 = (0,−1,1,0) , поэтому |
|
|
||||||||||||
|
|
|
y = α a1 + β a2 = (−5α , 7α − β , β , α ) , |
|
|
|
h= x − y = (7 + 5α , − 4 − 7α + β , − 1− β , 2 − α )
иполучена задача, аналогичная задаче 1370.
№1374а [5]. Найти расстояние от точки, заданной вектором x , до линейного многообразия, заданного системой уравнений: x = (4,2,−5,1) , L за-
дано системой уравнений
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 9 .2x1 − 4x2 + 2x3 + 3x4 = 12
14
Решение.
1. Линейное подпространство L задается системой уравнений
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 0 .2x1 − 4x2 + 2x3 + 3x4 = 0
Найдем базис L – это фундаментальная система решений. Имеем
2 |
−2 |
1 |
2 −1 |
2 |
−2 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
→ |
|||||
|
2 |
−4 |
2 |
3 |
|
→ |
0 |
−2 |
1 |
1 |
|
−1 |
→ |
0 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 0 0 |
|
1 |
|
x |
= − 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
a1 = (−1,1,0,2) , a2 = (0,1,2,0) . |
||||||||||||
→ |
0 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− 1 |
|
|
x |
= 1 x |
+ |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Найдем вектор |
|
x0 P . Его координаты – решение исходной систе- |
|||||||||||||||||||||
мы. Возьмем x1 = x2 = 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
9 −2 |
1 |
|
2 |
|
9 |
1 |
0 |
|
−3 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
0 |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
12 |
|
|
−1 |
|
−6 2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то есть x0 = (0,0, −3,6) . Положим x = x − x0 = (4,2, −2, −5) , тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = α a1 + β a2 = (−α , α + β , 2β , 2α ) , |
|
|
||||||||||||||||||
|
h = x − y = (4 + α , 2 − (α + β ), − 2 − 2β , − 5 − 2α ) . |
||||||||||||||||||||||
3. Подберем коэффициенты α и β таким образом, чтобы вектор |
|||||||||||||||||||||||
|
|
h = (4 + α , 2 − (α + β ), − 2 − 2β , − 5 − 2α ) |
|
|
|||||||||||||||||||
был ортогонален векторам a1 |
и a2 , то есть (h, ai ) = 0 (i = 1,2) . В результате |
||||||||||||||||||||||
получим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 + α ) (−1) + (2 − α − β ) 1+ (−5 − 2α ) 2 = 0 |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
(2 |
− α − β ) 1+ (−2 − 2β ) 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда следует, что α = −2 , β = 0 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = −2 (−1,1,0,2) = (2, − 2, 0, − 4) , h = (2, 4, − 2, − 1) , |
|
h |
|
|
|
= |
4 + 16 + 4 + 1 = 5 . |
||||||||||||||||
|
|
|
1.7.Метод ортогонализации О. Ю. Шмидта
Данный метод предназначен для получения ортонормированного базиса из произвольного. Распишем по шагам этот метод.
Пусть {ei}in=1 – ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства E . Возьмем произвольные векторы f1, f2 , , f\ k пространства E .
15
1. Проверим, что система векторов { fi}ik=1 линейно независима. Если
она линейно зависима, то уберем из нее линейно зависимые векторы, так как они в процессе ортогонализации превратились бы в нули.
2. e1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
= |
|
|
f1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
( f , |
f |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Возьмем сначала |
|
|
|
g2 = f2 − ( f2 ,e1)e1 . |
(25) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Умножим обе части равенства (25) на e1 , получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(g2 ,e1) = ( f2 ,e1) − ( f2 ,e1) (e1,e1) = ( f2 ,e1) − ( f2 ,e1) = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как g2 ≠ 0 , то g2 e1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим затем e2 |
= |
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
g2 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g2 , g2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Возьмем сначала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g3 = f3 − ( f3 ,e1 )e1 − ( f3 ,e2 )e2 . |
(26) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Проверим, что g3 e1 |
|
|
и g3 e2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Умножим обе части равенства (26) на e1 , получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(g3 ,e1) = ( f3 ,e1) − ( f3 ,e1) (e1,e1) − ( f3 ,e2 ) (e2 ,e1) = ( f3 ,e1 ) − ( f3 ,e1) = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Умножим обе части равенства (26) на e2 , получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(g3 ,e2 ) = ( f3 ,e2 ) − ( f3 ,e1) (e1,e2 ) − ( f3 ,e2 ) (e2 ,e2 ) = ( f3 ,e2 ) − ( f3 ,e2 ) = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как g3 ≠ 0, то g3 e1 , |
g3 e2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим затем e3 |
= |
|
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
g3 |
|
и т.д. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( g3 , g3 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Алгоритм метода ортогонализации Шмидта. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть даны векторы |
|
|
f1, |
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
, , f\ k пространства E . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Проверим, что система |
f1, f2 , , f\ k линейно независима. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. e1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
= |
|
|
f1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
( f , |
f |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. e2 = |
|
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
g2 = f2 − ( f2 ,e1)e1 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g2 , g2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. e3 = |
|
|
|
|
|
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
где |
g3 = f3 − ( f3 ,e1 )e1 − ( f3 ,e2 )e2 |
и т.д. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
g3 |
|
|
|
|
|
|
|
( g3 , g3 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. На практике удобно пользоваться следующим определе-
нием.
16
Определение 13. |
Процессом ортогонализации системы векторов |
||
f1, f2 , , f\ k называется переход к новой системе векторов |
g1, g2 , , g\ k , |
||
построенной следующим образом: |
( j = 2, 3, , k ) . |
|
|
g1 = f1 , |
g j = f j − ( f j , gi ) gi |
|
|
|
j−1 |
|
|
i=1 (gi , gi )
Замечание. Система векторов {gi}ik=1 ортогональна, но не ортонормированна, поэтому ее нужно ортогонализировать:
ei = |
|
|
|
|
gi |
|
|
= |
gi |
(i = 1, 2, , k ) . |
||
|
|
|
|
gi |
|
|
|
|
( gi , gi ) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 1357 [5]. Проверить, что векторы следующих систем попарно орто-
гональны, и дополнить их до ортогональных базисов: f1 = (1, −2,2, −3) , f2 = (2, −3,2,4) .
Решение.
1.Проверим, что векторы попарно ортогональны. Для этого найдем их скалярное произведение: ( f1, f2 ) = 1 2 + (−2) (−3) + 2 2 + (−3) 4 = 0 .
2.Дополним эту систему векторов до ортогонального базиса. Так как
увекторов четыре координаты, то мы находимся в 4-мерном пространстве и
надо построить еще |
два |
вектора |
f3 , f4 , ортогональных f1 , |
f2 . Пусть |
|||||||
f3 = (x1, x2 , x3 , x4 ) , тогда ( f1, f3 ) = 0 и |
( f2 , f3 ) = 0 . Получим систему |
|
|||||||||
|
|
|
x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 0 . |
|
|
|
|
||||
Решим ее методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
−2 1 |
−2 |
2 |
−3 |
1 |
−2 |
2 −3 |
1 |
0 |
−2 |
17 |
|
|
−3 |
2 |
|
→ |
1 |
|
→ |
1 |
−2 |
10 |
. |
2 |
4 |
0 |
−2 10 2 |
0 |
|
Таким образом, получена система
x1 = 2x3 − 17x4 .
x2 = 2x3 − 10x4
Найдем фундаментальную систему решений:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
2 |
2 |
1 |
0 . |
−17 |
−10 |
0 |
1 |
Таким образом, g3 = (2,2,1,0) , g4 = (−17, − 10, 0,1) .
17
3. Векторы g3 , |
g4 ортогональны векторам |
f1 , |
f2 , но не ортогональны |
||||||
между собой, |
поэтому ортогонализируем g4 по отношению к g3 , используя |
||||||||
процесс ортогонализации Шмидта: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(g4 , f3 ) f |
f3 = g3 = (2,2,1,0) , |
|
|
|
f |
4 |
= g |
4 |
− |
3 |
= (−17, −10,0,1) − (−54) |
(2,2,1,0) = |
||
|
|
|
( f3 , f3 ) |
|
9 |
|
=(−17, −10,0,1) + 6(2,2,1,0) = (−5,2,6,1) .
№1359 [5]. Найти векторы, дополняющие следующие системы векто-
ров до ортонормированных базисов: |
f1 |
|
2 |
, |
1 |
, |
2 |
|
, |
f2 |
|
1 |
, |
2 |
, − |
2 |
|
= |
3 |
3 |
3 |
|
= |
3 |
3 |
3 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
1.Дополним эту систему векторов до ортогонального базиса. Так как
увекторов три координаты, то мы находимся в 3-мерном пространстве и
надо построить еще один |
|
вектор |
|
f3 , |
|
ортогональный f1 , f2 . Пусть |
||
f3 = (x1, x2 , x3 ) , тогда ( f1, f3 ) = 0 и |
( f2 , f3 ) = 0 . Получим систему |
|||||||
2 x |
+ 1 x |
|
+ 2 x = 0 |
|||||
|
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
3 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
1 x |
+ 2 x |
− 2 x |
|
= 0 |
|||
|
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим ее методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 1 |
2 |
|
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
2 1 |
1 |
|
→ |
||||||||||
|
|
→ |
0 |
−3 6 |
|
|
|
→ |
0 |
|
1 −2 |
|
−1 |
||||||||||
−2 1 2 |
−2 |
|
|
|
: (−3) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 0 |
4 : 2 |
→ |
1 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
→ |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
−2 |
|
0 1 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, получена система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = 2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, g3 = (−2,2,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Пронормируем вектор g3 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f3 = |
|
|
g3 |
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
(−2,2,1) |
= |
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
g3 |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 1361 [5]. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов: f1 = (1,2,2, −1) , f2 = (1,1, −5,3) , f3 = (3,2,8, −7) .
18
Решение.
e1 = f1 = (1,2,2, −1) ,
|
|
|
|
|
e = f |
|
− |
( f2 ,e1) e |
|
= (1,1, −5,3) |
− (−10) (1,2,2, −1) = |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
(e ,e ) 1 |
|
10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1,1, −5,3) + (1,2,2, −1) = (2,3, −3,2) , |
|
|
|||||
e |
= f |
|
− |
( f3 ,e1) e − |
( f3 ,e2 ) e = |
(3,2,8, −7) − |
30 (1,2,2, −1) − |
(−26) |
(2,3, −3,2) = |
|||||
3 |
|
3 |
|
(e |
,e ) 1 |
(e |
,e ) 2 |
|
|
10 |
26 |
|
||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
= (3,2,8, −7) − 3(1,2,2, −1) + (2,3, −3,2) = (2, −1, −1, −2) .
Пример. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства пространства непрерывных функций C[0,1] , на-
тянутого на систему векторов |
|
e = 1, e |
|
|
= t |
, e |
|
= t2 , |
|
e |
|
|
|
= t3 , e |
|
|
= t4 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C[0,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Введем |
в |
|
пространстве |
|
|
|
|
понятие |
|
скалярного |
|
произведения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) = x(t) y(t) dt . |
|
|
|
|
Применяя процесс ортогонализации Шмидта, |
найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первые три вектора ортогонального базиса, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f = e = 1, f |
|
= e |
− |
(e2 , f1) |
f |
, |
|
|
f |
|
|
|
= e − |
|
(e3 , f1) |
|
|
f − |
|
(e3 , f2 ) |
f |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( f |
, |
f |
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
( f |
, f |
) |
|
|
1 |
|
|
|
( f |
2 |
, f |
2 |
) |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 1, |
|
тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(e2 , f1) = 1 tdt = |
2 |
|
0 |
|
2 |
|
, ( f1, f1) = 1dt = t |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f2 = t − |
2 |
|
1 = t − |
и |
|
(e3 , f1) = t |
2 |
|
1dt |
= |
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( f |
2 |
, f |
2 |
) = |
|
t |
− |
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
|
t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 4 12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
t3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(e3 , f2 ) = t |
|
|
t |
− |
|
|
|
|
dt = |
t |
|
− |
|
|
|
t |
|
|
dt = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f3 = t |
|
|
|
− |
3 |
1− 12 |
t |
− |
|
|
|
|
|
= t |
|
|
|
− |
|
|
− t + |
|
|
= t |
|
|
|
|
− t |
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( f3 , f3 ) = t |
|
|
− t + |
|
dt = t |
|
|
+ t |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− 2t |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
− |
|
|
|
t |
dt |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
t |
|
+ t |
|
+ |
|
|
|
− t |
|
|
+ t |
|
|
|
− t |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
6 |
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Ортонормируем полученную систему векторов, получим:
g1 = 1, |
|
|
f |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
f3 |
|
|
2 |
|
1 |
||
g2 |
= |
|
|
= |
12 |
t − |
2 |
|
, |
g3 = |
|
= 6 5 |
t |
|
− t + |
6 |
. |
|
( f2 |
, f2 ) |
( f3 , f3 ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8.Ортогональное дополнение
Пусть {ei}ik=1 – базис подпространства L .
Определение 14. Ортогональным дополнением L подпространст-
ва L называется множество всех векторов, ортогональных подпространству L .
Утверждение 6. Ортогональное дополнение L подпространства L является линейным подпространством.
Доказательство.
Возьмем произвольное число α R и векторы x L , y, y1, y2 L , то-
гда ( y, x) = 0 , ( y1, x) = 0 , ( y2 , x) = 0 .
1.Рассмотрим ( y1 + y2 , x) = ( y1, x) + ( y2 , x) = 0 , поэтому ( y1 + y2 ) L и, следовательно, ( y1 + y2 ) L .
2.(α y, x) = α ( y, x) = 0 , поэтому α y L .
Утверждение 7. Для того чтобы вектор y E был ортогонален подпространству L , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
( y,ei ) = 0 |
(27) |
для всех i = 1, , k . |
|
Доказательство.
Необходимость. Пусть вектор y ортогонален подпространству L , тогда он ортогонален любому вектору x L , в том числе и ei (i = 1, , k) , по-
этому ( y,ei ) = 0 .
Достаточность. Возьмем произвольный вектор x L и разложим его
k |
|
k |
|
k |
|
по базису {ei}ik=1 : x = αiei |
. Рассмотрим ( y, x) = y, αiei = αi ( y,ei ) = 0 , |
||||
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
следовательно, y x и y L . |
|
|
|
|
|
Теорема 6. Ортогональное дополнение k -мерного подпространства L |
|||||
n -мерного пространства E имеет размерность (n − k) : dim E = n − k . |
|
||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
В подпространстве L выберем ортонормированный базис {e }k |
. До- |
||||
|
|
|
|
i i=1 |
|
полним его до базиса пространства E : e1, e2 , , ek , ek +1, , en . Пусть y L E . Разложим вектор y по этому базису:
y = α1e1 + α2e2 + + αk ek + αk +1ek +1 + + αnen .
20