новая папка 1 / 683056

fx x		(2 x2	x1)x		0,	fx x			(4 x3	6x1)x	4.
2	3			3			3	3		3
			4	1	6
Матрица Гессе имеет вид H			1	2	0		. Вычислим угловые миноры этой
			6	0	4

матрицы: 1 4, 2 14 12 7, 3 det H 44. Матрица Гессе не является

неотрицательно-определенной, а функция не является выпуклой.

Существует связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями.

Определение. Эпиграфом (надграфиком) функции f (x), определенной на выпуклом множестве X , называется множество

epi f {( x, y) X R : f (x) y }.

Теорема. Функция f (x), определенная на выпуклом множестве X Rn ,

является выпуклой тогда и только тогда, когда её надграфик является выпуклым множеством.

Важную роль в вопросах минимизации играют свойства выпуклых функций, которые представлены в нижеследующих четырёх теоремах.

Теорема. Пусть g (x) – выпуклая функция, заданная в пространстве Rn ,

тогда множество точек x, удовлетворяющих неравенству g(x) b, выпукло.

Теорема. Пусть gi (x), i 1, 2, , m, – выпуклые функции в Rn , тогда мно-

жество точек x, удовлетворяющих системе неравенств gi (x) bi , i 1, 2, , m,

выпукло.

Теорема. Пусть f (x) – выпуклая на выпуклом множестве X функция,

тогда любой её локальный минимум на множестве X является одновременно и глобальным.

Теорема. Глобальный минимум строго выпуклой функции f (x) на выпуклом множестве X может достигаться лишь в единственной точке.

11

Задание 1

Найти минимальное среди всех значений параметра k , при котором мно-

жество X {x R2 : (a x2		1) x		b,	x k} выпукло.
	1	2			2
№ вари-	a			b		№ вари-		a	b
анта						анта
1	2			1		9		2	2
2	1			5		10		1	3
3	4			2		11		3	2
4	5			1		12		5	2
5	3			4		13		4	3
6	1			2		14		4	4
7	5			3		15		5	4
8	3			1		16		1	1

			Задание 2
Доказать, что множество X {x R2 : a x2					b x x			c x2	0, x 0} является
				1	1		2	2	2
выпуклым конусом, и изобразить его на плоскости.
№ вари-	a	b	с	№ вари-				a		b	с
анта				анта
1	2	7	6	9				3		1	4
2	3	4	4	10				3		8	4
3	2	5	2	11				2		1	3
4	2	5	3	12				3		1	4
5	4	15	9	13				3		1	2
6	4	5	6	14				5		8	4
7	5	13	6	15				5		2	3
8	5	17	6	16				6		1	5

12

Задание 3

Изобразить на плоскости сумму двух выпуклых множеств: отрезка

X [x1 , x2 ], где x1 (4, a),

x2 (3, 4), и

1) круга X1 {x R2 : (x1 b)2 (x2 c)2 1};

2) квадрата X2 {x R2 : x1 b 1, x2 c 1};

3) треугольника X3 conv{( 2, 1); (1, b); (3, c)}.

№ вари-	a	b	с
анта
1	1	2	1
2	0	3	2
3	1	4	3
4	2	2	1
5	1	2	3
6	2	4	3
7	1	3	1
8	0	2	2
9	1	3	3
10	2	4	1
11	0	2	1
12	2	3	2
13	1	4	3
14	0	2	3
15	1	3	1
16	2	4	2

13

				Задание 4
Изобразить на плоскости сумму треугольников						X1 conv{(0, 0); (2, 0); (1, 2)}
и X2 conv{(2, a); (5, b); (3, c)}.
№ вари-	a	b		с	№ вари-	a	b	с
анта					анта
1	2	2		1	9	3	6	2
2	2	3		1	10	3	7	2
3	2	4		1	11	4	4	3
4	2	5		1	12	4	5	3
5	2	6		1	13	4	6	3
6	3	3		2	14	4	7	3
7	3	4		2	15	1	1	0
8	3	5		2	16	1	2	0

Задание 5

Вывести уравнение гиперплоскости, опорной в точке x0 (a, b, c) к

				3		x2		x2			x2
множеству		X x R			:	1		2			3	1 .
						4		9			25
№ вари-		a				b					с		№ вари-	a	b	с
анта													анта
1		6 5			12 5						0		9	8 5	0	3
2		8 5				0					3		10	0	9 5	4
3		0			9 5						4		11	0	9 5	4
4		6 5				0					4		12	6 5	0	4
5		0			12 5						3		13	8 5	9 5	0
6		8 5			9 5						0		14	0	12 5	3
7		0			9 5						4		15	8 5	0	3
8		6 5		12 5							0		16	6 5	12 5	0

14

Задание 6

Являются ли выпуклыми следующие функции?

6. 1. f (x) 5x12 5x22 4x32 4x1 x2 2x2 x3

6. 2.	f (x) x2 x2 (x2 x2 )2
		1			2		1				2
6. 3.	f (x) x2	2x x 10x 5x
	1				1	2					1		2
6. 4.	f (x) 2x2		x2 2x2								x x 6x x
		1			2			3			1	2	1	3
6. 5.	f (x) 2x 6x 2x2										3x2		4x x
		1				2		1				2	1	2
6. 6.	f (x) x2 x2				(x2		x2 )2
	1	2				1		2
6. 7.	f (x) 4x2		x2 2x x 6x 5x 2
		1			2			1			2		1	2
6. 8.	f (x) x2 x2				(x x )2
	1		2			1		2
6. 9.	f (x) 4x2			3x2			x x
		1				2		1			2
6. 11.	f (x) x2		2x2				sin x sin x
		1				2					1		2
6. 12.	f (x) 3x2 x2 (x2							x2 )2
		1			2		1				2
								1
6. 13.	f (x) (1 x2					x2 )			2
					1		2
6. 14.	f (x) x1e			( x1 x2 )
6. 15.	f (x) ln (ex1					ex2			ex3 )
6. 16.	f (x) exp (x2					x2			x2 )
					1		2				3

Задание 7

Решить выпуклые задачи.

7. 1.	x2	x2	x2				x x			x			2x					min
	1	2	3					1	2		2					3
7. 2.	x2	x2	x x					3		x x				2	2			min
	1	2	1			2				1
7. 3.	x2	x2	4max{ x , x								2	} min
	1	2							1
7. 4.	x2	x2	2				(x 3)2				(x					4)2 min
	1	2						1							2
7. 5.	x2	x2	2			x x				1			min
	1	2				1			2

7. 6. x12 x22 2max{ x1 , x2 } min

7. 7. 2x12 x22 x1 x2 3 x1 x2 3 min

7. 8. x12 x22 x32 x1 x3 x1 2x2 min

7. 9. x12 x22 2(x1 1)2 (x2 4)2 min

15

7. 10.	x2 x2 x x					2		3			x x								2		2				min
	1	2	1									1
7. 11.	x2	x2	6				x x						1						min
	1	2						1	2
7. 12.	x2	x2	x2					x x						x						2x							min
	1	2	3						3			2			2								1
7. 13.	x2	x2	2					(x 0,5)2												(x			2		0,5)2				min
	1	2							1
7. 14.	x2	x2	4max{ x , x												2				} min
	1	2											1
7. 15.	x2	x2	4				x x					2	1						min
	1	2						1
7. 16.	x2	x2	x x						3				x x								2	2					min
	1	2	1					2						1

Библиографический список

1.Алексеев, В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи / В.М. Алексеев, Э.М. Галлеев, В.М. Тихомиров. – Москва: Физматлит, 2005. –

256с.

2.Ашманов, С.А. Теория оптимизации в задачах и упражнениях: учеб. пособие

/ С.А. Ашманов, А.В. Тимохов. – 2-е изд., стер. – Санкт-Петербург:

Издательство «Лань», 2012. – 448 с.

3.Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. – Москва: Факториал Пресс, 2002. – 824 с.

4.Лесин, В.В. Основы методов оптимизации: учеб. пособие / В. В. Лесин,

Ю.П. Лисовец. – 3-е изд., испр.– Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2011.

– 352 с.

5. Лутманов, С.В. Курс лекций по методам оптимизации / С. В. Лутманов. –

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 368 с.

16

Выпуклый анализ и методы оптимизации

Методические указания к практическим занятиям для магистров

Палинчак Наталья Ференцовна

Редактор Т.А. Семенихина
Подписано в печать	. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Ризография. Объем 1,0 п. л. Тираж 30 экз. Заказ № Издательство Липецкого государственного технического университета. Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.

398055, Липецк, ул. Московская, 30.

17