- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Сферические координаты связаны с декартовыми координатами следующими формулами:
- •Гамильтониан частицы в общем случае имеет вид:
- •Оператор кинетической энергии в декартовых координатах имеет вид:
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Из классической механики известно, что когда поле обладает центральной симметрией, то при движении
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Итак, оператор Лежандра
- •Теперь уравнение Шредингера в сферических координатах
- •Предположим, что решение уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух функций, одна
- •ВЫВОДЫ:
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Рассмотрим решение уравнения для собственных значений оператора квадрата момента импульса. Оператор квадрата момента
- •Известно, что собственными функциями оператора Лежандра являются функции, которые называют сферическими гармониками. Они
- •План дальнейшего изложения:
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Убедимся, что сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лежандра и одновременно найдем соответствующие
- •Таким образом, прямой подстановкой мы показали, что сферические гармоники являются собственными функциями оператора
- •Нетрудно записать подобную таблицу для собственных значений оператора квадрата момента импульса.
- •Сферическими функциями называются однородные полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа
- •Разделив на rl, получим:
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •В сферических координатах оператор проекции момента импульса на ось
- •После подстановки в уравнение получим
- •Классификация состояний сферической симметрии по величине момента импульса и его проекции на ось
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •1. Волновая функция может быть определена в виде
- •6. Радиальное уравнение Шредингера можно представить в виде:
- •Движение частицы в сферически симметричном потенциале
- •Рассмотрим движение свободной частицы. Ранее мы уже рассматривали его, и установили, что спектр
- •Умножим уравнение на 2m2 .
- •Теперь радиальное уравнение Шредингера можно записать так:
- •Условие нормировки волновой функции:
- •Для состояний с l ≠ 0 решение уравнения можно найти в виде:
- •Выпишем три первые сферические функции Бесселя, соответствующие состояниям s-, p-, и d –
Движение частицы в сферически симметричном потенциале
1. Гамильтониан в сферических координатах.
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами следующими формулами:
Декартовы координаты (x,y,z)
Сферические координаты (R,q,j)
x R sin cos y R sin sin z R cos
Гамильтониан частицы в общем случае имеет вид:
|
|
|
|
2 |
|
p |
||
H |
|
U (r ), |
2m |
а стационарное уравнение Шрёдингера можно записать так:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
U (r ) |
(r ) E (r ). |
||
2m |
||||||
|
|
|
|
|
||
Здесь U(r) – потенциальная энергия частицы; Y(r) |
– её волновая функция; |
Е – значение энергии частицы. Так как гамильтониан обладает по условию задачи сферической симметрией, решение уравнения Шрёдингера следует проводить в сферических координатах.
Если потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния до некоторого центра (т. е. одинакова для частицы, находящейся в любой точке на расстоянии r от некоторого центра), как это имеет место для кулоновского взаимодействия и некоторых других видов сил, то уравнение Шредингера удобно решать в сферических координатах.
Оператор кинетической энергии в декартовых координатах имеет вид:
2 2 2 2 2 .
2m 2m x2 y2 z2
Всферических координатах оператор Лапласа выглядит так:
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
sin |
|
|
|
|
|
Уравнение Шредингера в сферических координатах примет вид:
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ) |
2m r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
В случае сферической симметрии волновую функцию (решение уравнения Шредингера) можно представить в виде произведения двух сомножителей:
(r, , ) R(r)Y ( , ),
R(r) зависит только от расстояния r (не вектора!), Y(q,j) зависит только от угловых переменных.
Движение частицы в сферически симметричном потенциале
2. Оператор момента импульса в сферических координатах.
Из классической механики известно, что когда поле обладает центральной симметрией, то при движении в таком поле сохраняется момент импульса частицы. Например, при движении частицы по круговой орбите вокруг некоторого центра в поле сил тяжести или в поле кулоновых сил
L m rV const.
Закон сохранения момента импульса должен выполняться и в квантовой механике. Так, в основе одного из постулатов Бора лежит именно тот факт, что в атоме водорода квантуется момент импульса электрона. Выражение для
модуля момента импульса электрона в атоме можно записать так:
L mVr 2n ,
Рассмотрим квантово-механический оператор момента импульса частицы. Согласно правилам построения операторов квантовой механики
оператор момента импульса можно записать так: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
ey |
ez |
|
|||
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
i |
|
x |
|
y |
z |
|
||
L |
r |
, p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
i e |
y |
|
|
z |
|
|
i e |
|
|
x |
|
i e |
z |
x |
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
z |
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
Проекции оператора момента импульса на оси координат будут равны
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
Lx i y |
|
z |
|
; |
Ly i |
z |
; |
L i |
y |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
z |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
Оператор квадрата момента импульса в декартовых координатах
|
|
|
|
Lˆ2 |
Lˆ2 |
Lˆ2 |
Lˆ2 . |
|
x |
y |
z |
Этот же оператор можно записать в сферических координатах:
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|||||
|
|
sin |
|
|
|
2
2
Выражение в квадратных скобках, умноженное на «минус единицу» называется оператором Лежандра.
Оператор Лежандра в сферических координатах:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
2 |
||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
Движение частицы в сферически симметричном потенциале
3. Радиальное уравнение Шредингера.
Итак, оператор Лежандра
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
Оператор квадрата момента импульса можно представить как
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним оператор Лежандра с оператором Лапласа в сферических координатах:
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
sin |
|
|
|
|
|
Сравнение показывает, что
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
. |
||
r |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
Теперь уравнение Шредингера в сферических координатах
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
2m r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
sin |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||
sin |
|
|
|
можно представить так:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2m r |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(r, , ) |
|
|
|
(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2m r |
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
2mr |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Учтём, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
2 . |
Теперь уравнение Шредингера в сферических координатах можно записать так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
(r, , ) |
L2 |
|
(r, , ) U (r) (r, , ) E (r, , ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||
2m r |
2 |
|
|
|
2mr |
2 |
||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|