Математические методы в проектировании изделий электроники кр
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Математические методы в проектировании
изделий электроники»
Вариант №3
Выполнил: студент группы 790241
________________ Дашкевич А. А.
Проверил: доцент каф. ПИКС
________________ Боровиков С. М.
Минск 2020
Содержание
Задача №1. Получение математической модели по результатам
однофакторного пассивного эксперимента |
3 |
Задача №2. Получение математической модели по результатам
многофакторного пассивного эксперимента |
18 |
Список использованных источников |
25 |
2
Задание №1. Получение математической модели по результатам однофакторного пассивного эксперимента
Цель задания:
Сгенерировать с помощью ЭВМ результаты опытов однофакторного пассивного эксперимента и, используя их, получить математическую модель объекта.
Решение:
Результаты однофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ, представлены на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Результаты однофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ
Значение расч − это значение , рассчитанное по построенной модели для i-го опыта. Значение ∆ = − расч. Результаты расчетов
расч и ∆ для = + представлены в таблице 1.1.
По результатам однофакторного эксперимента, на прямоугольную координатную сетку можно нанести точки с координатами (1, 1), (2, 2), … , ( , ). Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и представлена на рисунке 1.2.
3
Таблица 1.1 – Результаты расчетов |
расч |
и ∆ для = + |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Номер |
|
Значение |
Разность |
|||
Значение |
|
|
|
|||
опыта |
в эксперименте, |
|
подсчитанное по |
∆ |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
модели, |
|
|
|
|
|
|
расч |
|
|
1 |
33,4 |
71,6 |
|
71,4345588 |
0,1654412 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
37,7 |
75,3 |
|
72,6691176 |
2,6308824 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
42 |
73 |
|
73,9036765 |
-0,9036765 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
46,3 |
77,2 |
|
75,1382353 |
2,0617647 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
50,6 |
76,2 |
|
76,3727941 |
-0,1727941 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
54,9 |
77,4 |
|
77,6073529 |
-0,2073529 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
59,2 |
73,5 |
|
78,8419118 |
-5,3419118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
63,5 |
81,8 |
|
80,0764706 |
1,7235294 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
67,8 |
79,7 |
|
81,3110294 |
-1,6110294 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
72,1 |
82,5 |
|
82,5455882 |
-0,0455882 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
76,4 |
85,8 |
|
83,7801471 |
2,0198529 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
80,7 |
82,6 |
|
85,0147059 |
-2,4147059 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
85 |
85,5 |
|
86,2492647 |
-0,7492647 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
89,3 |
84,7 |
|
87,4838235 |
-2,7838235 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
93,6 |
93,6 |
|
88,7183824 |
4,8816176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
97,9 |
90,7 |
|
89,9529412 |
0,7470588 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.2 – Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и
4
По диаграмме разбора (корреляционному полю) было выбрано три элементарные функции, с помощью которых можно описать зависимость между и :
−линейная = + ;
−логарифмическая = ln + ;
−показательная = .
Информация об апробированных функциях, используемых в качестве математических моделей РЭУ, включает запись математического вида модели, значения коэффициентов моделей и указания об их статической значимости представлены в таблице 1.2.
Таблица 1.2 – Информация об апробированных функциях
|
|
Коэф. |
Коэф. |
|
Критерий |
Реше- |
Отно- |
||||
|
|
|
Фишера |
ситель- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ние о |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная |
||
Модель |
|
|
|
|
|
|
при- |
||||
Значе |
|
Значе- |
|
|
|
ошиб- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
год- |
||||
|
|
-ние |
расч |
ние |
расч |
|
расч |
табл |
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
ности |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆, % |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Линейная |
0,287 |
9,04 |
61,85 |
28,4 |
88,8 |
81,7 |
4,6 |
+ |
2,191 |
||
= + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмическая |
17,03 |
7,55 |
10,27 |
1,1 |
119,6 |
57,1 |
4,6 |
- |
2,667 |
||
= ln + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмическая |
19,5 |
109,95 |
- |
|
129,9 |
68,9 |
4,6 |
+ |
2,838 |
||
= ln |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Показательная |
0,0035 |
9,28 |
63,8 |
159,3 |
84,7 |
84,3 |
4,6 |
+ |
2,132 |
||
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная модель: = +
Значение определяется по следующей формуле:
= ∑[ |
− ( , , )]2 |
= ∑(∆ )2 |
= 88,8. |
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для линейной функции = + были получены эмпирические коэффициенты: = 0,287; = 61,85 (рисунок 1.3).
Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и с графиком линейной функции = + представлена на рисунке 1.4.
5
Рисунок 1.3 – Полученные эмпирические коэффициенты и для линейной функции = +
Рисунок 1.4 – Диаграмма разброса параметров и с графиком линейной функции = +
Заключение о статической значимости линейного уравнения регрессии экспериментальным данным принимают с помощью F-статистики Фишера и находится по формуле:
рег( )расч = ад( ) .
Подставив значения из рисунка 1.3, получается
518,2расч = 6,34 = 81,7.
6
Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами и откликом принимается если выполняется условие
расч > кр ( ; 1, 2).
кр ( ; 1, 2) является критическим (табличным) значением критерия Фишера, соответствующее доверительной вероятности и числу степеней
свободы: 1 = = 1 и 2 = − − 1 = 16 − 1 − 1 = 14.
кр определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии ) 1 = 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно 2 = − 2.
Таким образом, кр = 4,6. Получается
81,7 > 4,6.
Так как расч > кр, то коэффициент детерминации статически значим. Расчетные значения t-критерия Стьюдента а расч и расч:
а расч |
= |
| | |
|
= |
|0,287| |
= 9,04. |
||
( ) |
0,0317 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
= |
| | |
= |
|61,85| |
= 28,4. |
|||
|
|
|
||||||
расч |
|
( ) |
|
2,178 |
|
|||
|
|
|
|
Оценка коэффициента признается статистически значимой, если выполняется следующее условие
расч > кр.
кр определяется по таблице значений t-критерия Стьюдента, согласно уровню значимости α и числа степенной свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно ( − 2), где − число наблюдений.
Таким образом, кр = 2,145. Получается
а расч > кр
9,04 > 2,145
расч > кр
28,4 > 2,145
Поскольку расчетные значения а расч и расч больше табличного, то статистическая значимость коэффициента регрессии и подтверждается.
7
Об удачности линейного уравнения регрессии можно судить также по значению коэффициента детерминации
|
|
|
2 = ∑[ ( ) − |
]2 / ∑[ ( ) − ]2 |
= 0,854. |
расч |
|
|
=1 |
=1 |
|
Коэффициент детерминации 2 показывает, какая доля вариации отклика y объясняется изменениями x (85,4 %). Чем ближе 2 к единице, тем лучше функция = + описывает поведение отклика y. Считается, что модель удовлетворительно описывает y, если 2 ≥ 0,8. Проверка адекватности построенной регрессионной модели исходным данным является обязательной.
Для адекватной модели рассчитывается характеристика точности, такая как средняя относительная ошибка (в процентах):
|
1 |
|
| |
− |
| |
|
∆= |
|
∑ |
расч |
|
|
∙ 100% = 2,191 %. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2,191 %. Поскольку ошибка меньше 5 %, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Логарифмическая модель: = +
Для перехода от логарифмической к линейной функции необходимо сделать замену = ln . Таким образом,
|
|
|
|
= + . |
|
|
|
|||
|
Результаты расчетов |
|
и ∆ |
для |
= ln + представлены в |
|||||
|
|
|
расч |
|
|
|
|
|
|
|
таблице 1.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таблица 1.3 – Результаты расчетов |
|
и ∆ для = ln + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
расч |
|
|
|
||
|
Номер |
|
|
|
Значение |
|
Разность |
|||
|
Значение х |
|
|
|
|
|
подсчитанное по |
|
||
|
опыта |
в эксперименте, |
|
|
|
∆ |
||||
|
|
|
|
|
модели, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расч |
|
|
|
1 |
33,4 |
|
71,6 |
|
|
|
70,03189 |
|
1,568113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
37,7 |
|
75,3 |
|
|
|
72,0948 |
|
3,205195 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
42 |
|
73 |
|
|
|
73,93466 |
|
-0,93466 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
46,3 |
|
77,2 |
|
|
|
75,59503 |
|
1,604969 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
50,6 |
|
76,2 |
|
|
|
77,10783 |
|
-0,90783 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
54,9 |
|
77,4 |
|
|
|
78,49718 |
|
-1,09718 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Продолжение таблицы 1.3
7 |
59,2 |
73,5 |
79,7817 |
-6,2817 |
|
|
|
|
|
8 |
63,5 |
81,8 |
80,97611 |
0,823889 |
|
|
|
|
|
9 |
67,8 |
79,7 |
82,09223 |
-2,39223 |
|
|
|
|
|
10 |
72,1 |
82,5 |
83,1397 |
-0,6397 |
|
|
|
|
|
11 |
76,4 |
85,8 |
84,12647 |
1,67353 |
|
|
|
|
|
12 |
80,7 |
82,6 |
85,05919 |
-2,45919 |
|
|
|
|
|
13 |
85 |
85,5 |
85,94349 |
-0,44349 |
|
|
|
|
|
14 |
89,3 |
84,7 |
86,78413 |
-2,08413 |
|
|
|
|
|
15 |
93,6 |
93,6 |
87,58523 |
6,014768 |
|
|
|
|
|
16 |
97,9 |
90,7 |
88,35034 |
2,349655 |
|
|
|
|
|
Значение определяется по следующей формуле:
= ∑[ − ( , , )]2 |
= ∑(∆ )2 |
= 119,6. |
|
||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
Диаграмма разброса |
(корреляционное |
поле) параметров и с |
|||
|
|
|
|
|
|
логарифмической функцией = ln + представлена на рисунке 1.5.
Рисунок 1.5 – Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и с логарифмической функцией = ln +
9
Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для модели = ln + были получены эмпирические коэффициенты: = 17,03; = 10,27 (рисунок 1.6).
Рисунок 1.6 – Полученные эмпирические коэффициенты и
С помощью F-статистики Фишера можно выяснить соответствие линейной модели экспериментальными данными. Оно находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели:
рег( )расч = ад( ) .
Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами (факторами) и и откликом принимается если выполняется условие
расч > кр ( ; 1, 2).
Объясненная дисперсия рег( )
|
|
|
|
|
|
|
|
487,422 |
|
|
|
|
|
( ) = |
∑[ |
|
− ( )]2 / = |
= 487,422. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
рег |
|
расч |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточную дисперсию ад( ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119,567 |
|
|
|
( ) = ∑[ − |
|
]2 |
/ − ( + 1) = |
= 8,541. |
||||||
|
|
||||||||||
ад |
|
|
|
расч |
|
14 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1
10