401_p300_C10_2004

∆S 1

	2
	3
0	4

∆T

Решить следующие задачи

6-26, 6-28, 6-29, 6-31, 6-33, 6-38, 6-39, 6-42, 6-44, 6-50, 6-53, 6-77, 6-79, 6-138, 6-140, 6-143, 6-145, 6-146, 6-148, 6-150, 6-153, 6-156, 6-160, 6-172(б), 6-176, 6-190, 6-58, 6-59, 6-60, 6-165, 6-172, 6-201, 6-202, 6-203, 6-207, 6-208, 6-215, 6-219, 6-220, 6-226, 6-255.

Методические рекомендации к решению задач

Пример 1. Сосуд объёмом V=20 л. Содержит смесь водорода и гелия при температуре t=200C и давлении P=2,0 атм. Масса смеси m=5,0 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

V=20 л,				V=2 10-3 м3						Решение
t=200C,				Т=293 К
P=2,0 атм.,				P=2·105 Па
m=5 г.				m=5·10-3 кг
	mH
	2	= ?
	mHe
		Для смеси газов можно записать:
		1) Закон Дальтона
				Ρсм = ΡH2	+ ΡHe						(1)
		2) Уравнение состояния
			Ρсм V=			mсм			RT		(2)
					µ		см

Уравнение состояния можно записать и для каждого газа:

11

ΡH2 V=

mH2

RT

(3)

µH2

ΡHe V=

mHe

RT

(4)

µHe

Сложив эти уравнения, получим:

( ΡH2

+ ΡHe )=(

mH

2

+

m

He

)RT/

(5)

µH2

µHe

Сопоставив уравнения (5) и (2), можно записать

mH2

+

(m −mH2

)

=

m

(6)

µ

H2

µ

He

µ

см

µсм

определяем из уравнения (2)

µсм =

mRT

(7)

PV

Подставим µсм в (6)

mH2

+

m

–

mH2

=

mPV

;

µH2

µHe

µHe

mRT

1

1

PV

m

m

−

=

−

;

µ

RT

µ

H2

µ

H2

He

He

PV

−

m

(PVµHe − RTm) µH

m

RT

µ

2

=

He

=

;

H2

1

−

1

RT

(µHe − µH2 )

µH2

µHe

)

mHe

=

µHe (RTm − PVµH2

;

RT

(µHe − µH2 )

mH

=

(PVµHe − RTm)

µH

;

2

(RTm − PVµH2

)

2

mHe

µHe

5

Н

−

2

3

−3

кг

Дж

−3

mH2

2 10

2 10

м

4 10

−8.31

293К 5 10

кг

м2

моль

моль К

=

m

He

8.31

Дж

293К

5 10

−3

кг

−2 10

5 Н

2 10

−2

м

3

2 10

−3

кг

моль

К

м2

моль

2 10−3

кг

моль

= 0.5

4 10−3

кг

моль

12

Пример 2. Найти относительное число молекул водорода, скорости которых отличаются от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с при t1=270С и при t2= 2270C.

Решение

			C	−ν2
				νв2 dν ;
∆N	=	4	∫2ν2 e
N		π	C1νв2	νв

Если рассматриваемый интервал скоростей настолько мал, что подинтегральная функция изменяется незначительно, её можно вынести за знак интеграла и искомое относительное число молекул может быть приближённо найдено по формуле

−ν 2

∆Ν

4

ν 2

νв2

∆ν

;

Ν =

π

ν 2 e

νв

в

∆ν =ν2 −ν1

;

ν =

ν1 +ν2

=ν

в

;

2

ν1 = (νв

−10

м

с

) ;

ν2

= (νв +10 м

с

)

;

∆ν = 20 м

с

t1=270C

νв

=15,8 102 м

с

1

t2=2270C

νв2

= 20,4 102

м

с

∆Ν1 =

4

e−1

0,2

≈ 0,01

;

∆Ν2

=

4

e−1 0,2

≈ 0,0081 ;

Ν1

π

15,8

Ν2

π

20,4

При росте температуры число молекул вблизи νв уменьшается.

Пример 3. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширили по закону p=αV , где α - постоянная. Первоначальный объём газа V1. В результате расширения объём увеличился в η раз. Найти:

а) приращение внутренней энергии газа; б) работу, совершённую газом;

в) молярную теплоёмкость газа в этом процессе.

13

Решение

γ ; p=αν ;

V2 =η V1

Найти:

а) ∆U=? б) А=? в) Cµ=?

Для решения задач подобного типа применим термодинамический метод, в основе которого лежит несколько фундаментальных законов, полученных из опыта: уравнение Менделеева – Клапейрона для идеального газа, первое начало термодинамики, выражения для количества теплоты, энергии, работы, совершённой системой, и теплоёмкости газа.

Представив закон расширения газа в виде PV −1 =α , видим, что процесс можно считать политропическим, с показателем политропы n=-1.

а) Найдём начальное и конечное значения внутренней энергии газа

U		= vC		Τ =	vRT	=	PV		=	αV 2
					1		1 1			1
					γ −1		γ −1			γ −1
	1		µν	1

в последнем равенстве использовано условие задачи Ρ1 =αV1

U		=	P V		=	αV 2	=	αη2V	2
	2		2 2			2		1
			γ −1			γ −1		γ −1

Здесь также учтено условие задачи Ρ2 =αV2 и V2 =ηV1 Тогда искомое приращение внутренней энергии газа

∆U =U2 −U1 = αγV−121 (η2 −1)

Дальнейшее решение задачи выполняется на основе формул для вычисления физических величин

V	V	αVdV = αV 2					V2 =ηV		αη2V12 −αV12		αV12 (µ2 −1)
б) Α = ∫2	PdV = ∫2							=		=
V1	V1			2			V1		2		2
				R(γ +1)
в) Cµ =	R(n −γ )								(при n = -1)
			=
	(n −1)(γ −1)			2(γ −1)

Пример 4. Вычислить КПД цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объём идеального газа с показателем адиабаты γ уменьшается в n раз.

14

P						Решение
P2	2 (P2V2T1)				Изобразим			цикл	на
				рисунке в координатах p, v
				и	укажем			стрелкой
				направление процесса. КПД
				произвольного цикла может
				быть	найден		по	формуле
P1	3	1		η = Q1 −Q2		, где в числителе
	(P1V2T2)	(P1V1T1)			Q1
				стоит алгебраическая сумма
	V2	V1	V	теплоты,			полученной
				системой		от	нагревателя
	V1			(положительная) и отданной
		= n		системой			холодильнику
	V2			(отрицательная), в знамена -
	η = ?			теле – теплота, полученная
				системой от нагревателя.
					Для		нахождения
знаков теплоты исследуемых процессов в задаче определим соотношение
температур T1 и T2. Для состояний (1) и (3) справедливо соотношение:
		P1V1	= P2V2
		T	T
		1	2

Отсюда V1 = T1 = n , т. к. V1>V2, то T1>T2

V2 T2

1.При изотермическом процессе (1→2) для одного моля газа

Q1		V2		= −RT1 ln(n)< 0 ,
	= RT1 ln V
	1

теплота отрицательна, система отдаёт тепло.

2.	При изохорическом процессе (2→3)
	Q2 = Cv (T2 −T 1 )= −Cv (T1 −T2 )< 0 ,

газ охлаждается, система также отдаёт тепло.

3.	При изобарическом процессе (3→1)
	Q3 = Cp (T1 −T2 )> 0 ,

газ нагревается, система получает тепло от нагревателя. Поэтому КПД

η = Q3 −Q1 −Q2 =1 − Q1 +Q2

Q3 Q3

Учитывая, что

Cv = γ R−1 , Cp = γR−γ1 ,

15

получим

RT ln(n)+ RT1

1

1

(γ

−

−1) 1

n

(γ −1)nln(n) +(n −1)

η =1

−

=1 −

Rγ

T

−

1

γ(n −1)

γ −

1

1 1

n

η =1

−

n −1 +(γ −1)nln(n)

γ(n −1)

Список литературы

1. Иродов И.Е. Задачи по физике.-3-е издание, 1997

16