Лекция 2

Это означает, что одна и та же модель грунта в статической постановке будет давать различные функции напряжений, деформаций и перемещения для насыпи, фундамента здания, откоса и т.п. Например, решение статической задачи по линейно-деформируемой модели о напряжениях в основании фундаментов даст выражение для вертикальных напряжений в виде

	z	p		a x	arctg	a x		2az( x2 z2 a2 )
			arctg							,
				z		z		( x2 z2 a2 )2 4a2 z2

а решение той же задачи о напряжениях в основании приоткосной части насыпи:

z

p x

x

arctg

x 2a

2z( x 2a)

arctg

.

z

( x 2a)

2

z

2

2 a

z

Здесь a – ширина нагруженного участка, p – величина давления на грунт. Несмотря на некоторую внешнюю схожесть этих выражений, очевидно,

что это разные функции.

Таким образом, искомые функции – напряжения, деформации и перемещения – должны удовлетворять всем уравнениям системы (2.5)…(2.7) в каждой точке расчетной области и удовлетворять граничным условиям на ее контуре.

2.7. Постановка пространственной задачи ТЛДС

Для пространственной задачи уравнения равновесия, или статические уравнения, в декартовых координатах Oxyz имеют вид:

x

xy

xz

X ,

y

x

z

yx

y

yz

Y ,

(2.8)

x

y

z

zx

zy

z

Z .

y

x

z

Эти уравнения выводятся полностью аналогично тому, как ранее были получены уравнения равновесия плоской задачи (2.5).

Также вполне аналогично плоской задаче, нетрудно получить геометрические уравнения для пространственного случая:

x

u

,

y

v ,

z

w

,

(2.9)

x

y

z

xy

v

u

,

yz w

v

,

zx

u

w .

x

y

y

z

z

x

Здесь w(x, y, z) – перемещение вдоль оси Oz.

Системы (2.8) и (2.9) дают 9 уравнений, содержащих 15 неизвестных функций – шесть напряжений, шесть деформаций и три перемещения. Следовательно, как и в плоском случае, должны быть найдены дополнительные уравнения, чтобы сделать систему замкнутой.

Добавим к статическим и геометрическим шесть физических уравнений, которые для линейно-деформируемой модели грунта представляют собой закон Гука (1.1)…(1.2):

x E1 [ x ( y z )],

y E1 [ y ( z x )] ,

z E1 [ z ( x y )],

где G – модуль сдвига, равный:

G	E
		.
	2(1 )

xy			xy			,
				G
yz				yz			,	(2.10)
				G
	zx	zx				,
				G

В результате имеем замкнутую систему (2.8)…(2.10) из 15 уравнений с 15 неизвестными функциями.