книги / 125

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л. С. Маергойз, Н. Н. Рыбакова

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Красноярск

СФУ

2011

УДК 517.91(07) ББК 22.161.6я73 М14

Рецензент

М. Н. Завьялов, доцент кафедры высшей математики-4 Института фундаментальной подготовки Сибирского федерального университета

М14 Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб.-метод. пособие / сост. Л. С. Маергойз, Н. Н. Рыбакова. – Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2011. – 28 c.

Представлен один из важнейших разделов высшей математики – «Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)». Даны краткие теоретические сведения о способах решения основных типах ОДУ и контрольные задания.

Предназначено для студентов специальностей 270102, 270104, 270105, 270106, 270109, 270112, 270114, 270115, 270205, 270301, 270302, 280202, 080502, 080507.

УДК 517.91(07) ББК 22.161.6я73

Сибирский федеральный университет, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) – один из важнейших разделов математики, имеющий широкое приложение в научных исследованиях и в инженерной практике. Однако его изучение затрудняет наличие обширной литературы. В этих условиях актуальной является проблема выделения базовых составляющих курса ОДУ, которые могут послужить трамплином для более детального изучения этого раздела математики.

Главная цель этой работы – оказать существенную помощь студентам в усвоении данного раздела высшей математики и приобретении навыков самостоятельного решения уравнений.

Учебно-методическое пособие состоит, с одной стороны, из кратких теоретических сведений о способах решения основных типов ОДУ. Этот аспект иллюстрируется на примерах. С другой стороны, даются варианты контрольных заданий, предназначенных для самостоятельной работы.

Кроме того, включены задачи на составление ОДУ исходя из физических и геометрических задач.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифференциальным уравнением называют уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестную функцию, зависимую от них, и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называют обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называют дифференциаль-

ным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения. Например,

′5

обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

4

обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3

обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

В пп. 2 и 3 рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F(х, у, у') = 0, или (в разрешенном относительно у' виде) у' = f(х, у)

Решением дифференциального уравнения называют такую диффе-

ренцируемую функцию у = (х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у' = f(х, у) в области допустимых значений переменных и называют функцию у = (х, С), обладающую следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству;

2)для любого начального условия у(х0) = у0, такого что (х0, у0) D, существует единственное значение С = С0, при котором решение у' = (х, С0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у' = (х, С0) получающееся из общего решения у' =(х, С) при конкретном значении постоянной С = С0, называют частным решением.

Задачу, в которой требуется найти частное решение уравнения у' = f(х, у), удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0, называют за-

дачей Коши.

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Дифференциальное уравнение вида

0

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций , , , не равна тождественно нулю, то

4

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

dy 0,

которое и определяет решение исходного уравнения. Решение дифференциального уравнения, выраженное, возможно, в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.

Примеры

1. Решить уравнение

Решение. Разделив обе части уравнения на у2 – 4 0, а затем проинтегрировав, имеем:

Используя таблицы интегралов, найдем, что

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения (1):

5

3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнение вида

называют линейным дифференциальным уравнением первого порядка

где C – произвольная постоянная.

Представим решение неоднородного уравнения в виде произведения

7

Полагаем

′0

Отсюда находим, что

.

Следовательно,

Имеем окончательно:

8

Другой способ интегрирования уравнения (2), называемый методом вариации постоянной, проиллюстрируем на следующем примере.

Решение. Проинтегрируем соответствующее однородное уравнение

′0 методом разделения переменных:

9

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид

10