Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Электронное издание

Красноярск

СФУ

2015

1

УДК 512.94/975(07) ББК 22.151.5я73

О-753

Составители: Киреев Игорь Валериевич Левчук Владимир Михайлович Нужин Яков Нифантьевич

О-753 Основы тензорного исчисления : учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс] / сост. : И. В. Киреев, В. М. Левчук, Я. Н. Нужин. – Электрон. дан. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2015. – Систем.

требования : PC не ниже класса Pentium 1 ; 128 Mb RAM ; Windows 98/ XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.

Cоставлено по материалам одноимённого семестрового курса лекций для студентов технических специальностей СФУ. Учебно-методическое пособие включает три раздела, в каждом даны задачи для самостоятельной работы.

В первой части рассмотреныэлементы линейнойалгебры, необходимыедля изучения тензорных объектов. Во второй – изложены основы тензорного формализма, изучен аппарат дифференциального исчисления тензоров. В третьей части пособия рассмотрены следующие темы: элементы дифференциальной геометрии, основы механики сплошной среды.

В конце приведены индивидуальные и контрольныезадания для студентов, которые могут быть использованы преподавателями для проведения экзамена или зачёта по основам тензорного исчисления.

Предназначено для студентов направления 15.03.01 "Машиностроение", а также дугих технических специальностей.

УДК 512.94/975(07) ББК 22.151.5я73

© Сибирский федеральный университет, 2015

Электронное учебное издание

Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса

Подписано в свет 30.10.2015. Заказ № 3145 Тиражируется на машиночитаемых носителях

Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а

Тел. (391) 206-26-67; http://bik.sfu-kras.ru E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru

2

Оглавление

Лекция 1. Операции над векторами и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Лекция 2. Линейная зависимость системы векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Лекция 3. Системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Лекция 4. Скалярное, векторное и смешанное

произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Лекция 5. Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Лекция 6. Линейные преобразования; собственные значения

и собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Лекция 7. Тензорный формализм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Лекция 8. Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Лекция 9. Операции над тензорами. Примеры тензоров. . . . . . . . . . . . . . .52 Лекция 10. Метрический и дискриминантный тензоры. . . . . . . . . . . . . . . .64 Лекция 11. Ковариантное дифференцирование.

Основы тензорного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Лекция 12. Плоские кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Лекция 13. Касательная и нормаль к кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Лекция 14. Пространственные кривые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 Лекция 15. Поверхности в евклидовом пространстве.

Первая квадратичная форма поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . .94 Лекция 16. Поверхности в евклидовом пространстве.

Вторая квадратичная форма поверхности . . . . . . . . . . . . . . . 102 Лекция 17. Тензоры напряжений и деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Контрольные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3

Векторная алгебра

В этом разделе вводятся операции сложения векторов и умножение вектора на число и приводятся их свойства. Определяются скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и также указываются свойства этих произведений.

1-я лекция. Операции над векторами и их свойства

Геометрическим вектором или просто вектором будем называть упо-

−→

рядоченную пару точек ( , ) и обозначать символом . При этом

первую точку будем называть началом, а вторую — концом вектора. Длину отрезка , или, что то же самое, расстояние между точками

Вектор можно рассматривать также как направленный отрезок, т.е. для отрезка указано какой из его концов является началом, а какой концом этого отрезка. Направленный отрезок задаёт направление и расстояние некоторого параллельного переноса. При задании параллельного переноса важно только направление этого параллельного переноса и его величина, т.е. расстояние, на которое нужно переместиться. Поэтому мы

дадим следующее определение равенства векторов.

−→ −−→

Векторы и будем называть равными, если они параллельны и

совпадают направления и длины отрезков и .

−→

Для вектора трудно говорить о направлении, но очевидно, что па-

раллельный перенос, оставляющий точку на месте, оставляет на месте

−→ −−→

все точки. Таким образом векторы и задают один и тот же параллельный перенос и их нужно считать равными. С учётом сказанного следующее определение равенства векторов эквивалентно выше приве-

дённому. −→ −−→ Векторы и будем называть равными, если существует парал-

лельный перенос, отображающий в , в . При этом будем исполь-

−→ −−→

зовать запись = .

−→

Лемма 1. Для произвольного вектора существует равный ему вектор с началом в любой наперед заданной точке .

Для доказательства проведем через точку прямую, параллельную

−→

вектору ; при ̸= прямая единственна. На ней существуют два противоположных вектора с началом в точке , равные по длине исход-

4

−→

ному вектору. Тогда один из этих векторов сонаправлен вектору и поэтому равен ему.

Если пользоваться вторым определением равенства векторов, то следующее утверждение становится вполне очевидным и естественным.

−→ −−→

Лемма 2. Каковы бы ни были точки и векторы и равны

−→

Далее вектор будем называть нулевым вектором и обозначать 0. Из сформулированной леммы следует, что нулевой вектор единственный.

Поскольку равные векторы определяют один и тот же параллельный перенос, то совокупность всех равных между собой векторов будем называть свободным вектором. При таком определении соответствие между совокупностью всех параллельных переносов и совокупностью свободных векторов становится взаимно – однозначным. То есть каждый свободный вектор определяет единственный параллельный перенос и разные свободные векторы определяют разные параллельные переносы. Обозначается свободный вектор строчными буквами латинского алфави-

та жирным шрифтом: a, b, x и т. д. Можно использовать также запись

−→ −−→

вида a = , = x и т. д..

Замечание 1. Аналогичная ситуация возникает при введении рациональных чисел: вначале даётся определение рациональной дроби, затем – условие равенства дробей, и, наконец, констатируется, что все равные между собой дроби представляют одно и то же рациональное число. Например, число 23 можно представить и как 46, 1218, и, наконец,

23 .

Определим далее операции на множестве векторов.

a ZZ

Рисунок. 1. Правило треугольника сложения векторов

В другом способе сложения векторы относят к общему началу; диагональ построенного на векторах параллелограмма даёт их сумму."

5

Таким образом равенство 2) выполняется.

−→ −−→ −→

Справедливость свойства 3) следует из равенства + = , т. е. нулевой вектор это вектор, у которого совпадают начало и конец.

Если — действительное число и a – произвольный вектор, то произведением вектора a на число называем вектор длины | | · |a|, сонаправленный с a, если > 0, и направленный противоположно вектору a, если < 0.

Доказательство следующей теоремы мы оставляем в качестве упражнения для самостоятельной работы.

Теорема 2 (Свойства операции умножения вектора на число). Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1)1 · a = a;

2)( a) = ( )a;

3)( + )a = a + a;

4)(a + b) = a + b.

Непосредственно из определения умножения вектора на число вытекают также равенства 0a = 0 и (−1)a = −a.

7

2-я лекция. Линейная зависимость системы векторов

Пусть 1, 2, ..., — действительные числа, a1, a2, ..., a - векторы. Сумму вида 1a1 + 2a2 + ... + a будем называть линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., a с коэффициентами 1, 2, ..., . Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то будем называть её тривиальной линейной комбинацией.

Система векторов a1, a2, ..., a называется линейно зависимой, если существует некоторая нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, и линейно независимой — в противном случае.

Лемма 1. Система векторов a1, a2, ..., a ( > 2) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов.

Доказательство. Пусть a1, a2, . . . , a — линейно зависимые векторы. Это означает, что существуют такие не все равные 0 числа 1, . . . , , что

1a1 + · · · + a = 0.

Пусть, например, 1 ̸= 0. Тогда

т. е. a1 есть линейная комбинация векторов a2, . . . , a . Обратно, допустим

a1 = 2a2 + · · · + a .

Отсюда

(−1)a1 + 2a2 + · · · + a = 0,

т. е. векторы a1, a2, . . . , a линейно зависимы.

нарными, если существует плоскость , которая параллельна одновременно всем прямым 1 1, 2 2, ..., .

Далее дадим алгебраическую характеризацию понятий коллинеарности и компланарности, которая будет одновременно давать геометрическое представление алгебраического понятия линейной зависимости и независимости векторов.

8

Теорема 1 (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов). Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Пусть векторы a1, a2 линейно зависимы. В силу леммы 1 один из этих векторов линейно выражается через другой, пусть a2 =1a1. В силу определения операции умножения вектора на число векторы a1, a2 лежат на одной прямой, т.е. они коллинеарны.

Обратно, пусть векторы a1, a2 лежат на одной прямой. Если оба вектора a1 и a2 нулевые, то a2 = 0a1, т.е. они линейно зависимы. Если один из них ненулевой, допустим a1, то положим 1 = |a2|/|a1|, если они сонаправлены, и 1 = −|a2|/|a1| в противном случае. Тогда a2 = 1a1, т.е. вновь приходим к выводу, что они линейно зависимы.

Теорема доказана.

Теорема 2 (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости трёх векторов). Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Пусть векторы a1, a2, a3 линейно зависимы, см. рис.1. В силу леммы 1 один из этих векторов линейно выражается через другие, пусть a3 = 1a1 + 2a2. В силу определения операций сложения векторов

иумножения вектора на число вектор a3 лежит в той же плоскости, что

ивекторы a1, a2.

Обратно, пусть a1, a2, a3 лежат на одной плоскости. Если векторы a1, a2 лежат на одной прямой, то в силу доказанного существуют числа 1, 2, не равные одновременно 0, такие что 1a1 + 2a2 = 0. Но тогда 1a1 + 2a2 + 0a3 = 0 и не все коэффициенты равны 0, что означает линейную зависимость.

Рисунок. 1. К доказательству теоремы 2

Рассмотрим теперь ситуацию, когда векторы a1, a2 не коллинеарны. Пусть - плоскость, в которой лежат a1, a2, a3. Расположим a1, a2, a3

9

соответственно. Поэтому из ранее доказанного следует, что существуют

−−→

такие числа и , для которых выполняются равенства ′ = a1 и

−−→

′ = a2. Таким образом имеем

−−→ −−→

a3 = ′ + ′ = a1 + a2.

Прибавляя к обеим частям равенства вектор, противоположный a3, получим

a1 + a2 + (−1)a3 = 0.

То есть система векторов a1, a2, a3 линейно зависима. Теорема доказана.

Теорема 3. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.

2

1

Рисунок. 2. К доказательству теоремы 3

Доказательство. Пусть задана система из четырёх векторов a1, a2, a3, a4 (см. рис. 2). Если векторы a1, a2, a3 компланарны, то по доказанному они линейно зависимы, т.е. существуют такие не равные одновременно нулю числа 1, 2, 3, что выполняется равенство 1a1+ 2a2+ 3a3 = 0. В этом случае также будет справедливо равенство 1a1 + 2a2 + 3a3 + 0a4 = 0, в левой части которого не все коэффициенты равны 0.

Осталось рассмотреть ситуацию, в которой векторы a1, a2, a3 не компланарны. Расположим эти векторы так, чтобы они имели общее начало

10