86
.pdfChapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
where
a1 = 1 ( 1 2 1 2 ),
a2 = ( 1 2 ) 2[ 1( 1 2 ) 2 ( 2 1 2 1) 1 2 2 1 ],
a3 = 2 1 ( 1 2 ) 3[( 1 2 )( 1 2 2 1 ) ( 1 2 )( 1 2 2 1 ) ( 1 2 )( 2 1 2 1 )],
> 0 is an arbitrarily small number. As follows from |
( ), |
matrix |
A ( ) |
is a |
1 |
1 |
Hurwitz matrix, if |
( 1 2 ) > 0, |
1( 1 2 ) > 0, for any arbitrarily small number |
|||||||||||
> 0. |
|
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1 |
||
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1 |
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|||||
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||
1. Nonsingular transformation. Matrix B1 = B11 |
B12 , |
B |
= |
1 |
B |
= |
|||||||
|
, |
|
0 . |
||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
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|
12 |
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|||
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0 |
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1 |
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R |
, |
|
|
|
R |
, |
||||||
Define the vectors |
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3 |
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3 |
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|||||||||||
1 |
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||
|
* |
B |
|
= 0; |
б) |
|
* |
B |
|
= 0, |
|
|
* |
B |
|
= 1; |
||||||||
|
|
2 |
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|
2 |
|
||||||||||||||||||
1 |
12 |
|
|
|
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11 |
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12 |
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||||||||
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1 |
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1 |
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1 |
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|||||||
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||
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|
= |
|
0 |
, |
2 |
= |
|
1 |
, |
|
3 |
= |
|
1 . |
|
||||||||
1 |
|
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|
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||||||||
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1 |
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0 |
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1 |
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|||
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|
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|
|
Matrix of transformation
в)
*
3
3 |
, |
R |
|
B |
|
11 |
from the conditions: a) |
|
* |
B |
= 1, |
||||||
|
||||||||||
1 |
11 |
|
||||||||
= 0, |
|
* |
B |
= 0. |
As a result, we get |
|||||
3 |
||||||||||
|
|
12 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
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|
= K, K 1 = R* 1 = |
|
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|
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|
R = |
|
0 |
1 |
1 , R* = |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 . |
|||
|
|
|
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|
|
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||||
|
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1 |
0 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
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|||||||||
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Then matrices
A1, |
B1, |
S1
are equal to:
|
|
|
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|
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1 ( ) |
1 ( |
) |
|
1 ( |
) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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A1 |
= KA K 1 |
= |
|
1 ( |
2 |
|
) |
1 ( |
2 |
|
2 |
) |
1 ( |
2 |
|
2 |
|
2 |
) , |
||||||||||||||||||
|
|
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1 |
|
|
|
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|
2 |
|
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||||||||
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1 |
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|
1 |
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1 |
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||||
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||
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1 |
|
0 |
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= S Ê 1 |
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
B1 |
= KB = |
|
0 1 , S1 |
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
2 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
0 |
|
|
|
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|||
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1 ( ) |
|
1 ( |
) |
|
|
1 ( |
) |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
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|
A11 |
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
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|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 ( 2 2 ) |
1 ( 2 2 ) |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ( 2 2 2 ) |
|
|
|
131
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
|
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|
1 |
0 |
0 |
||
|
|
= ( 1,1,1), H |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
H0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
A12 |
|
H |
|
= (0,0,1), |
= |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||
0 |
= |
|
|
|
, |
1 |
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
H1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S11 |
= |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 , S12 |
= |
1 1 |
1 , H |
0 |
y = 1 |
, H |
y = y , |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
1 |
3 |
|||||
|
|
|
2 2 |
2 |
|
2 |
|
y2 |
|
|
|
||||||||
where |
y = Kx, |
x = K |
1 |
y. |
|
|
|
|
|
|
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|
||||
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||||||||
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|
Then equation (2.112) by nonsingular transformation reduces to
y |
= [ 1 ( )]y [1 ( |
|
|
|
|
)]y |
|
|
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||||||||||||||||||||
1 |
|
|
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1 |
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|
1 |
1 |
|
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|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
[1 ( |
|
|
1 |
)]y |
|
|
( |
), |
|
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|||||||||||||
|
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1 |
|
1 |
|
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|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
||
y |
= [1 ( |
2 |
|
)]y [ 1 ( |
2 |
|
2 |
)]y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
||||||
[ 1 ( |
2 |
|
2 |
|
2 |
)]y |
2 |
( |
2 |
), |
y |
|
|
= y y |
y |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 = ( 1 1 ) y1 ( 1 1 ) y2 ( 1 1 1 ) y3 ,
2 = ( 2 2 ) y1 ( 2 2 ) y2 ( 2 2 2 ) y3.
2.Solution properties. Matrix
|
|
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|
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|
1 ( )( ) |
|
|
|||||||
|
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1 |
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1 |
|
|
1 |
|
|
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|
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|
|||
A1 ( ) = A1 B1 S1 = 1 ( 2 )( 2 2 ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
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||
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
1 ( )( |
) |
|
1 ( )( |
|
) |
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 ( |
2 |
)( |
1 |
|
2 |
) |
1 ( |
)( |
2 |
|
2 |
|
2 |
) . |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
Characteristic polynomial
(2.113)
2 ( ) =| I3 A1( ) |=| I3 A1( ) |=
= 3 a1( , 1, 2 ) 2 a2 ( , 1, 2) a2 ( , 1, 2 ).
Notice, that as > 0 is an arbitrarily small number, then from (2.113) we have
y1 = y1 y2 y3 1( 1),
y2 = y1 y2 y3 2 ( 2 ), y3 = y1 y2 y3 ,
1 = ( 1 1 ) y1 ( 1 1 ) y2 ( 1 1 1 ) y3 ,
132
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
2 = ( 2 2 ) y1 ( 2 2 ) y2 ( 2 2 2 ) y3. |
(2.114) |
||||
where the characteristic polynomial |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 ( ) =| I3 A1( ) |=| I3 A1( ) |= |
|
||||
= 3 a1 ( 1, 2 ) 2 a2 ( 1, 2 ) a3 ( 1, 2 ). |
(2.115) |
The limit diagonal matrix |
|
0 |
|
of polynomial |
|
2 |
( ) |
from (2.115), |
|
|
= diag ( |
01 |
, |
02 |
) |
|
|
|
where matrix
is determined from the Hurwitz
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 ( ) = A1 B1 S1 = |
|
|
|
|
|||||||
1 1 ( 1 1 ) |
|
1 1 ( 1 1 ) |
|
1 1 ( 1 |
1 |
1 ) |
||||||||
|
1 2 ( 2 |
2 ) |
1 2 ( 1 2 ) |
|
1 2 ( |
2 2 |
|
|
||||||
= |
|
2 ) . |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As follows from (2.114) the following identities hold:
|
|
( |
(t)) = y |
y |
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
y |
= y y |
2 |
y |
, |
|
(t) |
||
3 |
1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
(t) = ( |
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|||
y |
|
= y (t), |
y |
2 |
|||
|
1 |
1 |
|
|
y2 y3 ,
=( 1 1
) y ( |
2 |
|
1 |
|
|
= y |
(t), |
|
2 |
|
|
|
2 |
( |
2 |
(t)) = y |
2 |
y y |
2 |
y |
, |
|
|
|
1 |
3 |
|
) y ( |
|
) y |
2 |
( |
) y |
, |
|||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
2 |
) y |
2 |
( |
2 |
|
2 |
|
2 |
) y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
y3 = y3 (t), |
t I = [0, ], |
(2.116) |
where |
0, |
|
|
||
A |
( )). |
|
1 |
|
|
( |
2 |
) > 0, |
|
( |
) > 0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
(Hurwitz conditions for matrix
3. Improper integrals. As follows from Theorem 9, improper integral
where I11, |
I12 is equal to: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(t)dt = |
|
* |
|
|
|
|
* |
* |
(t) 13 |
||
I11 = 1 ( 1 ( )) 11 1 |
y |
|
(t) 11 y(t) y |
(t) 12 y(t) y |
||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( |
) |
d |
1 |
< , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
11 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t I are denoted by identities (2.116), matrices |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
where 1 ( (t)), 1(t), |
I |
= I |
I |
, |
1 |
11 |
12 |
|
y(t) dt =
133
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
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Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
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b2 = ( 2 2 2 2 2 ) 12 ( 1 1) 11, |
135
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
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13 |
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N13 a1 |
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||||||
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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a1 = ( 2 2 2 ) 12 ( 1 1 1) 11.
|
|
Here |
11 |
, |
12 |
, |
N |
|
, |
N |
|
, |
|
N |
13 |
, |
|
N |
21 |
, |
N |
22 |
, |
N |
23 |
|
are arbitrary parameters, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
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|
12 |
|
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|||||||||
a |
feedback |
matrix. |
|
|
If the |
|
equalities |
|
are |
|
satisfied |
N |
22 |
b = N |
21 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|
N = N |
|
|
b , |
|
N |
|
|
N |
|
|
= N |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
then |
the |
matrix |
|
|
* |
|
|||||
|
23 |
11 |
|
|
|
21 |
|
1 |
|
|
|
|
23 |
|
|
12 |
|
|
|
22 |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||||
from (2.117) it follows |
|
|
|
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( ) |
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(t)W y(t) dt = |
1 |
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|||||||||
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|
|
I 5 = |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
( |
) |
d |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
(t)R y(t) |
y |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
1 |
|
|
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|
|
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1 |
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|
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|
1 |
1 |
11 |
|
|
|
|
|||||||
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|
|
|
|
|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
(0) |
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|
1 |
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|
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|
|
|
|
|
S1 isb1, Then
|
|
|
|
2 |
( ) |
|
|
|
|
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|
d |
|
1 |
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||||
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||||||||
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|
( |
|
|
) |
|
d |
|
|
|
|
* |
(t) y(t) |
dt < , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
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|
2 |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
|
due to the fact that |
| |
y( ) | c |
|
|
< , |
| y(0) | c |
< . Matrix |
R = R |
* |
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
( ) |
11 |
0, |
|
|
11 |
( |
|
)( |
2 |
|
2 |
) |
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
0, |
| |
R | 0. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
12 |
|
1 |
11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
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|
|
|
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|
|
(2.118)
when
(2.119)
Consequently, when performing inequalities (2.102) from (2.101) it follows that the improper integral
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
(t)W y(t) dt < . |
I |
|
= |
|
* |
(t)W y(t)dt |
|
* |
(t)R y |
* |
||
50 |
|
y |
|
|
(t) y |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
(2.120)
0 |
0 |
If arbitrary parameters and elements of feedback matrix S1 are selected so that: a)
* |
* |
* |
|
3 |
|
y W y = 0, |
|
|
|||
either W1 = W1 |
> 0; b) either W1 = W1 0 (surface |
y R |
|
does not contain |
|
1 |
|
whole trajectories), then all conditions of theorem 6 are satisfied. Consequently, in the
sector [ , 0 ], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0 2 , |
2 > 0 |
is a |
diagonal matrix with arbitrarily small |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
positive elements, Iserman’s problem has a |
solution. Limit values 01, |
02 are |
||||||||||||
determined from the Hurwitz |
condition |
for |
polynomial 2 ( ) from (2.115) and |
136
Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
condition
( |
|
2 |
) > 0, |
1 |
|
|
|
( |
|
) > 0. |
1 |
1 |
2 |
|
For positive definiteness of the matrix
W |
= W |
* |
> 0, |
|
|||
1 |
1 |
|
it is necessary and sufficient that the following inequalities are fulfilled:
N a > 0, |
(N a )( N a ) ( |
N11 |
|
N12 |
a )2 |
> 0, | W |> 0. |
||||
|
|
|||||||||
11 |
1 |
11 |
1 |
12 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Absolute stability. Below we present the results of study of absolute stability of equilibrium state of the system (2.111) with non fixed elements of feedback matrix
S1.
The improper integral
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* |
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(t) dt |
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||||||||||||||
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I |
|
|
= |
|
|
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|
( |
|
(t)) |
|
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1 |
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( (t)) |
( (t)) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
01 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
1 |
|
|
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21 |
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|
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|
1 |
|
|
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21 |
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|
1 |
|
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|
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||||||||||||||||
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|
|
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|
0 |
|
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|
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(t) dt = |
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|||||||||||||
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|
|
|
( |
|
(t)) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
|
(t)) |
|
|
( |
|
(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
22 |
02 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
22 |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) dt 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
* |
(t) y(t) y |
* |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y(t) y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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1 |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
where |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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137
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
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Chapter II. Absolute stability and Aizerman’s problem of multidimensional regulated systems
If the equalities are satisfied
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1i |
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(2.124) |
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When equalities (2.122) and inequalities (2.124) are valid, as follows from |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2.123) the improper integral: |
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0 |
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|
Matrix |
W |
= W |
|
* |
|
|
> 0 |
|
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then and only then, when inequalities are satisfied: |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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N |
|
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|
|
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c |
|
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c |
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11 |
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1 |
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11 |
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11 |
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1 |
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11 |
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12 |
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1 |
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22 |
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N12 |
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(2.125) |
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If arbitrary parameters |
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11 |
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21 |
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> |
0, |
|
22 |
|
> |
0, |
|
N |
|
|
, |
|
N |
|
|
, |
|
N |
13 |
, |
|
N |
21 |
, |
|
|
N |
22 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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11 |
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12 |
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N |
23 |
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
2 |
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are |
selected |
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so, |
|
that |
equalities |
(2.122) |
and |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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inequalities (2.124), (2.125) are satisfied and Hurwitz condition |
for the matrix |
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A ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ( 1 2 ) > 0, |
|
1( 1 |
2 ) > 0), |
|
then the equilibrium state of the system (2.111) is |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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absolutely stable. If when these conditions are met matrix |
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0 |
= 0 |
2 , |
|
2 |
|
> 0, |
then Iserman’s problem has a solution. All of the above statements remain true in case,
139
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
when matrix W = W * 0, surface |
y*W y = 0, y R3 |
does not contain whole trajec- |
|
0 |
0 |
0 |
|
tories.
A new method of study of absolute stability of equilibrium state of multidimensional regulated systems with limited nonlinearities in a simple critical case based on nonsingular transformation equations of motion was developed, properties of solutions and evaluations of improper integrals along the solution of the system were studied.
The class of multidimensional nonlinear regulated systems in a simple critical case, for which Iserman’s problem has a solution was determined. For this class of regulated systems necessary and sufficient conditions of absolute stability were obtained.
Key results, obtained in the work and efficiency of the proposed method are shown on examples.
Lecture 22.
Absolute stability and Iserman’s problem of multidimensional systems in a critical case. Problem statement. Nonsingular transformation
Problem statement. Equations of motion of multidimensional regulated systems in a critical case have a form:
x = Ax B ( ), = L1 ( ),
|
|
|
), |
= L ( ), = Sx T T ,t I = [0, |
|||
2 |
1 |
2 |
|
(2.126)
where |
A, B, |
L , |
L , |
S , |
T , |
|
T |
|
are constant matrices of orders |
n n, |
|
n m, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
|
2 |
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1 |
|
2 |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
m m, |
m m, m n, |
m m, |
m m |
|
respectively, matrix |
A |
is a Hurwitz matrix, |
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|||||||||||||||||||||||||
i.e. Re j ( A) < 0, |
j = 1, m, |
j ( A) |
are eigenvalues of the matrix A. |
Function |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) |
|
= ( ) = ( ( ),..., |
|
|
( )) C(R |
m |
,R |
m |
) | ( ) = E ( ), |
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||
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0 |
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1 |
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1 |
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m |
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m |
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||
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( ) = ( |
|
1( 1),..., |
|
m ( m )) 1, |
|
(0) = 0, , Rm , |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||
( ) = { ( ) C(Rm ,Rm ) |0 |
( |
) |
i |
|
2 |
, |
, |
i |
Rm ,i = 1, m, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
|
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|
,0 < |
|
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i |
|
i |
|
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|
0i |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
} |
|
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|||||||||
|
|
|
(0) = 0,| ( ) | |
|
|
< ; , = ( |
,..., |
|
|
) R |
m |
, |
(2.127) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||
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* |
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|
* |
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1 |
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|
m |
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|
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|
|
||||||
where, |
E = diag ( 1 |
,..., m ), i |
= , |
|
|
|
> 0 is an arbitrarily small number. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i = 1, m, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Practical systems of automatic control relate to the systems with limited resources |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
and for such systems function |
( ) |
satisfies the conditions (2.127). |
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As follows from inclusions (2.127) equations of motion (2.126) can be repre- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sented as |
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||||
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|
z = A1z B1 ( ), = S1z, z(0) = z0 ,| z0 |< ,t I, ( ) 1 , |
(2.128) |
140