Не определенные интегралы / Integral4
.pdfЛекция № 4 Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида ∫R(cos x, sin x)dx , где R − рациональная функция,
приводятся к интегралу от рациональной функции путём замены t = tg x , которая
2
называется универсальной тригонометрической подстановкой. Это достигается тем,
что sin x, cos x |
и dx выражаются через |
tg |
x |
|
|
|
рационально: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−tg2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin x = |
|
|
|
|
2 |
|
; |
cos x = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
x =2arctgt |
dx = |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
1+t2 |
(1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= (воспользуемся формулами (1)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫sin x |
− 2cos x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
t = tg |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∫ |
2t |
|
|
|
|
2 − 2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ t (2t +1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
+ |
(1 + t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
2 |
|
|
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ∫ |
− 2∫ |
|
|
|
|
= ln |
tg |
− ln |
2 tg |
|
+1 |
+ ln |
|
C |
|
= ln |
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
2t +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Использование такой подстановки часто приводит к громоздким выражениям. Эта подстановка, как правило, эффективна, если sin x и cosx входят в дробное выражение в первой степени.
|
Интегралы вида ∫R(cos x)sin xdx; |
|
|
∫R(sin x) cos xdx; |
∫R(tg x)dx с |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
помощью |
подстановок: |
t =cosx; |
t =sinx; |
|
t =tgx соответственно приводятся к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралам |
от рациональной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
cos xdx |
|
t = sin x |
|
|
∫ |
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 + t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + sin x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 −sin |
|
x |
|
dt = cos xdx |
2 |
|
−t |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 −t |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −sin x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 3. |
∫ |
tg 3 x dx = |
|
|
dt |
|
|
|
= |
∫ |
|
= |
∫ |
tdt − |
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
|
|
|
|
|
1 |
+ t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
tg2 x |
− |
1 |
ln(1 + tg2 x) + C = |
tg2 x |
+ ln |
|
cos x |
|
+ C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы вида |
∫ R (cos 2 m x , sin 2 n x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В этом случае применяется замена |
t =tg x |
|
|
, так |
как |
|
|
sin2 x и |
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||
выражаются |
через |
tg x |
рационально: |
|
sin 2 x = |
|
|
t 2 |
|
|
; |
cos 2 x = |
1 |
|
|
|
, или |
|||||||||||||||||||||
1 + t 2 |
1 + t 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
используются тригонометрические формулы понижения степени. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
t = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. ∫ |
|
|
|
2 |
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример |
(2 |
-sin x)cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
(1+t |
|
) 2 |
- |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1+t |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= ∫ |
|
(1 + t 2 )dt |
= ∫dt − ∫ |
dt |
|
= tg x − |
|
|
1 |
|
arctg |
tg x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 + t 2 |
2 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы вида ∫sin m x cosn xdx , где среди показателей степени
т и п по крайней мере один нечетный. В этом случае за новую переменную t принимается та функция, которая содержит чётную степень, либо любая, если функции в нечётных степенях.
|
∫ |
cos5 xdx |
|
∫ |
cos4 x × cos xdx |
|
t = sin x |
|
|
||||
Пример 5. |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
||
sin |
3 |
x |
sin |
3 |
x |
|
|||||||
|
|
|
|
dt = cos xdx |
|
= ∫ |
(1−t2 )2 |
dt =∫t−3dt −2∫ |
dt |
+∫tdt =− |
1 |
−2ln |
|
sin x |
|
+ |
sin2 x |
+C.. |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t3 |
t |
2sin2 x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегралы вида ∫s in m x c o s n x d x , |
где оба показателя степени |
|
т и п четные. В этом случае используются тригонометрические формулы понижения степени (пока не получим одну из них нечетную):
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x = |
1 − cos 2 x |
; |
cos2 x = |
1 + cos 2x |
. |
|
(2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
4 |
|
∫ |
1−cos 4x 2 |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
Пример 6. |
sin 2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
−2 cos 4x +cos 4x) dt = |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
1 |
∫dx − |
1 |
∫cos 4xdx + |
1 |
∫ |
1+cos8x |
dx = |
x |
− |
sin 4x |
+ |
x |
+ |
sin 8x |
+C . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
8 |
8 |
|
|
|
64 |
|
Интегралы вида∫sinαx cos βxdx; ∫sinαxsin βxdx; ∫cosαx cos βxdx .
Эти интегралы находятся с использованием формул:
sin α x cos β x = |
1 |
(sin(α + β ) x + sin(α − β ) x ); |
|
||
|
|
|
|||
2 |
|
|
|||
sin α x sin β x = |
1 |
(cos(α − β ) x − cos(α + β ) x ); |
(3) |
||
|
|||||
2 |
|
|
|
cos α x cos β x = 1 (cos(α − β ) x + cos(α + β ) x ). 2
Пример 7. ∫ cos 3x sin 7xdx = |
1 |
∫ (sin10x + sin 4x)dx = . |
|||||||||
|
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
cos10x |
|
cos 4x |
|
||
= |
∫sin10xdx + |
∫sin 4xdx = − |
− |
+ C . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
20 |
8 |
|
|||||||
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
Здесь мы рассмотрим только некоторые частные случаи, когда интеграл от иррациональной функции можно выразить через элементарные функции.
|
|
m |
|
|
p |
|
Интегралы вида ∫ R |
|
|
, ... , |
x |
q |
|
n |
||||||
x , x |
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Если k = H O K ( n , ..., q ) |
, |
то |
подстановка имеет вид x = t k и тогда |
d x = k t k −1 d t . После чего интегрирование иррационального выражения сводится к
интегрированию рациональных дробей.
|
(1+ 26 |
|
|
x = t6 t = 6 |
|
|
|
|
(1+ 2t)t5 |
|
2t4+t3 |
||||||||||
|
|
|
) |
|
x |
|
|
||||||||||||||
Пример 8. ∫ |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
= 6 |
|
|
|
dt =6 |
|
dt = |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x + |
x |
|
dt |
|
|
∫ |
+t |
∫ |
1+t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx = 6t |
|
|
|
t |
|
|
= 12∫t3dt − 6∫t2dt +6∫tdt − 6∫dt + 6∫ |
dt |
|
=3t4− 2t3+ 3t2− 6t + ln |1+ t | +C = |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 33 |
|
−2 |
|
+33 |
|
−66 |
|
+6ln |1+ 6 |
|
| +C. |
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
Замечание 1. |
Если |
|
выражение |
под знаком радикала линейное, т.е. имеет |
|||||||||||||||||||||
вид a x + b , то |
из свойства 4 неопределенного |
интеграла |
следует, что мы |
||||||||||||||||||||||
вправе применить тот же подход. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 9. ∫ |
|
x |
|
|
2x −1 |
= t 2 x = |
|
(t 2 |
+1) |
1 |
|
∫ |
t 2 +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
t d t = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2dx = 2t d t |
|
|
|
|
t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
(2x −1)3 |
|
|
|
|||
|
1 |
∫ |
|
1 |
|
2x −1 |
|
|||||||
= |
|
(t2 +1)dt = |
|
|
|
+ t |
+ C = |
|
+ |
|
|
|
+ C . |
|
2 |
2 |
3 |
6 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Интегралы вида ∫ R(x , a2 − x2 )dx .
Заменой x = a sin t такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции.
Пример 11. ∫ |
|
−4x2 |
+ 8x +12 |
|
dx = 2∫ |
|
−x2 + 2x + 3 |
|
u = −x +1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
= |
||
|
(1 |
− x) |
2 |
|
|
(1− x) |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
du = −dx |
|
|
|
|
|
|
|
u = 2sint |
|
|
z = ctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −u2 |
|
|
|
|
|
z2 +1−1 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= −2∫ |
|
|
|
du = |
|
|
= −2∫ctg tdt = |
|
dz |
|
= 2∫ |
|
|
|
dz = |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
u |
|
du = 2costdt |
|
|
|
|
1+ z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt = − |
1+ z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 z + 2 arcctg z + C = 2t + 2 ctg t + C = 2 arcsin |
u |
+ 2 |
1 − sin 2t |
+ C = |
|
|
|||
2 |
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - (u |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
|
|
|
-x |
2 |
+ 2x + 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 2 arcsin |
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = 2 arcsin |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 - x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Интегралы вида ∫ R ( x , |
|
|
|
|
|
)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
− a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В этом случае используется замена x = |
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
; t = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1× |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x -1 |
dx = |
|
|
|
|
sint |
|
|
|
|
|
|
|
x = ∫ |
|
sin t |
|
|
|
sin |
|
t |
dt = |
||||||||||||||||||
Пример 12. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = - |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
32
=−∫ sin t cos t dt = − ∫cos2 tdt = − 1 ∫(1+ cos 2t)dt = − t − sin 2t + C = sin3 t 2 2 4
= − |
1 |
|
1 |
− |
1 |
|
|
1 |
+ C = − |
1 |
|
1 |
− |
1 |
|
+ C . |
||
|
arcsin |
|
|
sin |
2 arcsin |
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
x |
|
4 |
|
|
x |
|
2 |
|
x |
|
2 x2 −1 |
|
3. Интегралы вида ∫ R ( x , x 2 + a 2 ) d x .
Рационализация подынтегрального выражения достигается заменой x = a × tg t .
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x = 2tgt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 13. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
cos |
2 |
t |
|
|||||||||||||||||||
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(4 |
+ x ) |
dx = |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
cos3 t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg t |
|
cos |
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
∫ cos tdt = |
sin t + C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 1 + tg 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
4 4 + x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Понятие о неберущихся интегралах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Теорема |
существования |
неопределённого |
интеграла |
утверждает, |
что всякая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ( x) , непрерывная на (a ; b) , имеет на этом интервале первообразную. |
|
Однако из |
этого не следует, что интеграл от любой элементарной функции выражается через элементарные функции. Такие интегралы называются неберущимися в элементарных функциях. Они порождают новые, неэлементарные функции, которые, также как и элементарные, достаточно хорошо исследованы в математике .
К таким интегралам, например, относятся:
∫
∫
e − x 2 |
dx − интеграл Пуассона; |
∫ |
sin x |
dx − интегральный синус; |
||
x |
||||||
cos x |
dx |
− интегральный косинус; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
∫ sin( x 2 )dx ; ∫ cos( x 2 )dx − интегралы Френеля;
dx
∫ln x − интегральный логарифм и многие другие.
Существуют другие методы для нахождения таких интегралов с использованием функциональных рядов, так называемых специальных функций и т.п.