Определенные интегралы / Opr2
.pdfЛекция № 3.
Интеграл как функция верхнего предела
b
Если в определённом интеграле ∫ f ( x )dx зафиксировать нижний предел
|
a |
|
интегрирования, а верхний |
считать переменным, |
то интеграл будет являться |
|
x |
|
функцией верхнего предела |
Φ( x) = ∫ f (t )d t , где |
x [a ; b] . |
|
a |
|
Найдем производную этой функции.
Теорема 1 (Барроу). Если f ( x) |
непрерывная |
Φ′(x) = f (x) для всех x [a ; b] . |
|
Док-во. |
x , тогда |
Дадим переменной х приращение |
|
x |
x+Δx |
ΔΦ = Φ(x + x) −Φ(x) = ∫ f (t)d t + ∫ f (t)d t |
|
a |
x |
на отрезке , функция, то
x x+Δx
− ∫ f (t)d t = ∫ f (t)d t .
a x
По теореме о среднем получаем
|
x+Δx |
|
|
|
|
|
ΔΦ= ∫ |
f (t)dt = f (ξ)(x +Δx −x) = f (ξ) x, |
(1) |
||
где x < ξ < x + |
x |
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
Из равенства (1) следует, что функция Ф( x) непрерывная, так как |
|
||||
|
|
|
lim ΔΦ = 0. |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
С учетом этого равенства находим производную |
|
||||
|
′ |
ΔΦ |
= lim f (ξ) |
= lim f (ξ) = f ( x) , |
|
|
Φ ( x) = lim |
|
|
||
|
x→0 |
x x →0 |
ξ →x |
|
|
что следует в силу непрерывности функции f ( x) . |
|
||||
Теорема (формула Ньютона– Лейбница). |
Если f ( x) непрерывна на отрезке |
||||
, , а F ( x) – |
её первообразная, то |
|
|
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a
Док-во. С учетом теоремы Барроу функция
являться первообразной по определению и тогда из следует
|
(2) |
x |
|
Φ ( x ) = ∫ |
f (t ) d t будет |
a |
|
теоремы о |
первообразных |
x
∫ f (t ) d t = F ( x ) + C .
a
Полагая в этом равенстве х = а, получим C = −F(a) .
|
x |
|
|
|
|
|||
Тогда имеем |
∫ f (t)dt = F ( x) − F (a) . |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|||
Полагая x = b , |
получаем формулу Ньютона – |
Лейбница |
||||||
|
b |
|
|
|
|
|||
|
∫ f (x)dx = F (x) |
|
ba = F (b) − F (a) . |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
+ x − |
x 2 |
|
|||
Пример 1. Оценить величину интеграла |
2 |
|
dx . |
|||||
2 |
||||||||
|
|
|
−∫1 |
|
|
|
Для |
подынтегральной |
функции |
f ( x) найдем наименьшее и наибольшее |
||||||||||||||||||||||||||
значения. |
Приравнивая ее производную нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 + x − |
|
|
|
=1− x = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
находим |
стационарную |
точку |
x =1 [−1; 2] . |
Вычисляя |
последовательно |
||||||||||||||||||||||||
f (−1) =0,5; |
f (1) = 2,5; f (2) = 2, находим наименьшее |
т = 0,5 и наибольшее |
|||||||||||||||||||||||||||
значения |
М = 2,5 подынтегральной |
|
функции |
f ( x) |
на |
отрезке |
интегрирования |
||||||||||||||||||||||
[−1; 2]. |
|
|
|
|
|
b −a =3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда, учитывая, |
что |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1, 5 ≤ ∫ |
2 |
+ x − |
|
|
|
d x ≤ 7, 5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для проверки вычислим данный интеграл непосредственно по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||
Ньютона – Лейбница (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
8 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
+ x − |
|
dx = 2x |
+ |
|
− |
|
|
|
|
= 4 + |
− |
−2 − |
− |
= 2, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−∫1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
6 |
|
−1 |
2 6 |
|
2 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. 1, 5 < 2 < 7, 5.
Пример 2. Найти среднее интегральное значение функции |
f (x) =8x +cos x |
|
|
||||||||||||||
на отрезке |
0 ; |
π |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По теореме о среднем имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ξ) = |
|
|
∫ |
f (x)dx = |
∫ (8x +cos x)dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||
b − a |
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
(4 x2 + sin x) |
|
π |
= |
|
2 |
(π 2 +1) = 2π + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
0 |
|
π |
π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Замена переменной в определённом интеграле |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дан интеграл ∫ f ( x ) d x , |
где подынтегральная функция f ( x) |
|
|
a
непрерывна на отрезке [a ; b] . Рассмотрим |
функцию x = ϕ(t ) , которая |
имеет |
|
непрерывную производную на |
[t1 ; t2 ] и ϕ (t1 ) = a ; ϕ (t2 ) = b . |
|
|
Тогда имеет место формула замены переменной в определённом интеграле |
|||
b |
t2 |
′ |
|
|
|
(3) |
|
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)d t . |
|||
a |
t1 |
b |
|
|
|
|
|
Докажем эту формулу: с одной стороны |
∫ f (x)dx = F (b) − F (a) , |
|
a
а, с другой стороны, получаем тот же результат
t 2 |
f (ϕ(t))ϕ′(t)d t = F (ϕ(t) ) |
|
t 2 = F (ϕ(t2 ) )− F (ϕ(t1 )) = F (b) − F (a) . |
||||||||
∫ |
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|||||
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 3. Вычислить |
|
∫ x 2 1 − x 2 dx . |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сделаем замену x = sin t . |
||||||||||
|
Тогда для нижнего |
предела интегрирования a = 0 получаем t1 = 0 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для верхнего предела интегрирования b = |
2 |
t2 |
= π . |
|||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
||||
|
∫ x2 1- x2 dx = ∫sin2 t ×cos t ×cos tdt = |
∫sin2 2tdt = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin 4t |
|
4 |
|
||||||||
= |
|
∫0 |
(1- cos 4t)d t = |
|
t - |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
4 |
|
0 |
|
32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Как видим, при вычислении определённого интеграла формуле (3) нет необходимости возвращаться к “ старой“ переменной.
а
по
Замечание 2. Аналогично, как и для неопределённого интеграла, часто более удобно использовать замену t =ψ ( x) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
(e2 x −ex )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 4. Вычислить |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1+e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln2 |
|
2x |
|
|
x |
|
|
ln2 |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
(e |
−e )dx = |
∫ |
e (e |
|
−1)dx = t |
=e |
x: 0 ; ln 2 = |
∫ |
(t −1)dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
1+e |
|
|
0 |
|
|
|
1+e |
|
|
dt |
=e dx t: 1 ; 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= ∫ |
|
tdt |
|
|
− ∫ |
|
dt |
|
|
= |
|
u = t +1 |
|
t : |
|
1 ; 2 = 1 ∫ du |
|
−ln (t + |
1+t 2 ) = |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = 2tdt |
|
u : |
2 ; 5 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
1+t 2 |
1 |
|
|
1+t 2 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
= u
2
− ln(2 + |
|
|
|
|
|
− |
|
− ln |
2 + |
|
5 |
|
|
. |
|
5) + ln(1+ |
2) = |
5 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
1+ |
2 |
|
|
|
Определённый интеграл от четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования
Рассмотрим свойства определённого интеграла от четных и нечетных функций
в симметричных пределах интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Если |
f ( x) |
− четная функция, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−a |
−a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = −t |
x : −a ; 0 |
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (замена в первом интеграле) = |
= −dt |
= − ∫ f (−t)dt + ∫ f (x)dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
d x |
t : a ; 0 |
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|||
= (далее по определению четной функции) = ∫ f (t)dt + ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx. |
|||||||||||||||||
|
f ( x) |
− нечетная функция, то |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
o |
|
|
|||
2. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−a |
−a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = −t |
x : −a ; 0 |
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (замена в первом интеграле) = |
= −dt |
= − ∫ f (−t)dt + ∫ f (x)dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
d x |
t : a ; 0 |
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
= (далее по определению нечетной функции) = − ∫ f (t)dt + ∫ f ( x)dx = 0. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Вычислить |
∫ sin 2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f ( x) = sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку подынтегральная функция |
четная, |
то имеем |
|
||||||||||||||
π |
π |
− cos 2 x |
π |
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
π . |
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
sin 2 x |
|
2 |
|
|
||||
∫ sin 2 xdx = 2 ∫ |
dx = ∫ dx − ∫ cos 2xdx = x |
|
0 |
2 |
− |
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
−π |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Вычислить |
∫ x 2 sin 3 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f (x) = x2sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку подынтегральная функция |
является нечетной, то |
||||||||||||||||
данный интеграл равен 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрирование по частям в определённом интеграле |
|
|
|||||||||||||||
Если соответствующие интегралы существуют, то, проинтегрировав от |
а до |
||||||||||||||||
b формулу дифференциала произведения двух функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
d (uv ) = vdu + udv, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим формулу интегрирования по частям
b |
|
|
|
b |
|
∫ u d v = u v |
|
b |
− ∫ v d u . |
(4) |
|
|
|||||
|
a |
||||
|
|||||
a |
|
|
|
a |
|
Замечание 3. Выражения для и |
и dv выбираются из таких |
соображений, |
чтобы интеграл в правой части формулы (4) был известен или подлежал дальнейшим упрощениям.
e |
|
|
|
|
u = ln x |
dv = x2 dx |
|
1 |
|
|
|
e |
1 e |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
||||||
Пример 6. ∫ x |
|
ln xdx = |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x3 |
|
= |
|
|
x |
|
ln x |
− |
|
∫ x |
|
dx = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
du = |
|
|
|
|
v = |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
3 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
e3 |
− |
x3 |
|
e |
= |
e3 |
− |
e3 |
+ |
1 |
= |
2e3 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
9 |
|
1 |
3 |
9 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
9 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так же, как и для неопределённого интеграла, |
формулу интегрирования по |
частям можно применять неоднократно. Пример 6.
π |
|
|
|
u = x |
|
dv = sin xdx |
|
|
|
|
π |
π |
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
∫ x |
2 |
sin xdx |
|
= −x |
2 |
cos x |
|
0 |
+ 2∫ x cos |
|||||||
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
du = 2xdx |
v = − cos x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
0 |
|
|
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u = x |
dv = cos xdx |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
= 2 x sin x |
|
02 − 2∫ sin xdx =π + 2 cos x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
du = dx |
|
v = sin x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
xdx =
π
02 = π − 2.