Лаб7_отчёт
.doc
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра ИС
отчет
по лабораторной работе №7
по дисциплине «Конструирование программ»
Тема: Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
Студент гр. 9373 |
|
Заболотников М.Е. |
Преподаватель |
|
Копыльцов А.В. |
Санкт-Петербург
2021
Цель работы.
Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутты по решению СНАУ и решить заданное дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и Рунге – Кутты четвертого порядка на отрезке с шагом .
Основные теоретические положения.
Методы Рунге - Кутты обладают следующими отличительными свойствами:
1) являются одношаговыми: чтобы найти нужна информация только о предыдущей точке ;
2) согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где степень различна для различных методов и называется порядком метода;
3) не требуют вычисления производных от , а только вычисления функции.
Именно благодаря третьему свойству методы Рунге - Кутты более известны, нежели ряд Тейлора. Однако для вычисления одной последующей точки решения приходится вычислять несколько раз при различных значениях
В ыведем сначала некоторые формулы на основе геометрических аналогий.
Пусть известна точка на искомой кривой. Через эту точку можно провести прямую с тангенсом угла наклона Тогда следующей можно считать точку, где прямая пересечет ординату, проведенную через точку Уравнение прямой имеет вид но так как , то (7.4.1)
Формула (7.4.1) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Формула (7.4.1) может быть получена из (7.2.2), если принять . Так как здесь функция не зависит от , то метод является явным.
Ошибка интегрирования при показана на рисунке в виде отрезка . Очевидно, что найденное таким образом приближенное решение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка , так что ошибка равна
Теорема 7.2. Пусть функция удовлетворяет условию Тогда справедливо неравенство
(7.4.2)
то есть метод Эйлера устойчив на конечном отрезке. Здесь - погрешность аппроксимации дискретного уравнения (7.2.1) на решении .
Метод Эйлера, реализуемый формулой (7.4.1), можно усовершенствовать множеством различных способов. Рассмотрим две модификации: а) исправленный метод Эйлера и б) модифицированный метод Эйлера.
а). В исправленном методе Эйлера находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек и . Геометрически процесс нахождения точки можно проследить по левому рисунку на следующей странице. С помощью метода Эйлера находится точка , лежащая на прямой . В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая . Усреднение двух тангенсов дает прямую . Наконец, через точку проводим прямую , параллельную . Точка, в которой прямая пересечется с ординатой и будет искомой точкой .
а) б)
Тангенс угла наклона прямой равен:
(7.4.3)
Уравнение при этом записывается в виде Таким образом,
. (7.4.4)
Это и есть рабочее уравнение исправленного метода Эйлера.
Выясним, как хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора. Для этого запишем разложение в ряд Тейлора для функции двух переменных в окрестности точки : Если положить здесь то получим
Подставляя этот результат в (7.4.3) и производя необходимые преобразования, будем иметь что совпадает с (7.3.2) вплоть до членов степени h2. Таким образом, исправленный метод Эйлера является методом Рунге - Кутты второго порядка.
б). Если в рассмотренном методе усреднялись наклоны касательных, то в модифицированном методе Эйлера усредняются точки (смотрите рисунок справа). Первоначальное построение сделано точно так же, как и в предыдущем случае - через точку проведена прямая с тангенсом угла наклона, равным . Затем взята точка на пересечении этой прямой и ординаты Угол наклона касательной в этой точке
(7.4.5)
Проведем через точку прямую , параллельную . Пересечение этой прямой с ординатой и даст искомую точку . Так как уравнение прямой можно записать в виде , то
(7.4.6)
Формула (7.4.6) описывает модифицированный метод Эйлера.
В литературе исправленный метод Эйлера называют иногда методом Эйлера - Коши, а модифицированный метод - усовершенствованным. Как и в предыдущем случае, можно легко показать, что модифицированный метод является методом Рунге - Кутты второго порядка.
Оба рассмотренных метода описываются формулами вида , причем в обоих случаях функция имеет вид
(7.4.7)
Для исправленного метода Эйлера а для модифицированного
Методы Рунге - Кутты третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Общая идея вывода формулы метода Рунге - Кутты любого заданного порядка состоит в следующем.
Пусть - решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию Проинтегрируем уравнение по от до , получим По формуле Ньютона - Лейбница
Тогда (7.4.8)
Если бы интеграл в формуле (7.4.8) вычислялся точно, то она была бы основной рабочей формулой всех методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. В действительности используют приближенную формулу, заменяя интеграл квадратурной суммой.
Введем на отрезке вспомогательных узлов , ,..., , где Тогда интеграл в уравнении (7.4.8) можно заменить квадратурной суммой с узлами то есть
(7.4.9)
Здесь неизвестны значения Применяя формулу (7.4.8), получим
Заменим для каждого входящий в эту формулу интеграл соответствующей ему квадратурной суммой с узлами :
(7.4.10)
Формулы (7.4.10) позволяют последовательно вычислять приближения к значениям Пусть Тогда формулу (7.4.8) можно переписать в виде
(7.4.11)
Если исключить отсюда величины , получим
(7.4.12)
Выбор конкретных значений параметров осуществляется по-разному и дает ту или иную модификацию методов Рунге - Кутты. Приведем рабочие формулы метода четвертого порядка. Он применяется настолько широко, что в литературе называется просто «методом Рунге - Кутты» без всяких указаний на тип или порядок. Этот классический метод Рунге - Кутты описывается системой следующих шести уравнений:
(7.4.13)
Ошибка метода при его использовании функцию необходимо вычислять дважды.
Экспериментальные результаты.
Экспериментальные данные были взяты из методических указаний и представлены на рисунке 1:
Рис. 1.
Обработка результатов эксперимента.
Для обработки экспериментальных данных была написана программа, которая решает заданное дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и Рунге – Кутты четвертого порядка на отрезке с шагом . Результат работы программы представлен на рисунке 2:
Рис. 2. Результат работы программы.
Выводы.
В ходе работы были изучены методы Эйлера и Рунге-Кутты по решению дифференциальных уравнений и написана программа, которая реализует эти два метода и решает поставленную задачу.
Леонард Эйлер (1707-1783) - швейцарский математик. Долгое время жил и работал в России.
Огюст Луи Коши (1789-1857.) - французский математик.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716.) - немецкий математик, создатель дифференциального исчисления.