Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений. Содержание лабораторной работы
Метрология — учение о мерах. Это наука об измерениях, приводимых к эталонам. Каждое измерение может осуществляться лишь с помощью технических средств, имеющих необходимую точность. Эта точность может быть обеспечена путем их поверки, то есть сравнения с более точными измерительными средствами с целью определения погрешностей.
Цель любого исследования — установление связи между различными явлениями и параметрами. Количественная зависимость между исследуемыми величинами получается в результате измерений.
Измерение — это нахождение значения физической величины опытным путем, техническими средствами. Выбор единиц диктуется практическими соображениями, однако основой является Международная система единиц (СИ), поэтому окончательный результат измерений следует по возможности выражать в единицах СИ.
Физическая величина — это количественное значение параметров оцениваемых физико-химических процессов, происходящих в любых реальных объектах. Это понятие может быть обобщенным (например, масса, длина, скорость и т.п.), и может быть конкретным (частота пульса, скорость кровотока, длина руки и т.д.).
Технические средства, или просто средства измерения, — это в общем измерительные приборы, в которых измеренная информация представляется в доступной для восприятия форме (например, в виде цифр).
Измерения по способу получения результата бывают прямые и косвенные.
Прямые измерения заключаются в том, что искомое значение величины находят из опытных данных путем экспериментального сравнения. Например, температуру тела измеряют термометром, длину — линейкой.
Уравнение прямого измерения:
,
где с — цена деления; х — число делений.
Косвенные измерения заключаются в том, что искомое значение величины находят на основании известной зависимости (формулы) между этой величиной и величинами, найденными прямыми измерениями. Например, объем шара: , сопротивление: .
Уравнение косвенного измерения:
,
где — результат прямого измерения.
Значение физической величины, полученное при измерении, отличается от истинного. Точность измерений характеризуется погрешностью — отклонением результата измерений от истинного значения искомой величины. Чем меньше погрешность, тем выше точность.
Погрешность измерения — это отклонение результата измерения х от истинного (действительного) хи значения измеряемой величины:
.
На точность измерения влияет большое количество факторов, поэтому оценка погрешности очень важна для обеспечения единства измерений. Классификация погрешностей измерений очень обширна.
Для практических целей достаточно рассмотреть систематические и случайные составляющие общей погрешности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых и косвенных измерениях.
Абсолютная погрешность измерения ∆ — это разность между результатом измерения х и фактическим значением хф измеряемой величины:
.
Она выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина.
Относительная погрешность измерения δ — это отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величине х или к ее фактическому значению хф. Выражается в процентах:
.
Погрешности прямых измерений
Различают четыре типа погрешностей измерений:
грубые (промахи);
систематические;
инструментальные;
случайные.
Грубыми погрешностями, или промахами, называют погрешности измерения, которые значительно отличаются от ожидаемых при данных условиях. Такие погрешности возникают по вине экспериментатора или под влиянием внешних причин, не имеющих отношения к эксперименту. Грубые ошибки могут быть установлены интуитивно, т.к. результаты измерения в этих случаях резко отличаются от остальных. Иногда для их исключения проводятся измерения в других условиях или в другое время. В любом случае грубые промахи должны быть исключены.
Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же прибором. Такие погрешности определяются неточностью методики эксперимента, неисправностью прибора или отсутствием учета некоторых факторов, влияющих на точность измерения. Погрешности метода могут заключаться в неточности формул, по которым рассчитываются физические величины. Такие погрешности можно уменьшить введением поправочных коэффициентов к расчетным формулам.
Инструментальные погрешности, или погрешности измерительных приборов, возникают из-за неисправности или недостаточной точности средства измерения. Для их устранения необходимо использовать измерительные средства, прошедшие метрологическую поверку и имеющие соответствующий класс точности. Например, если цена деления амперметра 1 мА, то абсолютная ошибка прибора Δ = 0,5 мА и измерять изменения силы тока в пределах 0,5 0,05 мА таким прибором нельзя.
Случайные погрешности возникают под воздействием факторов, влияние которых учесть нельзя. Под воздействием неучтенных факторов результаты измерения могут отличаться. К числу таких факторов могут относиться как внешние воздействия (температура, давления, электрические и магнитные поля, звуковые явления и т.п.), так и внутренние, обусловленные состоянием организма человека. Однако, при повторных измерениях, проводимых в одинаковых условиях, возможно выявить характерную закономерность результатов. Для этого применяются методы теории вероятностей и математической статистики, позволяющие установить наиболее вероятное значение измеряемой величины и оценить погрешность измерения.
При прямых измерениях существуют два способа оценки случайных погрешностей:
упрощенное определение — это очень упрощенный метод обработки результатов малого числа измерений;
оценка измеряемой величины при помощи доверительного интервала.
Рассмотрим упрощенное определение случайных погрешностей при прямых измерениях.
Прямые измерения — это измерения, непосредственно определяющие физическую величину при помощи прибора.
Пусть проведено n измерений величины х и получено n значений: x1, x2, …, xn.
1) Вычислить среднюю арифметическую .
.
2) Вычислить абсолютную погрешности результатов отдельных наблюдений.
, где i = 1, 2, …, n.
, , … , .
3) Найти среднюю абсолютную погрешности опыта.
4) Вычислить относительную погрешность δ эксперимента, так как средняя абсолютная погрешность не характеризует точности измерения.
.
Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины. Это очень упрощенный метод обработки результатов малого числа измерений, который в научных исследованиях не применяется.
Рассмотрим оценку измеряемой величины при помощи доверительного интервала при прямых измерениях. Она проводится следующим образом:
Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики: закон распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал и доверительная вероятность.
Доверительный интервал — это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится искомая величина.
, где — случайная погрешность. .
Алгоритм оценки доверительного интервала
Пусть проделано n измерений некоторой величины X. В результате получен ряд значений этой величины: x1, x2, …, xn.
Вычислить среднее арифметическое значение измеряемой величины:
.
Вычислить среднюю квадратическую погрешность (стандарт) по формуле: до одной значащей цифры.
Задать уровень доверительной вероятности. Обычно Р ≥ 0,95.
По табл. 1.1 найти tn,p — нормированный показатель распределения Стьюдента: tn,p.
Таблица 1.1
Значения нормированного показателя распределения Стьюдента
n — объем выборки |
Р ≥ 0,9 |
Р ≥ 0,95 |
Р ≥ 0,99 |
2 |
4 |
13 |
64 |
3 |
3 |
4,6 |
10 |
4 |
2,3 |
3,2 |
5,8 |
5 |
2,1 |
2,8 |
4,6 |
6 |
2,0 |
2,6 |
4,0 |
8 |
1,9 |
2,3 |
3,5 |
10 |
1,8 |
2,2 |
3,2 |
20 |
1,8 |
2,1 |
2,8 |
30 |
1,7 |
2,0 |
2,7 |
50 |
1,6 |
1,9 |
2,6 |
Вычислить случайную погрешность .
Рассчитать границы доверительного интервала и записать окончательный вариант (P≥0,95).
Погрешность при вычислении округляется до первой значащей цифры.
Например: =6,784 ≈7; =0,784 ≈ 0,8; =0,084 ≈0,08