Литература и лекции / КомплексныеЧисла

Замечания Напомним, что в определении вещественных функций вещественного параметра

говорится, что значение функции для каждого значения параметра единственно. Все функции, с которыми нам приходилось иметь дело до сей поры, были одно-

значными.

 ÒÔÊÏ иногда используются многозначные функции. Каждому значению своего параметра они могут ставить в соответствие несколько или даже бесконечно много разных значений функции.

Определение

Корень квадратный из комплексного числа z = a + b ¢ { åñòü множество

âñåõ комплексных чисел u = c + d ¢ { таких, что u2 = z : Обозначение: pz :

Пусть n 2 N;	n > 2 : Корень степени n из комплексного числа
z = a + b ¢ { åñòü множество всех комплексных чисел u = c + d ¢ { таких,
÷òî un = z :
Обозначение:	n
	pz :
Замечание			n
Согласно определению из школьной программы, p0 = 0 (n 2 N; n ¸ 2). Такое

определение сохраняет силу и для корня из комплексного нуля. Корень натуральной степени из нуля единственен.

Замечание Попытаемся найти корень квадратный из комплексного числа непосредственно

по определению.

u = c + d ¢ { () u2 = (c2 ¡ d2) + { ¢ 2cd = a + { ¢ b = z ()

11

½	2cd = b	¯
	c2 ¡ d2 = a	¯	:	(11)
		¯
		¯

Ïðè b =6 0 система (11) решается методами, изученными в средней школе.

стема имеет два решения:

b

¢p2

¯

¡

8

¡

>

p

a2

+ b2

+ a

p

a2 + b2

¡ a

¯;

¢

;

2

+ b

2

a

¯

d2

= d1

>

pa

½

¯

>

c1

=

p

¯

c2

= c1

<d1 =

p2

¡

¡

¯

p

¯

¯

>

¯

¯

¯

>

¯

>

следовательно:

p

¯

a + { ¢ b = fc1 + { ¢ d1 ; ¡c1 ¡ { ¢ d1g :

Ñè-

(12)

Случай b = 0 достаточно прост, самостоятельное разбирательство с ним предоставляется слушателям.

Замечание

Поиск корня степени n (ãäå n > 2) из комплексного числа непосредственно по определению свед¼тся к решению некоего алгебраического уравнения степени n : Занятие не для слабонервных.

Теорема о корне из комплексного числа

Пусть n 2 N; n ¸ 2 ;

z 2 C;

z 6= 0 :

Тогда

n

arg z

n

pz = n pjzj ¢ exp

³{ ¢

´;

n

n jzj ¢ exp µ{ ¢ arg zn+ 2¼¶;

p

n

jzj ¢ exp µ{ ¢ arg zn+ 4¼¶;

: : : ;

p

arg z + 2(n

1)¼

n

jzj ¢ exp µ{ ¢

¡

¶

o

;

(13)

n

p

12

или, что то же самое,

pz = n pjzj ¢ ³cos n

+ { ¢ sin

n

´

;

n

n

arg z

arg z

n jzj ¢ µcos arg zn+ 2¼ + { ¢ sin arg zn+ 2¼¶;

p

n

jzj ¢ µcos arg zn+ 4¼

+ { ¢ sin arg zn+ 4¼¶; : : : ;

p

n

jzj ¢ µcos arg

+ n

¡

+ { ¢ sin

n

¡

¶

;

(14)

p

z

2(n

1)¼

arg z + 2(n

1)¼

o

или ещ¼ один, более компактный вариант,

						arg z + 2k¼		arg z + 2k¼
n		n
pz = n pjzj ¢					³cos		+ { ¢ sin		´ok=0; 1; 2; ::: ; n¡1 : (15)
						n		n

Без доказательства.

Замечание Доказательство теоремы сводится к проверке того, что каждый элемент списка в

(14), будучи возвед¼н в степень n ; даст число z ; а также того, что элементы данного

списка отличны друг от друга.

Уравнение un = z в определении корня есть алгебраическое уравнение степени n ; которое имеет, согласно основной теореме алгебры, n корней. Следовательно, список в (14) должен содержать именно n элементов.

Замечание p

Величина n jzj есть обычный арифметический корень из вещественного поло-

жительного числа.

Применять формулы (13) (15) гораздо удобнее, чем вычислять корни по опре-

p

делению (как это сделано в (11) (12)). Формулы (13) (15) показывают, что n z это не одно число, а набор из n комплексных чисел. Элементы набора нумеруются так: ветвь номер 0, ветвь номер 1, ветвь номер 2, : : : ; ветвь номер (n ¡ 1) :

13

Пояснения по поводу слова "Ветвь" даются с помощью Рис. 3. Части (а), (б), (в),

(г) построены для случаев n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 соответственно.

(à)	(á)	(â)	(ã)
		Ðèñ. 3

Возьм¼м произвольное отличное от нуля комплексное число z и изобразим его точкой на комплексной плоскости. Рассмотрим семейство всех комплексных чисел u таких, что u = ¸z ; ãäå ¸ вещественное число, 0 · ¸ · 1 : Очевидно, что все такие числа u лежат на радиус векторе числа z (на Рис. 3 этот отрезок показан ч¼рным

цветом).

Корень n й степени из z , согласно (14), есть множество чисел, изображаемых на Рис. 3 точками с надписями k = 0 (голубая), k = 1 (бирюзовая), k = 2 (çåë¼íàÿ),

k = 3 (красная), k = 4 (фиолетовая).

p p

Очевидно, что множество чисел n u = n ¸z (ãäå 0 · ¸ · 1) образует на

комплексной плоскости зв¼здочку, или цветочек, имеющий n лепестков (которые на

Рис. 3 показаны теми же цветами, что и их концевые точки). Эти лепестки в ÒÔÊÏ вполне логично называются ветвями. В данном случае ветви вырастают из начала координат. Само начало координат называется точкой ветвления.

Корень степени n это первая из многозначных функций в ÒÔÊÏ. Åñòü è èíûå

многозначные функции, имена которых, чаще всего, начинаются с заглавной буквы латинского алфавита. Это делается для создания отличия от одноим¼нных однознач- ных функций.

14

Определение

Arg z	def	arg z + 2k¼, ãäå k 2 Z:
	=
Ln z	def	ln z + 2k¼, ãäå k 2 Z:
	=

Замечание

Символ Z означает множество всех целых чисел (0; 1; ¡1; 2; ¡2; 3; ¡3; : : : ). У функций Arg z è Ln z бесконечно много ветвей.

Определение

uv	def	(16)
	= exp (v ¢ Ln u) = exp (v ¢ (ln u + 2k¼)) ;
u 2 C; u 6= 0 ; v 2 C; k 2 Z:
Замечание
Поскольку в определении (16) присутствует многозначная функция Ln u ;		çíà-

чение степени с комплексным основанием и комплексным показателем является, вообще говоря, неединственным.

Для случая вещественного v cправедливы следующие пять утверждений.

1. Åñëè v целое число, то âñå возможные разные значения целочисленного фактора k порождают îäíî è òî æå значение результата в правой части (16).

Это значение совпад¼т с предложенным в определении целочисленной степени комплексного числа (8) (9).

2. Åñëè v = n1 ; ãäå n 2 N; n ¸ 2 ; òî âñå возможные разные значения целочисленного k порождают только n разных значений результата в пра-

вой части (16). Множество этих значений совпад¼т со множеством элементов в списке (14), если положить z = u :

3. Åñëè v = mn ; ãäå n 2 N; n ¸ 2 ; m 2 Z; òî âñå возможные разные значения целочисленного k порождают только n разных значений результата в

правой части (16). Множество этих значений совпад¼т со множеством элементов в списке (14), если положить z = um :

15

4. Åñëè v иррациональное число, то то âñå возможные разные значения целочисленного k порождают разные значения результата в правой части (16). Выражение uv в этом случае не есть одно число, и не есть набор из конечного

количества элементов, а есть набор, содержащий бесконечно много совершенно разных чисел.

5. Åñëè w любое из чисел, полученных с применением формулы (16),

p

òî jwj = n juj :

Определение

Пусть:

f(z) комплекснозначная функция комплексного переменного, z0 комплексное число,

g(z) = (z ¡ z0) ¢ f(z) ;

f(z0) íå существует, g(z0) существует,

g(z0) =6 0 :

Тогда принято говорить,

÷òî f(z) имеет простой полюс в точке z0 ;

è ÷òî вычет функции f(z) в точке z0 равен g(z0) :

Обозначение: res f(z) = g(z0) :

z=z0

Примеры

Функция

è z = ¡{ :

Функция

k 2 Z:

1	=	1			z = {
z2 + 1		(z ¡ {)(z ¡ (¡{)) имеет два простых полюса в точках

1

sin z имеет бесконечно много простых полюсов в точках z = ¼k ; ãäå

Определение

Верхней полуплоскостью комплексной переменной z называется множество

16

чисел z таких, что Im z > 0.

Задача 1 Вычислить выражение

2¼{	res		1	;
	¢ImXzj>0 z=zj	z2	+ 1

то есть, найти сумму вычетов функции f(z) = 1=(z2 + 1) по всем полюсам, располо-

женным в верхней полуплоскости комплексной переменной z ;

и умножить результат

íà 2¼{ :

Решение

= +p

Уравнение

z2 + 1 = 0,

z2 = ¡1, имеет только два корня: z1

= +{,

¡1

z2 = ¡p

= ¡{. Второй корень следует отбросить, поскольку

Im z2 < 0.

¡1

z=z1 z2 + 1

z={ z2 + 1

µ

¡ ¢ z2 + 1¶¯z={

µ(z

¡

{)(z + {)

¶¯z={

res

1

= res

1

=

(z

{)

1

¯

=

¯

=

¯

¯

1

¶¯z={

1

1

{

{¯

{

{

¯

=

µ

=

=

2

¢

{

=

=

= ¡

;

z + {

2

¢

{

¢

{

¢

2

¢

{2

2

¢

( 1)

2

¢ z=z1

¯

= ¡

¡

=

z2 + 1

= 2 ¢

³¡2

´ = ¡

2

¢2¡

1¯

{

2¼{2

2¼

(

1)

2¼{

res

¯

¼{

¼ :

Задача 2

Вычислить выражение

2¼{

res

1

;

¢ImXzj>0 z=zj z4 + 1

то есть, найти сумму вычетов функции f(z) = 1=(z4 + 1) по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной z ; и умножить результат

íà 2¼{ :

Решение

Для решения уравнения четв¼ртой степени z4 + 1 = 0 ; z4 =¡1 ; нужно постро-

17

ить полный список (14) корней четв¼ртой степенм из числа (¡1) = 1¢(cos ¼ +{¢sin ¼) :

Этот список

np4

1 ¢ ³cos

4 + { ¢ sin 4

´;

p4 1 ¢ µcos 34

+ { ¢ sin 34

¶;

¼

¼

¼

¼

p4 1 ¢ µcos 54

+ { ¢ sin

54

¶;

p4 1 ¢

µcos 74

+ { ¢ sin 74

¶o

=

¼

n p2

¼

¼

o

¼

¡p2

¡p2

p2

=

1 + {

;

1 + {

;

1 ¡ {

;

1 ¡ {

составлен из элементов

z

=

1 + {

;

z

=

¡1 + {

;

z

=

¡1 ¡ {

; z

=

1 ¡ {

:

1

p2

2

p2

3

p2

4

p2

В верхней полуплоскости комплексной переменной лежат только первые два элемента;

Im z3 < 0 ; Im z4 < 0 :

1. Найд¼м вычет в точке z1 : Согласно основной теореме алгебры,

f(z) =

1

=

1

;

z4 + 1

(z ¡ z1) (z ¡ z2) (z ¡ z3) (z ¡ z4)

g1(z) = (z ¡ z1) ¢ f(z) =

1

;

(z ¡ z2) (z ¡ z3) (z ¡ z4)

res

1

= g1(z1) =

1

:

+ 1

(z1 ¡ z2) (z1 ¡ z3) (z1 ¡ z4)

z=z1 z4

2. Найд¼м вычет в точке z2 :

1

g2(z) = (z ¡ z2) ¢ f(z) = (z ¡ z1) (z ¡ z3) (z ¡ z4) ;

	res		1		= g2	(z2) =	1		:
		z4	+ 1				(z2 ¡ z1) (z2 ¡ z3) (z2 ¡ z4)
	z=z2

Вычислить требуется выражение

j=2
Xj	1
2¼{ ¢ res	z4 + 1	= 2¼{ ¢ (g1(z1) + g2(z2)) =
=1 z=zj

18

= 2¼{ ¢

µ

1

+

1

¶

:

(17)

(z1

¡

z2) (z1

¡

z3) (z1

¡

z4)

(z2

¡

z1) (z2

¡

z3) (z2

¡

z4)

Выражение (17) можно вычислить вручную, но делать это было бы неприятно и долго. Разумнее обратиться к сайту http://www.wolframalpha.com с командой

2 ¤ pi ¤ i ¤ (1=(z1 ¡ z2)=(z1 ¡ z3)=(z1 ¡ z4) + 1=(z2 ¡ z1)=(z2 ¡ z3)=(z2 ¡ z4));

s2 = Sqrt[2]; z1 = (1 + i)=s2; z2 = (¡1 + i)=s2; z3 = (¡1 ¡ i)=s2; z4 = (1 ¡ i)=s2

(18)

Разумеется, текст команды должен быть вмещ¼н в одну оранжевую рамку, второй рамки у wolframalpha.com нет. Результат исполнения команды:

Рис. 4 На Рис. 4 показан ответ сайта: ¼=p2 :

Ввиду большой длины команды (18) îíà â оранжевой рамке не вся видна, но вся

воспринимается и исполняется.

Выражение, которое требуется вычислить, показано в тексте команды (18) фиолетовым цветом. Подставлять в это выражение вручную численные значения z1 ; z2 ;

z3 ; z4 значило бы сделать выражение очень громоздким, а слишком громоздкие вы-

19

ражения сайт отказывается воспринимать. Для уменьшения длины команды, в ней,

после вычисляемого выражения, через запятую, показаны значения параметров z1 ; z2 ; z3 ; z4 : Чтобы число p2 не указывать четыре раза, ему дано обозначение s2 ; à

значение параметра s2 показано первым.

Интересно (скорее, печально) отметить, что сайт http://www.wolframalpha.com способен "капризничать". Казалось бы, если в тексте команды (18) во всех пяти местах

s2 заменить на s ; команда, став короче, должна сохранить смысл. Однако, после

такой замены сайт отказывается исполнить команду.

Интересно (скорее, приятно)pîòìетить, что сайт http://www.wolframalpha.com воспринимает pi êàê ¼ ; à i êàê ¡1 :

20