Литература и лекции / МатАнализ20171205

Лемма 1 (Лемма Бернулли, Неравенство Бернулли)

(1 + x)n ¸ 1 + nx ; 8n 2 N; 8x > ¡1 :

Доказательство строится методом математической индукции 1. База индукции. n = 1 . Неравенство принимает вид

1 + x ¸ 1 + x ;

который не вызывает сомнений.

2. Индуктивное предположение. Предположим, что мы уже доказали справедливость неравенства при n = k , то есть, что мы уже имеем верное неравенство

(1 + x)k ¸ 1 + kx :

(9)

3. Индуктивный переход. Докажем, что из неравенства (9) вытекает справедливость

неравенства (1 + x)k+1 ¸ 1 + (k + 1)x : (10)

Строим цепь очевидных равенств и обоснованных неравенств:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k ¢ (1 + x) ¸ (1 + kx) ¢ (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ¸ 1 + (k + 1)x :

¸

|{z}

Неравенство |

{z

}

¸0

(1+kx)

(10)

доказано. Теорема, таким образом, тоже доказана.

Лемма 2

¶; монотонно возрастает.

Последовательность fangn2N , ãäå an = µ1 + n

1

n

Доказательство

ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

Можно было бы доказать, что an+1 ¸ an

доказывать неравенство am ¸ am¡1

ïðè m ¸ 2 ; ãäå m = n ¡ 1 :

Построим цепь равносильных неравенств:

()

µ

m

¶

¸ µm ¡ 1

¶

()

am ¸ am¡1 ()

µ1 + m¶ ¸

µ1 + m ¡ 1¶

1

m

1

m¡1

m + 1 m

m

m¡1

() µ

¶ ¸

¶ ()

m

µm ¡ 1

¶ µm ¡ 1¶

() µ

m

¶ µ

m

¶ ¸

µ

m

m + 1

m

m

m

m

¡1

m + 1

m

m ¡ 1 m

m ¡ 1

11

() µ

m

¢

m

¶ ¸

m

()

µ

m2

¶ ¸

m

()

m + 1

m ¡ 1

m

m ¡ 1

m2

¡ 1

m

m ¡ 1

m

1

1

() µ1 ¡

¶ ¸ 1 ¡

:

(11)

m2

m

Последнее из равносильных неравенств в (11) справедливо в силу Леммы Бер

1

1

нулли при x = ¡

: Заметим, что ¡

> ¡1 ; поскольку m ¸ 2 .

m2

m2

Лемма доказана.

Лемма 3

ãäå bn

= µ1 + n¶ ; монотонно убывает.

Последовательность fbngn2N ;

1

n+1

Доказательство

Можно было бы доказать, что bn+1 · bn ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

доказывать неравенство bm · bm¡1 ; èëè bm¡1 ¸ bm ; ïðè m ¸ 2 ; ãäå m = n ¡ 1 :

Построим цепь равносильных неравенств:

() µm 1

¶ ¸

µ

m

¶

()

bm¡1 ¸ bm ()

µ1 + m 1 1¶

¸

µ1 + m

¶

m

1

m+1

m

m

m + 1

m+1

()

µm ¡ 1¶

¸ µ

¡

µm ¡ 1¶

()

µm ¡ 1

¶

¡

µm + 1¶ ¸ m ¡ 1 ()

m

¶

m

m+1

m + 1

m+1

m

m

m+1

m

m+1

m

()

µm 1

¢ m + 1¶

¸ m 1

() µm2

1¶

¸ mm 1 ()

m

m

m+1

m

m2

m+1

¡

() µ1 +

¡

¶m+1¸ 1 +

¡

¡

1

1

:

(12)

m2

1

m

1

¡

¡

Неравенство (12) справедливо в силу леммы Бернулли при

m + 1 = n è ïðè

x =

1

> 0 > ¡1 :

m2

¡ 1

1

(m + 1)

1

|{z}

1

m+1

¸4

µ1 +

¶

¸ 1 + (m + 1) ¢

= 1 +

= 1 +

:

(13)

m2 ¡ 1

m2 ¡ 1

(m ¡ 1)(m + 1)

m ¡ 1

Лемма доказана.

12

Теорема

о втором замечательном пределе (для последовательностей)

Существует и конечен предел

lim

1

n

µ1 + n¶ .

n!+1

n

1

Имеет место грубая оценка:

lim

¶ ·

4 .

Доказательство

2 · n!+1 µ1 + n

1

n

Последовательность fangn2N, ãäå

an = µ1 +

¶;

монотонно возрастает (по

n

Лемме 2) =) an > a1 = 2, 8n > 1.

1

n+1

Последовательность fbngn2N, ãäå

bn = µ1 +

¶

; монотонно убывает (по

n

Лемме 3) =) bn < b1 = 4, 8n > 1.

Справедливо неравенство (8n 2 N)

n+1

1

n

1

1

1

an < bn () µ1 +

¶ < µ1 +

¶

() 1 < 1 +

() 0 <

:

n

n

n

n

Таким образом, an < bn · b1 = 4,

òî åñòü

an < 4.

Только что показано, что последовательность fangn2N ограничена сверху, по

Лемме 2 последовательность монотонно возрастает, следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел.

Этот предел принято называть вторым замечательным пределом, и обозначать

n!+1	µ	n		¶
его буквой :				n
e			1
lim	1 +			= e :

Поскольку 2 < an < 4, 8n > 1, по теореме о предельном переходе в неравенствах

2 · e = lim an · 4 :

n!+1

Теорема доказана.

Теорема о двух полицейских (для последовательностей)

Пусть даны три последовательности fangn2N ; fbngn2N ; fcngn2N ; элементы которых 8n 2 N связаны соотношениями

an · bn · cn :

(14)

13

Пусть существуют, конечны и равны пределы	lim an =	lim	cn = A .
	n!+1	n!+1
Тогда существует и конечен предел lim bn ,	ïðè÷¼ì,	lim	bn = A .
n!+1	n!+1

Доказательство Зададим произвольное " > 0 .

lim an = A ; а это значит, что существует N1(") > 0 такое, что из n > N1(")

n!+1

следует jan ¡Aj < " ; и это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству

A ¡ " < an < A + " :

(15)

lim cn = A ; а это значит, что существует N2(") > 0 такое, что из n > N2(")

n!+1

следует jcn ¡Aj < " ; и это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству

A ¡ " < cn < A + " :			(16)
Èç (15) è (14) следует, что 8n > N1(")
A ¡ " < an ; an < bn		=) A ¡ " < bn :	(17)
Èç (14) è (16) следует, что 8n > N2(")
bn < cn ; cn < A + "		=) bn < A + " :	(18)
Пусть N(") = max(N1("); N2(")) . Тогда 8n > N(") будут выполнены неравен-
ñòâà (17) è (18) вместе:
A ¡ " < bn ; bn < A + " =) A ¡ " < bn < A + " =) ¡" < bn ¡ A < " =)
=) jbn ¡ Aj < " :			(19)
Выполнение неравенства (19) 8n > N(")	по определению предела означает, что
lim	bn = A :
n!+1

Теорема доказана.

Напомним, что последовательность это функция, заданная на множестве N: Множество N принято называть дискретным. Элементы множества N отделены друг от друга расстояниями, не меньшими, чем единица.

14

Противовесом дискретному множеству является Континуум, то есть сплошное множество чисел, заполняющих некоторый промежуток на вещественной оси. Кон-

тинуумом является и промежуток [0; 1] ; и любой другой сплошной промежуток на вещественной оси, и даже вся вещественная ось (множество R).

Работу с последовательностями мы пока приостанавливаем.

Далее будут рассматриваться функции, заданные на континуумах. Для краткости будем их называть просто словом "функции".

15