Литература и лекции / МатАнализ20171220

0	0	1		0	0	1
(tan x)	= (tg x) =	cos2 x	;	(cot x)	= (ctg x)	= ¡	sin2 x	:

Доказательство

x

0

lim

sin(x +

x)

sin x

=

lim

2 ¢ sin

2x

cos

x +

2x

(sin

x

¡

¢

x

¡

¢

) =

x!0

x!0

¡

sin

x

x

sin

x

0

lim

2

lim cos

x

lim

2

cos x +

¡2x

+ 2 ¶

¡2x

¢

¢

¶

=

x!0

¢ ¢ x!0

µ

= x!0

µ

2

2x = y

sin y

= · y ! 0 ¸

= lim

cos x = 1

cos x = cos x ;

y ¢

¢

y!0

=

=

¼

¼

¼

¼

(cos x)0 = ³sin ³

¡ x´´0

= cos ³

¡ x´ ¢

³

¡ x´0

= cos ³

¡ x´ ¢ (¡1) = ¡ sin x ;

2

2

2

2

(tan x)0 = (tg x)0 =

sin x

0 =

(sin x)0

¢ cos x ¡ (cos x)0

¢ sin x

=

µcos x

¶

cos2 x

=

cos x ¢ cos x ¡ (¡ sin x) ¢ sin x

=

cos2 x + sin2 x

=

1

;

cos2 x

cos2 x

cos2 x

(cot x)0 = (ctg x)0

=

tan

¼

x

0

=

1

¼

x

0 =

1

(

1) =

¡1

:

2 ¡

cos2

¼2 ¡ x

¢ ³2 ¡

sin2 x ¢

¡

sin2 x

³ ³

´´

¡

´

¢

Геометрический смысл производной

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат xOy построен график

функции y = f(x). Зафиксируем на кривой точку M0 =

(x0; f(x0)),

а также

обозначим "плавающую" точку

M1 = (x0 +

x; f(x0 +

x)),

и провед¼м прямую

(секущую) через эти две точки (Рис. 2, части (а) и (б)).

Уравнение секущей прямой имеет вид

y = f(x

) + (x

¡

x

)

¢

f(x0 + x) ¡ f(x0)

:

(44)

0

0

x

По мере стремления x к нулю и сближения точки M1

с точкой M0 прямая (44)

стремится занять некое предельное положение (Рис. 2, часть (в))

y = f(x0) + a ¢ (x ¡ x0) ;

41

ãäå a некий постоянный (при фиксированном x0) кожффициент. Ну а если это по- ложение секущей является предельным, читателя ничуть не удивит то, что

a = f0(x0) = lim	f(x0 +	x) ¡ f(x0)	;	(45)
		x
x!0

(à) (á) (â) Ðèñ. 2

по определению производной. Важно отметить, что предел в (45) и положение касательной (Рис. 2, часть (в)) не должно зависеть от того, стремится x к нулю слева

(Рис. 2, часть (а)) или справа (Рис. 2, часть (б)).

Если выражаться языком вежливых автомобилистов, значение производной функции y = f(x) в точке x0 это "крутизна подъ¼ма" при "движении" вдоль по касатель-

ной к графику функции в точке x0. Более определ¼нно, это тангенс угла (на Рис. 2, часть (в), тангенс угла ®) наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Óãîë ® подчиняется неравенству ¡¼=2 · ® · +¼=2.

Читателю предлагается самостоятельно подумать на вопросом, а что будет, если

lim			f(x0 +	x) ¡ f(x0)	=	lim		f(x0 +	x) ¡ f(x0)	:
x	!	+0		x	6	x	0		x
						!¡

42

Определение

Пусть f : X ! Y .

Функция f называется взаимно-однозначной, если 8x1 2 X, 8x2 2 X,

f(x1) = f(x2) =) x1 = x2.

Для взаимно-однозначной функции есть и другое название: биективная функция (биекция).

Примеры

1.Функция f(x) = x7 + x ¡ 1 является взаимно однозначной.

2.Функция f(x) = x2 íå является взаимно-однозначной. Действительно: f(+1) = f(¡1) = 1, íî +1 =6 ¡1.

3.Функция f(x) = sin x íå является взаимно-однозначной. Действительно: f(¼=6) = f(5¼=6) = 1=2, íî ¼=6 =6 5¼=6.

Определение

Пусть f : X ! Y , и пусть g : Y ! X.

Функция g является обратной к функции f, и функция f является

обратной к функции g, åñëè f(g(y)) = y, 8y 2 Y , è			g(f(x)) = x, 8x 2 X.
Обозначение: g(y) = f¡1(y), f(x) = g¡1(x).
Замечание
f¡1(y) = 1=f(y) .
6			cos2 x = (cos x)2 ; íî
В школьной программе допускались обозначения в стиле
даже там никогда не допускалось cos¡1 x = (cos x)¡1 =	1
	cos x .

Обозначения f¡1(y) è f(¡1)(y) (а это вовсе не одно и то же) нельзя отнести к разряду удачных. Но лучше пока не придумали.

Пример

Пусть

f(x) = ex ; f : (¡1; +1) ! (0; +1) . Тогда знакомая по школьной

43

программе функция g(y) = ln y ; g : (0; +1) ! (¡1; +1) ; является обратной по отношению к функции f(x) :

Действительно, eln x = x ; 8x 2 (¡1; +1) ; è ln(ey) = y ; 8y 2 (0; +1) .

Пример

Пусть f(x) = sin x ; f : [¡¼=2; ¼=2] ! [¡1; +1] . Тогда знакомая по школьной программе функция g(y) = arcsin y ; g : [¡1; +1] ! [¡¼=2; ¼=2] ; является обратной по отношению к функции f(x) :

Действительно, sin(arcsin y) = y ; 8y 2 [¡1; +1] ; è arcsin(sin x) = x ; 8x 2 [¡¼=2; ¼=2] .

Замечание

Åñëè f(x) = sin x ; íî f : (¡1; +1) ! [¡1; +1] ; то такая f(x) не имеет обратной функции, поскольку не является взаимно-однозначной.

Замечание

Операция замены области определения функции sin x со всей вещественной оси на более узкий промежуток [¡¼=2; +¼=2] называется сужением функции.

Пример
Пусть		f(x) = tan x = tg x ;	f : (¡¼=2; ¼=2) ! (¡1; +1).	Тогда знакомая
по школьной программе функция			g(y) = arctan y = arctg y , g : (¡1; +1) !
(¡¼=2; ¼=2) ;		является обратной по отношению к функции f(x) .		Действительно,

tan(arctan y) = y ; 8y 2 (¡1; +1) ; è arctan(tan x) = x ; 8x 2 (¡¼=2; ¼=2) .

Замечание

Åñëè f(x) = tan x, f : ((¡1; +1) n (f¼=2 § ¼ng; n 2 N)) ! (¡1; +1), òî

такая f(x) не имеет обратной функции, поскольку не является взаимно-однозначной.

Теорема о производной обратнй функции

Пусть f(x) есть функция, обратная по отношению к функции g(y).

44

Тогда	df(x)	¯				1
		¯
	dx		=	dg(y)		¯	:	(51)
		¯x=x0				¯
		¯				¯
					dy	¯
						y=f(x0)

Без доказательства.

Замечание В литературе встречаются "аналоги"формулы (51), которые выглядят так:

y0	=	1	;	dy	=	1	:	(52)
						dx
x	xy0			dx
						dy

Формулы в стиле (52) легко запоминаются (особенно, вторая из них), но по их внешнему виду не вполне понятно, как ими пользоваться на практике.

Замечание Формула производной обратной функции (51) используется тогда, когда функ-

öèÿ f(x) является аналитическим решением уравнения

x = g(y)

(53)

относительно y, но это аналитическое решение получить затруднительно либо невоз-

можно. Что касается величины f(x0), стоящей в правой части (51), то е¼ можно (и нужно) находить, как численное решение уравнения

x0 = g(y)

относительно y. В частности, пригоден метод дихотомии либо метод хорд.

Пример

Функция y = f(x) есть решение уравнения

относительно y : Найти	dx	¯x=2,	y7 + y ¡ x = 0		(54)
			а также dx		¯x=3.
	df(x)	¯		df(x)	¯
		¯			¯
		¯			¯

45

Решение

ßñíî, ÷òî g(y) = y7 + y : Подставляем x = 2 â (54).	Получаем:
y7 + y ¡ 2 = 0 :	(55)

Из школьной математики известно: если алгебраическое уравнение с целочисленными коэффициентами имеет целочисленные корни, то искать их нужно среди

делителей свободного члена. В данном случае таких делителей всего четыре: y = §1 è y = §2. Нам повезло: корнем является y = 1. Конечно, так вез¼т не всегда, и

иногда приходится применять численные методы. Но на экзамене по математике нам обязательно повез¼т. Итак,

df(x)	¯x=2	=	1				=	1	=	1	:
dx				dg(y)				(7y6 + 1) y=1		8
	¯			dy		y=1		j
	¯				¯
	¯
					¯
					¯
					¯

Далее подставляем x = 3 â (54).	Получаем:
y7 + y = 3	() g(y) = 3 :	(56)

Целочисленных решений у уравнения (56) нет. Провед¼м несложнную оценку числа корней уравнения (56). Это нужно, скорее, для закрепления пройденного материала.

Возьм¼м любые два вещественных числа	y1 ; y2 ; такие, что y1 < y2 : Справедлива
цепь утверждений:
y1 < y2 =) y17 < y27 =) y17 + y1 < y27 + y2 ;
означающая, что функция g(y) = y7 + y	возрастающая при росте y . Пусть y0

корень уравнения (56), òî åñòü g(y0) = 3 : Тогда для любого y1 такого, что y1 < y0 ;

справедливо

g(y1) < g(y0) = 3 =) g(y1) < 3

òî åñòü, y1 íå является корнем (56). Далее, для любого y2 такого, что y0 < y2 ñïðà-

ведливо

3 = g(y0) < g(y2) =) g(y2) > 3

46

òî åñòü, y2 также íå является корнем (56). Следовательно, если вещественнй корень у уравнения (56) есть, то только один.

Заметим, что g(0) = 0 < 3 ; g(2) = 130 > 3 : Тогда, по Теореме Коши о промежуточных значениях функции, можно утверждать, что на промежутке [0; 2] корень уравнения (56) åñòü, òàê êàê 3 2 [g(0); g(2)] : Численно найти его поможет сайт wolframalpha.com. Результат обращения к сайту:

Ðèñ. 5

Èòàê,

	¯					j	¢
df(x)						1			1
dx	¯	=	dg(y)	¯	=	(7y6 + 1) y=1:09633	= (7 1:096336 + 1) = 0:0760179 :
	¯x=3			1
	¯			¯
				¯
			dy	¯
				y=1:09633

47